Math-financière semestre 4 PDF

Preview

Summary

Math-financière semestre 4 ...

Description

Cours&de&PAI&:& & Cours&de&Mathématiques&financières&:& & & & Partie&1&:& & A&–&Intérêt,&capitalisation&et&actualisation& L’intérêt&peut&être&défini&comme&la&rémunération&d’un&prêt&d’argent&effectué&par&un& agent&appelé&prêteur&à&un&autre&appelé&emprunteur&pour&lequel&l’intérêt&apparaît& comme&un&coût,&d’où&un&double&aspect&(une&rémunération&et&un&coût).&Il&faut&distinguer& le&taux&d’intérêt&nominal&et&le&taux&d’intérêt&réel.&Le&taux&d’intérêt&nominal&est&exprimé& en&monnaie&courante&et&doit&comprendre&une&prime&d’inflation&(taux&d’intérêt&nominal&>& taux&d’inflation)&alors&que&le&taux&d’intérêt&réel&est&exprimé&en&monnaie&constante&et&est& déduit&d’inflation.&Un&lien&peut&s’établir&entre&ces&deux&taux.&Si&le&taux&d’intérêt&nominal& s’écrit&in,&le&taux&d’intérêt&réel&ir&et&le&taux&d’inflation&d,&alors&:&& & 1" + "$% = " 1" + "$' "×" 1" + ") & & ""$%" = "$'" + ")" + "$'"×")& & $%"– ") "$'" = & (1 + )) & Si&le&taux&d’inflation&est&faible,&alors&le&taux&réel&est&égal&à&la&différence&entre&le&taux& nominal&et&le&taux&d’inflation.& & La&capitalisation&consiste&à&se&déplacer&du&présent&vers&le&futur&et&son&calcul&permet&de& déterminer&la&valeur&future&appelée&valeur&acquise&ou&capitalisé.&L’actualisation&consiste& à&se&déplacer&du&futur&vers&le&présent&:&& & -1 -0" = """"""""""""""""""""""""""-1" = "-0"(1" + "$)& 1" + "$ & & & L’intérêt&simple&et&l’intérêt&composé&:&& L’intérêt&simple&est&caractérisé&par&le&fait&d’être&payé&en&une&seule&fois,&d’être& proportionnel&à&la&durée&de&l’opération&et&calculé&pour&une&durée&inférieure&à&un&an& (l’année&dure&360&jours)&:&& & / "×"$" -0"×" 360 & & & &

L’intérêt&composé&se&calcule&dans&le&cas&d’investissement&de&plus&d’un&an.&L’intérêt&perçu& à&la&fin&d’une&période&peut&être&remplacé&au&cours&des&périodes&suivantes&produisant&luimême&des&intérêts.&Contrairement&aux&opérations&à&court&terme,&l’année&comporte&365& jours.&& & Il&est&possible&de&créer&un&tableau&:& Année& Somme&placée&an&x& Intérêt&de&l’année& Capital&disponible& 1& S0& S0&x&i& S0&(1&+&i)& S0&(1&+&i)2& 2& S0&(1&+&i)& (S0&(1&+&i))&x&i& S0&(1&+&i)T&& T& & & & -2 & -2" = "-0"×"(1" + "$)3 """""""""""""""""""""""""""""""""-0" = 1" + "$ 3 & & & Les&intérêts&précomptés&et&les&intérêts&post&comptés&:& Les&intérêts&précomptés&ou&intérêt&à&terme&à&échoir&sont&ceux&dont&le&montant&est& soustrait&de&la&somme&emprunté.& Les&intérêts&post&comptés&ou&intérêts&à&terme&échus&sont&ceux&dont&le&paiement& intervient&avec&le&remboursement&de&la&somme&en&fin&de&période.&& & Si&les&intérêts&sont&précomptés&:&& Moment&A&:&S0&x&(1&–&i)& Moment&B&:&&S0.&& Si&les&intérêts&sont&post&comptés&:&&Moment&A&:&S0& & Moment&B&:&S0&(1&+&i).&& Un&taux&précompté&est&plus&élevé&qu’un&taux&post&compté&équivalent& & & & Le&taux&proportionnel&et&le&taux&équivalent&:& Le&taux&périodique&est&un&taux&proportionnel&si&ce&taux&est&appliqué&à&un&calcul& d'intérêts&simples&sur&toutes&les&périodes&de&l'année&donne&le&même&résultat&que&le&taux& annuel.&& 1 2456"7'878'9$8%%:;"4%%5:; ∶ $ = 12"×"$>? "85"$>? = ×"$& 12 & Le&taux&périodique&est&un&taux&équivalent&si&ce&taux&appliqué&à&un&calcul&d'intérêts& composés&sur&toutes&les&périodes&de&l'année&donne&le&même&résultat&que&le&taux&annuel.& -$"-@ " 1 + $ = " -@ " 1 + $>? "AB """""""""""""""""""4;8'C"1" + "$" = " 1" + " $>? AB "& A

