MAT165 - j\'ai réécrit les notes du cours de façon plus compréhensive pour moi PDF

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MAT165 - Algèbre Linéaire et Analyse Vectorielle Algèbre Vectorielle Vecteur Propriétés

 + 0 =a a a + (−a )= 0

a + ( b+c )= ( a + b ) +c k ( a + b) =ka +k b

1 a=a a + b= b+a

( k 1 k 2) a =k 1 ( k 2 a ) ( k 1 + k 2 ) a=k 1 a + k 2 a

a ‖a‖

u =

Vecteur unitaire :

{

i= (1,0,0 ) V 3 : j= ( 0,1,0 ) k = (0,0,1 ) Opérations Addition/ Soustraction Négation Multiplication Scalaire Produit Scalaire Produit Vectoriel

Produit Mixte

a ± b= ( x a ± x b , y a ± x b ) −a =( −x a ,− y a ,− z a ) k ∙a= ( k x a , k y a , k z a) a ⋅ b=‖a‖∙‖b‖∙ cos θ a →b

¿ x a x b + y a y b +z a z b

a ∧ b=( ‖a ‖∙‖b‖ ∙ sin θa → b)∙ n i j k ¿ x a y a z a = Δ ⟨ V 3 , a , b⟩ = ( y a z b− z a y b) i − ( x a z b −z a x b ) j + ( x a y b− y a x b ) k xb yb zb où n est un vecteur unitaire ⊥ à a et b xa ya za    a ⋅ (b ∧ c )= ‖a‖∙‖ b∧c‖∙|cos θ a →( b ∧c )|=|a ⋅ ( b ∧ c )| ¿ x b y b z b xc y c zc

|

|

|

|

Donne un scalaire Projection

a ⋅ b ‖a‖

Projection scalaire de b

sur a

:

com pa b=

Vecteur projection de b

sur a

:

a = a ⋅ b a proja b=com p a b ∙ ∙ ‖a‖ ‖a‖ ‖ a‖

Produit Scalaire

a ⋅ b=b ⋅ a  c )=a ⋅ b+a ⋅ c a ⋅ (b+  ( a ⋅ b )= a ⋅ (k b ) ( k a ) ⋅ b=k 2 a ⋅ a =‖a‖ a ⋅ 0 =0 Permet : Test d’orthogonalité

Produit Vectoriel

a ∧ b=− b ∧ a a ∧ ( b+c) =a ∧ b+a ∧ c ( a + b) ∧c =a ∧ c +b∧ c ( k a ) ∧ b= k ( a ∧ b)= a ∧ ( k b) Permet : Test de parallélisme

Produit Mixte

a ⋅ (b ∧ c )= ( a ∧ b) ⋅c

Permet : Test de coplanairité

Différence de direction Trouver angle entre 2 vecteurs Projection Travaille

Produire vecteur orthogonal au 2 vecteurs Calculer l’aire d’un parallélogramme Moment de force

Calculer le volume d’un parallélépipède Double produit vectoriel

a ∧ ( b ∧ c )= ( a ⋅ c ) b− ( a ⋅ b ) c Orthogonalité : a  ⊥ b ⇔a ∙ b=0 Parallélisme : a ∥b ⇔a =k b

→ k=

xa

xb a ∥b ⇔a ∧ b= 0 Coplanéité : coplanaire ⇔|a ∙ ( b ∧c )|=0

=

ya yb

=

za zb

Règle de la main droite

Droite

v : vecteur direction v =( a ,b ,c )  r 0 : vecteur de l’origine au point connue de la droite Équation Vectorielle

Équation Paramétrique

Équation Symétrique

r 0+t v d : r = d : ( x , y , z ) =( x0 , y 0 , z 0 )+ t ( a , b , c )

