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WS 17/18...

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Ma 1 VL 13 Sachrechnen - Aufgabenauswahl Traditionelle Klassifikation und ihre Einschränkungen Traditionelle Klassifikation Es wird unterschieden: - eingekleidete Aufgabe - Textaufgabe - Sachaufgabe Eingekleidete Aufgaben

- Sachkontext unwichtig, häufig austauschbar - Ziel: Anwendung von Rechenoperationen und Begriffen - Formulierung legt Rechenwege offen Eingekleidete Aufgaben - Kritik

- Sachkontexte sinnlos - können falsche Vorstellungen bei Kindern wecken (etwa: „Sachsituation im Matheunterricht haben nichts mit der Realität zu tun!“) -> Dennoch kann man auf diese Aufgabe laut Franke (2009) nicht ganz verzichten, um das Wiederkennen einer eingekleideten arithmetischen Operation zu üben. Sie plädiert dafür, offensichtlich unrealistische Kontexte zu nehmen Textaufgaben

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Aufgaben in Textform in der Regel eindeutig lösbar Vielfalt und Komplexität des Alltags unberücksichtigt Ziel: Textinformation in ein mathematisches Modell zu übersetzen -> Bsp.: Frau Meier hat 3€. 100g Käse kosten 50ct. Wie viel Käse kann sie kaufen ?

Textaufgaben- Kritik

- Interpretation und Validieren des Ergebnisses kaum sinnvoll zu motivieren - Antwortsatz wird zum Ritual - „schulische Kunstform“ -> Textaufgaben haben durchaus eine Bedeutung beim Üben des Modellierens. Allerdings ist zu bedenken, dass mögliche sinnvolle Sachkontexte gewählt werden und die Textaufgaben mit authentischen Sachaufgaben zu mischen sind. Sachaufgaben

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Sachkontexte bilden Realität in hier Komplexität ab Bezug zu Alltagserfahrungen Mathematik dient als Werkzeug für den Erwerb eines tieferen Verständnisses für eine Sache Ziel: Modellierung, Umwelterschließung

Ma 1 VL 13 Traditionelle Klassifikation

- nicht trennscharf - Was ist mit Knobel-/Problemlöseaufgaben ? -> Die traditionelle Klassifikation der Aufgaben spielt heute nur noch eine geringe Rolle. Der Anspruch, dass die Sache und die Mathematik gleich berechtigt sein sollen, ist in vielen Schulbuchaufgaben umgesetzt.

Kriterien und Impulse für die Auswahl von Sachaufgaben Was sind gute Aufgaben für den Matheunterricht ?

- Aufgaben sollen kognitiv aktivierend sein (an Vorwissen anknüpfen, zur aktiven Auseinandersetzung anregen, Denkprozesse auf anspruchsvollem, aber adäquaten Niveau anregen) - Aufgaben sollen Gelegenheit zur gehaltvollen Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten bieten -> Gute Aufgaben sind Aufgaben, welche bei Schülern in Verbindung mit grundlegenden mathematischen Begriffen und Verfahren die Entwicklung prozessbezogener Kompetenzen unterstützen Klassifikation nach mathematischen Gehalt Klassifikation nach mathematischem Gehalt, um verschiedene Teilgebiete der Mathematik umzusetzen. Aufgaben: - zum Aufbau von Größenvorstellung - mit vorwiegend geometrischem Inhalt - mit vorwiegend stochastischem Inhalt - mit vorwiegend arithmetischem Inhalt Auch unterschiedliche prozessbezogene Kompetenzen sind zu beachten und mit SAchaufagebn zu fördern! Aufgaben mit vorwiegend stochastischem Inhalt

- Kombinatorik: vor allem Anzahlbestimmung von möglichen Kombinationen von Mengenelementen, Darstellung der Kombinationen

- Statistik: vor allem deskriptiv (beschreibende) Statistik, Darstellung und Interpretation von IstZuständen

- Wahrscheinlichkeitstheorie: Erschließen einfacher Zufallssituationen, Verknüpfung mit Statistik Aufgaben zur Kombinatorik