1" + "$>? " = (1 + $)AB & $">? = " 1" + "$

A AB "– "1& A

-$")4%C"5%:"4%%é:, $;"F"4"7"7é'$8):, 4;8'C"$? " = " (1" + "$)G "– "1"" & Les&taux&d’intérêts&fixés&par&les&banques&sont&proportionnel&(prêt&immobilier)&ou& équivalent&(prêt&à&la&consommation).&Le&taux&annuel&équivalent&peut&être&supérieur&au& taux&annuel&proportionnel.&La&différence&est&d’autant&plus&importante&que&le&nombre&de& périodes&est&important&puisque&plus&il&y&a&de&périodes,&plus&la&capitalisation&des&intérêts& est&importante.&&

& Taux&d’intérêt&continu&ou&instantané&:&& Il&y&a&un&lien&entre&le&taux&proportionnel&et&le&taux&équivalent&d’où&la&formule&:&& $"?H

$G = " 1" + " 7

"""" 1" + "i?H """iG = p"×"

A G"=

G

– "1"""""""&

"1" + "

1" + "i?H

iG """"""""& p A G

− "1 &

& Il&est&possible&de&calculer&le&taux&d’intérêt&continue&à&partir&du&taux&d‘intérêt&discret&:&& A

L" = " lim 7"×" G→PQRS

1" + "$ G "– "1 "" = ln " 1" + "$ &

9456"U8%9$%5"L" = ";%" 1" + "$ """"""""""""""""9456")$CU':9"$" = " : V "– "1& ! Exemple!:!Si!vous!placez!une!somme!de!1000€!au!taux!de!5%!pendant!un!an,!combien! aurez!vous!au!bout!d’un!an!?!! Réponse!:!1000!(1!+!0,05)!=!1000!x!1,05! ! Exemple!:!Un!investisseur!achète!le!7!Juin!2010!un!titre!de!créance!négociable!et!le! conserve!jusqu’au!14!septembre!2010.!Si!le!titre!a!une!valeur!nominale!de!1000!et!si!le!taux! d’intérêt!nominal!est!de!4,1%,!quel!est!le!montant!dont!dispose!l’investisseur!lors!du! remboursement!?!! Réponse!:!1000!x!((99/360)!x!4,1%)! ! Exemple!:!Quelle!est!la!valeur!acquise!au!taux!de!5%!d’une!somme!de!1000!placée!du!21! janvier!2008!au!31!janvier!2010!?!!Quelle!somme!faut-il!placer!le!31!janvier!2000!au!taux! de!3,5%!si!il!est!souhaité!3500!au!31!janvier!2010!?!Pendant!combien!d’années!faut-il! placer!une!somme!de!2000!au!taux!de!4%!s’il!est!souhaité!2500!?!! Réponse!:!1000!x!1,05786/365!/!S0!=!3500!x!(1,035)-10!/!(1!+!i)T!=!ST!/!S0!soit!ln!(1!+!i)T!=!ln! (ST!/!SO)!soit!T!ln!(1!+!i)!=!ln!ST!–!ln!S0!soit!T!=!(ln!ST!–!ln!S0)!/!(ln!(1!+!i))! ! Exemple!:!La!banque!A!vous!offre!un!prêt!sur!une!année!avec!un!taux!d’intérêt!à!4%! précompté.!La!banque!B!offre!4,5%!à!terme!échu.!Quelle!est!la!meilleure!offre!?!! Réponse!:!Emprunt!de!1000!;!Intérêt!banque!A!=!40!payé!tout!de!suite!donc!emprunt! possible!=!1000!–!40!=!960!d’où!un!taux!d’intérêt!=!40/960!=!4,2%!–!Intérêt!banque!B!=!45! payé!à!la!fin!de!l’année!donc!emprunt!=!1000!+!45!=!1045!d’où!un!taux!d’intérêt!=!45/1000! =!4,5%! ! Exemple!:!Déterminer!le!taux!annuel!proportionnel!et!équivalent!d’un!taux!mensuel!de! 0,5%,!d’un!taux!trimestriel!de!1,5%,!d’un!taux!semestriel!de!3%!?!! Réponse!:!ipr!=!12!x!im!=!12!x!0,5!=!6! ieq!=!(1!+!im)12!–!1!=!(1,005)12!–!1!=!6,17%! ipr!=!4!x!ip!=!4!x!1,5!%!=!6%! ieq!=!(1!+!it)4!–!1!=!(1,015)4!–!1!=!6,14%! ! Exemple!:!Soit!un!taux!d’intérêt!annuel!de!10%.!Déterminer!le!taux!périodique! proportionnel!et!équivalent!pour!des!périodes!d’un!mois!d’un!trimestre!et!d’un!semestre!?!! Réponse!:!Imp!=!(1/12)!x!10%!=!0,83%! imeq!=!(1+10%)1/12!–!1!=!0,8%! &

