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Metodo di Rosenstark (o del guadagno asintotico) Tutte le disquisizioni teoriche finora affrontate non sono in realtà molto utili: al fine di risolvere circuiti retroazionati, sono state congeniate tecniche di vario tipo, come ad esempio il metodo di Rosenstark. Questo permette di calcolare le funzioni di trasferimento valutando tre parametri della rete senza retroazione e ha svariati pregi:    

fornisce risultati esatti (non si fanno approssimazioni); è algoritmico, non sono richieste intuizioni o astuzie particolari per applicarlo; è semplice, utilizza solo la legge di Ohm e partitori di tensione e corrente ; è generale, funziona per tutte le topologie non si fanno “tagli” dell’anello e ripristino di impedenze della rete tagliata.

Fondamenti teorici Il metodo di Rosenstark si basa sul seguente risultato:

F ( s)=

Num(s) Den ( s )

.

Data una rete lineare, una sua qualunque funzione (una funzione di trasferimento o un’ impedenza) scritta sotto forma di rapporto di due polinomi nella variabile s, è funzione bilineare di ciascuno dei suoi parametri, quale il valore dei componenti o il guadagno di un elemento attivo. La funzione di rete F(s) in generale può essere scritta nella forma

F ( s) =

A ( s )+wB(s) ; solitamente il parametro C( s) +wD (s)

di controllo w assume valore di resistenza, pilotati, condensatore o induttore. Affinché w dia retroazione e quindi sia inserito nell’anello, esso deve sempre “apparire” a denominatore, motivo per cui i polinomi C(s) e D(s) devono essere entrambi diversi da zero.

Dividendo l’espressione precedente per C(s):

F ( s) =

A wD ) C (1+ C

+w

B wD ) C (1+ c

Per w che tende ad infinito:

Per w che tende a zero:

Inoltre se si pone

F ( s)=F 0

T ( s)=w

1 + F∞ 1+T

D ( s) , la funzione di rete F(s) può essere espressa nella forma C (s )

T 1+T

dove nel primo addendo si riconosce, almeno formalmente, l’espressione tipica del guadagno dei circuiti retroazionati. Applicazione del metodo di Rosenstark Per ogni circuito elettronico esistono molte possibilità di scelta per il parametro w, ottenendo diverse funzioni T , F 0 e F ∞ . Tuttavia, qualunque w si scelga, il risultato finale per la stessa funzione deve essere uguale. Il metodo di Rosenstark utilizza come parametro w il guadagno di un elemento attivo, ad esempio βo , gm di un transistore oppure Av di un operazionale.

Calcoliamo, per esempio, l’amplificazione A di un sistema retroazionato:

A= A∞

T 1 + A0 A∞ T + A 1+T = 1+T 0

Si osservi che anche T, essendo il rapporto di due grandezze dello stesso tipo è adimensionato e che in presenza di retroazione negativa, T è positivo. L’equazione precedente descrive un diagramma a blocchi di un sistema retroazionato in cui si riconosce il solito anello di retroazione cui è stato aggiunto esplicitamente il percorso di feedforward formato dal blocco A 0 che porta una frazione dell’ingresso in somma sull’uscita, ancora dentro all’anello di retroazione.

Il blocco di retroazione ha guadagno

1/ A ∞

dell’amplificazione ideale che si ottiene quando

dove è messo in evidenza il fatto che β è il reciproco

T → ∞.

Il guadagno diretto vale T A ∞

, scritto in questo

modo per ottenere il guadagno complessivo lungo l’anello di retroazione pari a T A ∞ ×1/ A ∞

= T che

rappresenta il rapporto di ritorno del sistema. Il termine di feed-forward A 0 moltiplicato per il segnale di ingresso dà il segnale di uscita quando la retroazione non è attiva e quindi non attenua il disturbo iniettato vicino all’uscita. Vantaggi metodo:  Non c’è nessun riferimento al tipo di prelievo/confronto;  Per w noi sceglieremo sostanzialmente un parametro di controllo di un generatore pilotato interno al’anello, con un terminale al ground (generalmente meglio se più vicino al’uscita)...