Aufgaben zur Statistik

Ma 1 VL 13 Aufgaben zur Wahrscheinlichkeit

Aufgaben mit vorwiegend arithmetischem Inhalt arithmetische Struktur: Simplex Mehrfachsimplex Komplex

sematische Struktur: Grundvorstellungen der Addition, Subtraktion, Multikplikation, Division Semantik = Sinn und Bedeutung von Sprache und sprachlichen Zeichen Differenzierung nach Anzahl und Verknüpfung von Rechenoperationen - Simplex (eine Rechenoperation) - Mehrfachsimplex (mehrere unabhängige Rechenoperationen) - Komplex (mindestens zwei Rechenoperationen, die abhängig sind) Beispiel für Simplex: Anke hat 23€, Sie kauft ihrem Vater eine CD. Jetzt hat sie noch 12€. Simplex: 23 - ? = 12 Beispiel für Mehrfachsimplex: Sebastian und Stefan schenken auch was. Seb. hat 25€, kauft ein Buch für 7€. Stefan bezahlt Schoki mit einem 10€ Schein und kriegt 3,50€ wieder. Mehrfachsimplex: 25 - 7= ? 10 - ? = 3,50 Beispiel für Komplex: Jeder der 20 Kinder muss 150€ bezahlen. Der Beitrag gibt 180€ dazu. Wie viel kostet es insg.? Komplex: 20 x 150 + 180 = ? Exkurs: Argumentieren Argumentieren, in dem sie mathematische Aussagen hinterfragen und auf Korrektheit oder Plausibilität überprüfen (z.B. bei Sachsituationen: Kann das stimmen?) Kriterien und Impulse für die Auswahl von Sachaufgaben Sachrechnen als Bindeglied zwischen Alltag und Mathematik -> Bei der Aufgabenauswahl muss die dargestellte Situation kritisch betrachtet werden ! Realistische Aufgaben müssen von pseudo-realistischen unterschieden werden!

Ma 1 VL 13 Klassifikation auch Situationskontext Realer Kontext: einfache Sachaufgabe Sachprobleme Sachtexte Projekte

fiktiver Kontext: Märchen, Fantasiekontext Denk- und Knobelaufgaben Kapitänsaufgaben SA in Kinderbüchern

realer Kontext - einfache Sachaufgabe

Realer Kontext - Sachproblem

Realer Kontext - Sachtexte

Realer Kontext - Projekte Bespiel: Schulfest, Planung eines Ausflugs, Planung eines Frühstücks

fiktiver Kontext - Märchen / Fantasien ermöglicht Hinzunahme von ungewöhnlichen Größen, großen Zahlen, etc. Ohne Anspruch zu erheben, realistisch zu sein

Klassifikation nach Situationskontext und nach Präsentationsform Vielfalt an Aufgaben im Unterricht ausschöpfen

Ma 1 VL 13 Reale Phänomene, authent. Materialien

- „authentische Schnappschüsse": Zeitungsartikel, Rekorde, Statistiken etc. - eigene Fotos, Erlebnisse - eigene Fragen Bildaufgaben Einsatz vor allem im 1. Schuljahr: - einfache Bilder (z.b. Tasse, Fahrräder,..) - komplexe Bilder, die die ganze Situation abbilden (z.B. Bauernhof) - teilweise mit kurzen Textinformationen (z.B. Preistafel) -> wichtig dabei: - Interpretation beruht auf Vereinbarungen - Verbalisierung ist notwendig, um Missverständnisse zu vermeiden - Mathematische Aspekte sind für Kinder manchmal nicht primär von Bedeutung, sie sehen andere Dinge Bild - Text - Aufgaben

- Informationen durch bildliche Darstellung, Aufgabenstellung durch Aufgabentext - sinnvolle Informationsentnahme: Bild gibt häufig mehr Informationen als zur Beantwortung der Fragen notwendig

- Beispiel für Bilder in Bild_text-Aufagebn: Fahrpläne, Informationstafeln, Kalender, Preisschilder usw. -> wichtig dabei: Fragen sollten realitätsnah und offen sein (ggf. mehrere Lösungen zulassen) Vor- und Nachteile verschiedener Präsentationsformen

- Projekte: größter zeitlicher Aufwand im U; allerdings Höhepunkte Sachrechnens - Authentisches Material und Imitationen: motivierend, starker Realitätsbezug, teils Aktivitäten auf inaktiver Ebene, aber auch auf ikonischer und symbolischer Ebene

- Sachtexte und ergiebige Bild-Text-Aufgaben: starker Realitätsbezug, erweitern mathematische Kompetenzen und Allgemeinwissen

- Bildaufgaben/Textaufgaben: speziell für Unterricht aufbereitet, Realitätsbezug als wichtiges Kriterium (abhängig von Vorstellungen, Erfahrungen der Kinder), relativ schnell zu bearbeiten, Erwerb wichtiger Grundkenntnisse zum Lösen komplexerer Sachaufgaben Konsequenzen schlecht gewählter Aufgaben Gegensätzliche Anforderungen? Lernen für das Leben soziale Normen im Unterricht -> Problematisch wird es, wenn sich Lernende die Lernzeile mit einer selbst konstruierten Realität erklären müssen mathematische Realität