Exemple!:!si!i!=!10%!!alors!j!=!ln!(1,1)!=!9,53%!mais!si!j!=10%!alors!i!=!e0,1!–!1!=!10,52%! La&valeur&actuelle&d’une&suite&de&flux& & & & Une&suite&de&flux&est&généralement&appelé&flux&de&trésorerie&et&peut-être&positif&si&la& personne&reçoit&ou&négatif&si&la&personne&verse.&Il&existe&des&modalités&de&calcul&sur&les& instruments&à&flux&multiples&puisqu’il&est&possible&de&calculer&la&somme&des&valeurs& acquises&par&chaque&flux&de&trésorerie&à&la&date&du&dernier&versement.&& & Ainsi&Ft&est&le&flux&de&trésorerie&à&la&date&t,&T&est&le&nombre&total&de&flux,&i&est&le&taux& d’intérêt&périodique&et&ST&est&la&valeur&acquise.&& 0&----------&1&(F1)&------------&2&(F2)&--------------T-2&(FT-2)&--------------&T-1(FT-1)&------------&T&& F1&est&placé&pendant&T-1&période,&F2&pendant&T-2&période,&FT-2&est&placé&pendant&2& période.& & & & La&valeur&acquise&:&& -3 " = " WA " 1 + $ 3XA " + " WB " 1 + $ 3XB + " …"+ " W3XB " 1 + $ B " + " W3XA" 1 + $ +" W3 "& 3

WZ "×"(1 + $)3XZ&

C8$9" Z[A

& La&valeur&actuelle&:&& WA WB -0 = ( ) "" + " 1+$ 1+$

B

+ " …"+

W3XA "+" 1 + $ 3XA

W3 1+$

3 3

WZ "(1 + $)XZ&

"C8$9"-@ = " Z[A

& \’8ù";4"':;49$8% "-@ " =

-3 " 1+$ 3

& & & Valeur&acquise&et&valeur&actuelle&d’une&suite&de&flux&constants&:&Ft&=&F&pour&tout&t&:"& 3

3

W"×" 1 + $ Z[A

3XZ

= "W"×

" 1+$

3XZ """"""&

Z[A

Somme&d’une&suite&géométrique&caractérisé&par&le&premier&terme&((1&+&i)T-1)&et&la&raison& ((1+i)-1)& & La&valeur&acquise&d’une&suite&de&flux&constants&:&& & 1 − 1 + $ X3 1+$ 3−1 3XA W"×" "" "×" 1 + $ " = "W"×" $ 1 − 1 + $ XA & La&valeur&actuelle&d’une&suite&de&flux&constants&:&& &