{

x 0+ t a d : y 0 +t b t ∈ R z0 +t c x − x 0 y − y 0 z−z 0 d: =t = = c b a

Trouver une droite Un point → P ( x0 , y 0 , z 0) Un vecteur de direction→ v =( a ,b ,c ) Deux points → P1 ( x 1 , y 1 , z1) et P0 ( x0 , y 0 , z 0 )

r0 Segment 

r1 : à 

r = r 0 +t( r 1− r 0 )=( 1−t)  r 0 +t  r 1 0 ≤t ≤1

v = P 0´ P1

Plan Vecteur normal : perpendiculaire à tous les vecteurs du plan

n : vecteur normale n= ( a , b , c) v et

u : 2 vecteurs de direction a x+b y +c z +d =0 r 0 +t v +su π : r = Équation Vectorielle π : ( x , y, z )=( x 0 , y 0 , z 0 ) +t ( v x , v y , v z ) +s (u x , u y ,u z )

Équation Cartésienne

{

x 0 +t v x + s u x π : y 0 +t v y +s u y z 0 +t v z+ s u z

Équation Paramétrique Équation Symétrique Équation Normale

X

a x+b y +c z +d =0 d=−( a x 0+b y 0+c z 0 ) n ⋅ (r−  r 0 )=0 ou n ⋅ r =n ⋅  r0

Trouver un plan Un vecteur normal → n=(a , b , c ) Un point → P0 (x 0 , y 0 , z 0 ) Trois points → P0 (x 0 , y 0 , z 0) , P1 ( x 1 , y 1 , z1)

v = P 0´ P1 u= P1´P2 n= v ∧u

et

P2 (x 2 , y 2 , z 2)

Position relative Parallèle Intersection

Parallèles Confondues Parallèles Distinctes

Ø Intersection

 v 1 ∥ v2

 v2 v 1 ∦

→ → →

P1 ∈ D 2 P1 ∉ D 2

D 1 ∩ D2 ≠ ∅ →

D 1 ∩ D 2 =∅

v1 ⊥ v2

Perpendiculair e Perpendiculaires

→

D 1 ∩ D2 ≠ ∅

Ø Parallèle & Ø Perpendiculaire Sécantes / Concourantes Gauches

→ Parallèles Confondues → Parallèles Distinctes → Sécantes / Concourantes → Gauches → Perpendiculaires

Distance (Ø intersection)

P & P

√

D( P 1 , P2 ) =‖ P1 P2‖= ( x 2−x 1) +( y 2− y 1) + ( z 2− z 1 ) 2

2

2

Pd P1∧  v d‖ ‖

P & d

D( P 1 , d 2 ) =

P & π

D ( P 1 , π 2 )=|com pn  P π P1|=

d & d

v d‖ ‖ π

si d 1 ∥d 2 → D( d 1 , d 2 )=

π & π

nπ‖ ‖

√ a + b +c 2 π

P1 P2 ∧ v1‖ ‖

v 1 ∧ v2 ‖ ‖ nπ| |a π x d + b π y d + c π z d +d π| Pπ Pd ⋅  | = D( d 1 , π 2 )=|com p n  P π Pd|= nπ‖ ‖ √ a2π +b2π+ c2π P2 P 1 ⋅ n2| |a2 x 1 +b2 y 1+ c 2 z 1+ d 2| |  = = D ( π 1 , π 2 ) =|com pn P P | 1 2 n2‖ ‖ √ a22 +b22 +c22 2