- im Mathematikunterricht lernen dir Schüler zwangsläufig eine für sie neue, mathematische Realität kennen, denn und der Mathematik gelten z.T. andere Regeln

- Teilweise erleben Schüler durch ungünstigen Unterricht aber auch Regeln, die nicht beabsichtigt sind und keine mathematische Normen darstellen. -> Diese Regeln werden auch sozio-mathematische Regeln genannt

Ma 1 VL 13 Kapitänsaufgaben: Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän ? -> 26 + 10 = 36 Der Kapitän ist 36 Jahre alt. Warum werden Kapitänsaufgaben gelöst?" Erkenntnisse aus Interviewstudien: Kinder finden Begründungen - Die Schüler waren durchaus in der Lage, die Sachsituation zu erfassen - Die Schüler erfassten nicht nur die Sachsituation, sondern sie wussten vielfach sogar, dass ihre Ergebnisse keinen Sinn machen - Drang unbedingt ein Ergebnis auszurechnen - Gebundenheit an Rahmenbedingungen aus dem aktuellen Mathematikunterricht Untersuchung von Radatz (1983) - Kinder ohne oder weniger Schulerfahrung gaben ohne Probleme an, dass man bei diesen Aufgaben nicht rechnen könne - 50 - 70% aller Dritt- und Viertklässler starteten verschiedene Lösungsversuche

- Gründe für Lösungsversuche sind nicht unbedingt Schwierigkeiten im Verständnis der Sachsituation

- Es besteht die Auffassung, dass Sachaufgaben im Mathematikunterricht unbedingt auf eine bestimmte gelöst werden müssen

- derartige Vorstellungen zum Aufgabenlösen werden im Mathematikunterricht aufgebaut bzw. sogar impliziert durch diesen vermittelt Wahrgenommene sozio- mathematische Normen

- jedes mathematische Problem, das vom Lehrer oder aus dem Schulbuch kommt, ist sinnvoll und lösbar

- es gibt immer eine eindeutige und exakte Lösung - Die Lösung erhält man vor allem durch Anwenden der Verfahren, die gerade im Unterricht behandelt werden

- Der Aufgabentext enthält alle nötigen Informationen - Widersprüche zum „gesunden Menschenverstand“ oder dem Alltagswissen sin dazu ignorieren Wie kommt es dazu? Untersuchungen deuten darauf hin, dass diese Sozia-Mathematischen Normen - durch die im Mathematikunterricht verwendeten Modellierungsaufgaben und - durch die Art und Weise, wie Lehrkräfte diese Aufgabe im Unterricht implementieren, vermittelt werden Unterrichtskultur: Umgang mit Aufgaben Das wäre das Ziel:

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mit Sachinformationen adäquat umgehen Mathematik als Werkzeug nutzen gegebenenfalls zielgerichtet Informationen hinzuziehen überlegte Auswahl dieser zusätzlichen Infos (sinnvoll, realistisch)

Ma 1 VL 13 Beschaffen zusätzlicher Informationen

- muss gelernt werden - welche Informationen hinzugezogen werden dürfen und welche nicht, ist ein langer „sozialisationsprozess“

- er bedarf von Lehrerseite Kontinuität und Konsistenz in der „Sachrechenkultur“ - Adäquate Aufgaben und ihre Implementation spielen dabei eine bedeutsame Rolle Selbstreflexion bei der Aufgabenwahl ist wichtig !

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Welche Ziel verfolge ich mit der Aufgabe ? Welche Aufgaben sind dadurch festgelegt ? welche variabel? Nutze ich die Klassifikationen, um Aufgaben zu variieren und Aufgaben zu charakterisieren? Welche Aufgaben habe ich bisher eingesetzt ? Habe ich Aufgabenmerkmale variiert ? Welchen Sinn hat der Antwortsatz bei meinen Aufgaben ? Haben die Aufgaben auch mal mehrere Lösungen ? kann man über die Güte der Lösungen diskutieren ? Denke ich bei pseudorealistischen Aufgaben daran, die Realitätsferne zu diskutieren ? bei unrealistischen Aufgaben muss klar sein, dass kein Realitätsanspruch vorhanden ist Provoziere ich die Kinder ggf. um falsche Vorstellungen aufzubrechen ?...