1 − 1 + $ X3 & $ Evaluation&d’une&rente&perpétuelle&de&flux&constants&:&& Le&nombre&de&versements&est&considéré&comme&infini&et&calculer&la&valeur&acquise&n’a& plus&de&sens&puisqu’elle&tendrait&vers&l’infini&mais&le&calcul&de&la&valeur&actuelle&est& réalisable.&& & 1 − (1 + $)X3 W 1 − 1 + $ X3 = lim W"× = & -@ = W"×" $ 3→PQRS $ $ & Il&est&possible&d’évaluer&une&rente&après&sa&date&d’origine&et&il&s’agit&alors&d’une&rente& anticipée&parce&que&la&rente&est&touchée&avant&l’évaluation&de&la&rente.&Dans&ce&cas,&il&faut& ajouter&dans&la&formule&la&capitalisation&sur&la&période&qui&sépare&la&date&d’origine&et&la& date&d’évaluation.&& & W -@ = ×"(1 + $)_ & $ & & Mais&il&est&aussi&possible&que&la&date&d’évaluation&de&la&rente&soit&antérieur&à&sa&date& d’origine.&Il&s’agit&d’une&rente&différée&:& & W -@ = ×" 1 + $ X_ & $ & & & ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! W"×"

! ! ! Exemple!1!feuille!2!:! Réponse!:!5000!=!(1000/!1!+!7%)!+!(1500/!(1+7%)2)!+!(x/!(1+7%)3)!et!x!=!3375!d’où!un! montant!d’intérêt!=!(1000!+!1500!+!3375)!–!5000!=!875.! ST!=!5000!x!(1+7%)3!=!6125!soit!1125€!d’intérêt!qui!représente!le!vrai!manque!à!gagner!! ! Exemple!2!feuille!2!:& Réponse!imeq!=!(1+0,1)1/12!–!1!=!0,797%! ! 600 600 600 400 400 400 " -0" = "+ "+ "+ "+ "+ e B b d 1,00797f 1,00797 1,00797 1,00797 1,00797 1,00797 200 200 200 + "+ "+ " = "3488,09€! g h 1,00797 1,00797 1,00797i ! 1 − " 1,00797 Xb 1 − " 1,00797 Xb -@ = 600"×" "; "-0 = 400"×" × 1,00797 Xb ;"! 0,00797 0,00797 1 − " 1,00797 Xb × 1,00797 Xf ! -0 = 200"×" 0,00797 ! 1181,12 590,56 -@ = 1171,68 + + ! b 1,00797 1,00797f ! Exemple!3!feuille!2!:!! Réponse!:!600!x!12!x!20!=144000!;!300!mois!d’ici!la!retraite!;!x!est!le!montant!a!placé!;!taux! o

de!6%.!$>? = (1 + 6%) op − 1 = 0,487%! 1 − (1,00487)XBd@ = 84"810,38! -@ = 600"×" 0,00487 1,00487 b@@ − 1 /"×" = 84"810,38""""""""""/"×"676,59 = 84810,38""""""""/ = 125,35""! 0,00487 ! ! Exemple!4!feuille!2!:! A@@@ Réponse!:!-@ = @,@e = 20"000! -@ = 20"000"×" 1,05 = "21"000! -@ = 20"000"×"(1,05)Xb " = 17"277! A

! ! ! ! ! ! ! ! ! !

-@ = 20"000"×"(1,05)d = 20"245!

! ! & Le&taux&actuariel&:&& & & & Le&taux&actuariel&d’un&investissement&financier&générant&une&suite&de&flux&est&le&taux&ia& tel&que&la&valeur&actuelle&de&cette&suite&de&flux&à&ce&taux&soit&égal&à&la&valeur&de& l’investissement.&Si&I0&correspond&au&montant&de&l’investissement,&Ft&à&la&suite&de&flux&et& T&à&la&durée&de&l’investissement,&le&taux&actuariel&est&tel&que&:&& 3

WZ "×"(1 + $r )XZ&

q@ = " Z[A

& Le&taux&actuariel&est&un&taux&équivalent&et&non&proportionnel&puisque&les&intérêts&ne& sont&pas&proportionnels&à&la&durée.&& & & & La&détermination&du&taux&:&& Si&la&valeur&actuelle&et&la&valeur&acquise&sont&connues,&dans&ce&cas,&il&est&inutile&de& connaître&les&différents&flux.&La&formule&pour&déterminer&le&taux&:&& A

s4C"1 ∶ "-@ = -3 "×" 1 + $r

X3

""""""""" 1 + $r 3

s4C"2 ∶ " q@ = " Si&WZ = W"785'"9859"9"4;8'C ∶ q@ =

X3

-3 3 -3 = """""""""""$r = − 1& -@ -@

WZ "×"(1 + $r )XZ&

Z[A w AX APQt uv AX APQt uv = x& W"×" ""4;8'C" Qt Qt y

& Si&les&flux&ne&sont&pas&constants,&la&première&méthode&consiste&à&calculer&la&moyenne&et&à& utiliser&la&formule&du&flux&constant&(méthode&acceptable&si&pas&de&grand&écart&entre&flux)& alors&que&l’autre&méthode&utilise&les&itérations&successives.&& & & Exemple&1&feuille&3&:& "AX APQt u{ "AX APQt u{ B@@@@ Réponse&:&$r ":C9"9:;"z5: ∶ 20"000 = 4"900"× = 4,0816& =" """"""" Qt