π

1

(

 v2 v1 ⋅  v 1‖‖ v 2‖ ‖

)

d & d

v1 ,  v 2)=cos ∡ ( d 1 , d2 ) =∡ ( 

d & π

nπ v d ⋅  π π −1 ∡ ( d 1 , π 2) = −∡ ( vd ,  nπ )= −cos 2 2 n π‖ ‖vd ‖‖

π & π

n1 ,  n2) =cos ∡ ( π 1 , π 2 )=∡ ( 

d P π d d d π π π

−1

(

−1

∩( P1 , d 2 )=¿ point

&

∩( P1 , π 2 ) =¿ point

&

∩( d 1 , d 2) =¿ Point ou droite

&

∩( d 1 , π 2) =¿ Point ou droite

&

2 π

v 1 ∧ P1 P 2 ∙ (  v 2 )| |

Angle

Intersection P &

2 π

v 1‖ ‖

D( d 1 , d 2 )=|com p v ∧v  P 1 P2|= 1

d & π

n π| |aπ x 1 +b π y 1 + c π z 1 + d π| Pπ P 1 ⋅ | =

∩( π 1 , π 2 )= ¿ droite

(

 n2 n1 ⋅ n1‖‖n2‖ ‖

)

)

Algèbre Matricielle Matrice

A m× n =[ aij] A : la matrice m : nombre de lignes n : nombre de colonnes aij : terme général i : ligne j : colonne Pivot : premier élément non-nulle de la ligne ou les éléments en dessous sont nulle (0/rien devant et en dessous)

[

]

0 b 1 c1 a2 0 c 2 0 0 c3

Diagonale :

[

]

a1 b 1 c 1 a2 b 2 c 2 a3 b 3 c 3

aij ou i= j Type Carrée :

An

m=n

[

Matrice Diagonale :

Matrice Unitaire :

[

a1 0 0 0 b2 0 0 0 c3

]

1 b 1 c1 a2 1 c 2 a3 b 3 1

[ ] [ ]

1 I = Matrice Identité : n 0 0 0 0 Matrice Nulle : O= 0 0 0 0

0 0 1 0 0 1 0 0 0

Matrice Triangulaire Supérieure :

aij =0

]

pour i> j

Matrice Triangulaire Inférieure :

[

[

]

a1 b 1 c 1 0 b 2 c2 0 0 c3

a1 0 0 a2 b 2 0 a3 b 3 c 3

]

aij =0

pour i< j

Matrice augmentée :

[ A |B ]=

[

| ]

a1,1 a 1,2 b1,1 a2,1 a 2,2 b2,1

Addition/Soustraction

A ± B= [ aij ]± [ bij ]=[ aij ± bij ]

Multiplication Scalaire

[

][

[ ][

Produit Matricielle

][

]

[

n

A m × n ∙ B n × p =[ aij ] ∙ [ bij ] = ∑ aik ∙ bkj

[

A ∙ B=

][

k=1

][

A ∙ A =I A inversible ⇔det(A )≠ 0 adj( A) A−1 = det ( A ) t A =[ a ji ]

Transposer

[ ]

a1 a2 a b c t 1 1 1 A= → A = b1 b2 a2 b2 c 2 c1 c2

[

Opération de ligne Multiplication scalaire : Li =k Li

[

] [

]

]

a1 b 1 c 1 k a1 k b 1 k c 1 L1=k L1 a2 b 2 c 2 a2 b2 c2 a3 b 3 c 3 a3 b3 c3

Permutation : Li i

1 2

]

]

a1,1 a1,2 b1,1 b1,2 a b +a b a b +a b = 1,1 1,1 1,2 2,1 1,1 1,2 1,2 2,2 ∙ a2,1 b1,1 + a2,2 b2,1 a2,1 b1,2 + a2,2 b2,2 a2,1 a2,2 b2,1 b2,2

−1

Inverse

]

a1,1 a1,2 b b a ±b a ±b ± 1,1 1,2 = 1,1 1,1 2,1 1,2 a2,1 a2,2 b 2,1 b2,2 a2,1 ±b 2,1 a 2,2 ± b2,2 k ∙ A =k [ a ij]=[ k ∙ aij ] k ∙ A =k a b = k a k b c d kc kd A m × n ∙ B n × p =C m × p A ± B=

[ [

a1 b 1 c 1 a b c L12 2 2 2 a2 b 2 c 2 a 1 b1 c 1 a3 b 3 c 3 a 3 b3 c 3

][ ] ] [

Addition : Li = Li + k Li 1

1

2

a +k a3 b1 +k b3 c 1+k c3 a1 b 1 c 1 L1=L1+ k L3 1 a2 b2 c2 a2 b 2 c 2 a3 b3 c3 a3 b 3 c 3

Matrice ligne-équivalente: B l

A B

]

peut être obtenue à partir de

A

par des opérations de ligne

A +O= A A + ( − A )=O A + B=B+ A ( A + B ) +C= A+( B+ C ) ( k 1 + k 2 ) ∙ A=k 1 A+ k 2 A k ( A+ B) =kA+ kB

A ∙O =O A ∙ I= A −1 A ∙ A =I A ∙B≠ B∙ A A ∙ ( B ∙C )= ( A ∙ B ) ∙ C k ( A ∙ B )=kA ∙ B= A ∙ kB

A ∙ ( B+C )= A B+ A C ( A + B ) ∙C = A C+ B C

( At ) =A

t

t t t ( A +B ) =A +B ( A ∙ B ) t =Bt ∙ A t ( k ∙ A ) t=k ∙ At

Determinant

a b A= 1 1 a2 b2 a b det ( A )= 1 1 =a1 b2−b1 a2 a2 b2

[

]

| |

| |

a1 b 1 c 1 b b b b b b det ( A )= a2 b 2 c 2 =a1 2 3 −a 2 1 3 + a3 1 2 =a1( b2 c3 −b3 c 2 )−a 2 (b1 c 3−b3 c 1)+a3 (b1 c 2−b 2 c 1) c 2 c3 c1 c3 c1 c2 a3 b3 c 3

| | | | | | n

n

j=1

i=1

Developpement de laplace : det ( A )=∑ a ij ∙ αij =∑ aij ∙ αij

A ij=¿

aij Mineur de

:

A ij : α ij=( −1)i+ j ∙ det ( A ij )

Cofacteur de

cofac ( A ) = [ α ij ]n ×n

Matrice des cofacteurs :

Matrice adjointe : adj ( A )= [ α ij ]

t

Propriété des matrices carrées : t  det ( A )=det ( A )   

Ligne/colonne de 0 ⇔det ( A ) =0 2 lignes/colonnes identiques ⇔det ( A ) =0

Li i ⇔−det ( A ) Cj j Li=k Li ⇔k ∙ det ( A ) C j=kC j Li =Li + k Li ⇔det ( A ) C j =C j +k C j 1 2

1 2

 

1

1

  

1

1

2

2

det ( A)=∏ diag 1 Inversible ⇔ det ( A )= det ( A ) det ( A ∙ B )=det ( A )∙ det ( B ) Matrice carré triangulaire

−1

⇔

Système d’équation linéaire

A ∙ X=K a1,1 ⋯ a 1, n x 1 k1 = ∙ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ km am, 1 ⋯ a m ,n x n

[

][ ] [ ]

A m× n : matrice des coefficients X n × 1 : matrice des variables K m×1 : matrice des constantes Ensemble de solution : [ A |K ] [ B∨J ] → système équivalent Aucune solution → système incompatible/contradictoire

Matrice L-réduite échelonné Reduction 1. Lignes nulles dans le bas 2. Premier élément de ligne non nulle est 1 3. 0 en dessous des pivots Échelonnage 4. Pivot dans l’ordre

Méthode Gauss-Jordan : Reduction et échelonnage de

[ A |K ] pour obtenir [ B|J ]

Rang Nb de ligne non-nulle dans L-réduite échelonnée Système contradictoire rg ( [ A |K ] ) >rg ( A)

rg ( [ A |K ] )=rg ( A)

rg ( A ) =n rg ( A ) 0 ¿ f 'xx' ( a ,b ) >0 D (a , b)>0 ¿ f 'xx' ( a ,b )...