di@@

Qt

Pour&trouver&le&taux,&il&faut&utiliser&la&table&financière&où&il&faut&d’abord&indiquer&l’année& puis&chercher&le&taux&trouvé.&Ici&entre&7&et&8%&d’où&une&interpolation&linéaire&:&& 4,100 − 4,0816 $r " = "7%" + " 8%" − 7% "×" = 7,17%& 4,100 − 3,993 Il&n’y&a&pas&besoin&de&faire&le&calcul&puisque&la&moyenne&est&égal&à&4900&d’où&un&résultat& identique,&soit&7,17%.&Si&la&méthode&des&itérations&successives&est&employé&alors&:&& 4600 4300 +" 20"000 = + ⋯& 1 + $r 1 + $r B

Cependant&la&valeur&n’est&pas&égale&à&20000&donc&il&faut&baisser&le&taux&puisque&la&valeur& actuelle&est&d’autant&plus&faible&que&le&taux&est&élevé.&Il&faut&oublier&7,17%&et&prendre& 6,8%&d’où&un&taux&plus&faible&qui&s’explique&par&la&différence&entre&les&flux.& & & Taux&actuariel&et&première&période&fractionné&:&& Il&est&supposé&que&la&première&période&n’est&pas&une&période&entière&et&que&le&premier& flux&n’est&pas&reçu&au&bout&de&la&première&période&mais&au&bout&d’une&fraction&de&celle-ci& d’où&la&nouvelle&formule&:& & } WA WB WB bfe = W + q@ = " + & A } + ⋯""""""""""""q@ "×" 1 + $r } (1 + $r ) 1 + $r bfe 1 + " $r APbfe & Si&la&partie&de&gauche&est&supérieur&à&la&partie&de&droite,&il&faut&réduire&le&taux&d’intérêt&et& utiliser&si&nécessaire&la&méthode&d’interpolation&linéaire.& & Exemple&2&feuille&3&:&& Le&taux&de&rendement&actuariel&du&placement&est&ia&tel&que&le&montant&placé&(2000)&soit& égal&à&la&somme&des&flux&futurs&procurés&par&l’investissement&et&au&montant&actualisé.&Le& premier&flux&est&de&60€,&il&faut&actualiser&mais&le&premier&flux&est&reçu&le&4&novembre&et& se&termine&le&5&Mai&d’où&une&période&incomplète&:& & 60 130 230 2000 = + ⋯ +" Ahb + Ahb Ahb & 1 + $r bfe 1 + $r bfePA 1 + $r bfePg & 230 130 +⋯+ 2000"(1 + $r )@,e = 60 + & 1 + $r (1 + $r )g & & Si&ia&=&8%&alors&G&=&2077&et&D&=&2113&;&Si&ia&=&8,3%&alors&G&=&2082&et&D&=&2081&d’où&un& taux&approximatif&de&8,3%.& & & & Le&taux&annuel&effectif&global&ou&TAEG&:&& Le&TAEG&permet&aux&agences&économiques&de&mesurer&le&coût&pour&l’emprunteur&ou&le& rendement&réel&d’une&opération&pour&l’investisseur&d’une&opération&et&à&faire&des& comparaisons.&Le&TAEG&tient&compte&non&seulement&des&intérêts&mais&aussi&des&frais&de& dossier,&de&commission&et&d’assurances&qui&sont&également&à&la&charge&de&l’emprunteur.& Il&représente&le&coût&réel&ou&effectif&d’un&emprunt.&Dans&la&pratique,&les&banques& n’incluent&pas&les&assurances&dans&les&TAEG&mais&plutôt&les&frais&de&dossier&et& d’hypothèques.&Le&TAEG&est&un&taux&annuel&proportionnel&au&taux&périodique&et&le&taux& périodique&est&calculé&actuariellement&ce&qui&revient&à&dire&que&le&TAEG&annuel&est&un& taux&proportionnel&et&non&équivalent&tandis&que&le&taux&périodique&à&partir&duquel&le& TAEG&est&calculé&est&un&taux&équivalent&parce&que&le&taux&actuariel&est&un&taux& équivalent.&& &

Pour&trouver&ce&taux&il&faut&procéder&en&deux&étapes,&d’abord&trouver&les&mensualités& sans&les&frais,&soit&le&taux&mensuel&et&seulement&après,&prendre&en&compte&les&frais&pour& finalement&trouver&le&taux&par&itérations&successives.& & & i% Le&taux&mensuel&est&:&$> = = 0,75%"& AB 1 − 1,0075 XAB@ 36000 = ~"× ""C8$9"36000 = ~"×"78,9417":9"~ = 456,03€& 0,0075 & En&prenant&en&compte&les&frais&:&36000 − 300 = 456,03 + 5 × "

AX APQ• uopx Q•

"C8$9"

AX APQ• uopx Q•

=

beg@@ dfA,@b

= 77,435&

Pour&trouver&le&taux,&il&faut&utiliser&différents&taux&:&si&im&=&0,75%&alors&G&=&78,942&;&mais& si&im&=&0,8%&alors&G&=&76,955&puis&par&itération&successives&:&& 78,942 − 77,435 $> = 0,75% + 0,8%, −0,75% "× = 0,788%& 78,942 − 76,955 & Soit&un&TAEG&=&12&x&0,788%&=&9,48%& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &

& & & & & Les&emprunts&indivis&:& & & & Il&est&possible&de&distinguer&les&emprunts&indivis&et&les&emprunts&obligataires.&Un& emprunt&indivis&est&un&contrat&entre&un&emprunteur&et&un&prêteur.&Ici,&le&capital& emprunté&est&remboursé&avec&un&plan&d’amortissement.&Un&plan&d’amortissement& comprend&un&capital&emprunté&à&une&date&t0¬é&C0,&un&taux&d’intérêt&nominal&ou&facial& (taux&annoncé&par&la&banque),&la&durée&de&l’emprunt¬é&T&et&le&mode&d’amortissement& du&capital&(mode&de&remboursement&du&capital&:&in&fine&/&constant&/&annuité&constante).& Un&tableau&d’amortissement&présente&au&moins&5&colonnes,&dont&la&période,&le&capital& restant&dû&en&début&de&période&(montant&emprunté&C0),&le&montant&d’intérêt&payé& pendant&la&période,&l’amortissement&(remboursement&du&capital)&et&l’annuité&de& remboursement.&& & L’amortissement&in&fine&signifie&que&l’emprunteur&ne&paie&que&les&intérêts,&et&le& remboursement&du&capital&se&fait&uniquement&à&la&fin.&Si&l’état&émet&des&obligations,& chaque&année&l’emprunteur&doit&payer&au&prêteur&le&montant&d’intérêt&mais& l’emprunteur&rembourse&le&capital&une&fois&à&la&fin.&Ce&mode&est&peu&pratiqué&sauf&pour& les&emprunts&étudiants&ou&les&investissements&immobiliers&importants.&L’avantage&de&ce& mode&est&que&l’annuité&de&remboursement&est&faible&et&ne&paie&que&les&intérêts.&& & & Période& CRD& IP& R& AR& 1& C0& I0&=&C0&x&i& 0& C0&x&i& 2& C0& I0&=&C0&x&i& 0& C0&x&i& …& C0& I0&=&C0&x&i& 0& C0&x&i& T& C0& I0&=&C0&x&i& C0& C0&(1+&i)& & & Exemple&1&feuille&4&:& Période& CRD& IP& R& AR& 1& 14000& 1400& 0& 1400& 2& 14000& 1400& 0& 1400& 3& 14000& 1400& 0& 1400& 4& 14000& 1400& 14000& 15400& & Si&la&firme&place&une&somme&la&première&année,&il&faut&que&X&(1&+&10%)3&+&X&(1&+&10%)2&+& X&(1&+&10%)&=&14000&soit&X&x&3,641&=&14000&d’où&X&=&3845,10& & & & & &

& & & & & L’amortissement&constant&:&& L’amortissement&constant&est&le&remboursement&du&capital&à&chaque&période&d’où&un& nouveau&plan&d’amortissement& & Période& CRD& IP& R& AR& 1& C0& C0&x&i& CO&/&T& C0&x&i&+&CO&/&T& 2& C0&&-&(CO&/&T)& C0&x&i&(1&–&(1/T))& CO&/&T& C0&x&(i&+&(1/T))&–&i&x&(CO/T)& …& & & & & T& C0&&-&(T-1&x&(CO&/& C0&x&i&x&(1/T)& CO&/&T& C0&x&(i+(1/T))&–&(T-1)&i& T)& C0/T& & Il&s’agit&d’une&suite&arithmétique&de&premier&terme&s0"×" $" + "

A 3

Ä@

&et&de&raison&−"$"× & 3

& Exemple&2&feuille&4&:&& Période& CRD& IP& R& AR& 1& 20000& 1600& 4000& 5600& 2& 16000& 1280& 4000& 5280& 3& 12000& 960& 4000& 4960& 4& 8000& 640& 4000& 4640& 5& 4000& 320& 4000& 4320& & & 4800& & & & Période& CRD& IP& R& AR& 1& 20000& 1600& 0& 1600& 2& 160000& 1600& 0& 1600& 3& 120000& 1600& 0& 1600& 4& 8000& 1600& 0& 1600& 5& 4000& 1600& 20000& 21600& & & 8000& & & & L’amortissement&in&fine&coute&plus&cher&puisque&les&intérêts&sont&plus&cher&mais& l’avantage&reste&que&chaque&année,&le&montant&à&débourser&est&plus&faible&que&dans&le&cas& d’amortissement&constant.&Cela&permet&à&l’emprunteur&d’emprunter&plus&avec& l’amortissement&in&fine&qu’avec&l’amortissement&constant.&& & & & & & & & & &

& & & & & L’amortissement&par&annuités&constant&:&& Le&montant&remboursé&comprend&les&intérêts&payés&et&le&capital&amorti&pendant&cette& période.&Comme&le&montant&d’intérêt&diminue&d’année&en&année,&le&capital&amorti& augmente&d’année&en&année.&& Période& CRD& IP& R& AR& 1& C0& C0i& R1&:&A&–&C0i& A& 2& C0&–&R1& C1&i& R2&:&A&–&C1i& A& & & & & & & & & & & T& & & & A& s@ "×"$ 1− 1+$ Z """"""""""""""""""""Å = " & s@ = Å"×" $ 1 − 1 + $ XZ & s@ "×"$"×" 1 + $ XZ s@ "×"$ − s "×"$ = " ÇA = Å − s@ "×"$ = = Å" 1 + $ XZ & @ 1 − 1 + $ XZ 1 − 1 + $ XZ & ÇB = "Å −" sA "×"$ = Å" 1 + $ XZ " 1 + $ """"""Çb = "Å − " sB "×"$ = Å" 1 + $ XZ "(1 + $)B & & Les&amortissements&forment&une&suite&géométrique&de&1er&terme&:&Å" 1 + $ XZ &et&de& raison&(1 + $).&Si&les&amortissements&sont&sommés&:&R1&+&R2&+&R3& 1 − (1 + $)Z Å(1 + $)XZ − Å 1 − (1 + $)XZ Å" 1 + $ XZ "×" = = Å"×" = " s@ & 1 − (1 + $) $ $ & Exemple&3&feuille&3&:&& s@ "×"$ 16000"×"7% Å =" = = 3902,25& XZ 1− 1+$ 1 − (1,07)Xe & Période& CRD& IP& R& AR& 1& 16000& 1120& 2782,25& 3902,25& 2& 13217,75& 925,2425& 2977,0075& 3902,25& 3& 10240,7425& 716,851975& 3185,398025& 3902,25& 4& 7055,344475& 493,8741133& 3408,375887& 3902,25& 5& 3646,968588& 255,2878012& 3646,962199& 3902,25& & & & & & & & & & &

& & & & & Emprunt&à&paliers&:&& L’objectif&des&emprunts&à&paliers&est&de&tenir&compte&de&la&situation&particulière&de& chaque&emprunteur.&Un&palier&correspond&à&une&période&de&plusieurs&années&pendant& lesquelles&les&annuités&sont&constantes.&& & AX(APQ)uÉo

AX(APQ)uÉp

AX(APQ)uÉÑ

×"(1 + $)XRo + 4b ×"(1 + $)X(Ro PRp ) && s@ = 4A + 4B Q Q Q où&a&=&annuité&con...