Metodo di Somiglianza - Bramanti PDF

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OTTIMO PER ESERCIZI E RISOLUZIONE DI TAYLOR IN AMBITO DELL'ANALISI...

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Il "metodo di somiglianza" per la ricerca di una soluzione particolare delle equazioni differenziali lineari del second'ordine non omogenee: +C ww  ,C w  C œ 0 B

(*)

Ðcon +ß ,ß  costanti, + Á !Ñ Forma di 0 B Forma in cui si cerca CB Eventuali eccezioni e osservazioni _________________________________________________________________________________________________________________ CASO 1 polinomio di grado 8 polinomio di grado 8 Se nella (*)  œ !, cercare un polinomio di grado 8  "; se  œ , œ !, cercare un polinomio di grado 8  #. ESEMPI CASO 1 Cww  #C œ B$  # C B œ  B$   B#   B   ww w C  $C œ #B  " C B œ B#  B   _________________________________________________________________________________________________________________ CASO 2 esponenziale E/B esponenziale /B Se non c'è soluzione di questo tipo (ciò accade perché+ #  ,   œ !, (lo stesso , e da determinarsi) ossia perché /B è soluzione dell'eq. diff. omogenea)ß cercareCB œ B/B ; se nemmeno questo tipo di soluzione esiste, cercare C B œ B# /B ESEMPI CASO 2 Cww  #Cw  $C œ #/$B CB œ /$B Cww  #Cw  $C œ $/B C B œ B/B (Spiegazione 2° es.:  œ "è soluzione dell'eq. caratteristica #  #  $ œ !; equivalentemente: /B è soluzione dell'eq. diff. omogenea Cww  #Cw  $C œ ! ; perciò occorre moltiplicare per B ) ________________________________________________________________________________________________________________ CASO 3 Ecos B  Fsin B "cos B  #sin  B Notare che anche se 0 ha uno solo dei due addendi (seno o coseno), (lo stesso , e " ß # da determinarsi) in generale la soluzione li ha entrambi. Se , œ ! può accadere che " cos B  #sin B sia soluzione dell'omogenea: in tal caso, cercare soluzione B"cos B  #sin B . ESEMPIO CASO 3 Cww  #Cw  C œ $sin #B C B œ " cos #B  #sin#B

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Forma di 0 B Forma in cui si cerca CB Eventuali eccezioni e osservazioni _________________________________________________________________________________________________________________ CASO 4 /  B Ecos B  Fsin B / B "cosB   #sin B Se D œ   3 è soluzione di +D #  ,D   œ ! , sostituire / B con B/ BÞ (gli stessi ß  e Notare che anche se 0 ha uno solo dei due addendi (seno o coseno), in generale la soluzione li ha entrambi. " ß # da determinarsi) ESEMPI CASO 4 Cww  #C œ $/B sin#B C B œ /B " cos#B  # sin#B  ww w #B C %C &C œ $/ cos B C B œ B/#B"cos B   #sinB (Spiegazione 2° es.: D œ #  3 è soluzione dell'eq. caratteristica D#  %  & œ ! , ossia /#BcosBß /#BsinB sono soluzioni dell'eq. omogenea Cww  %Cw  &C œ ! , perciò si introduce il fattore B ). (Nel caso 4 può essere più comodo effettuare i calcoli utilizzando i numeri complessi, come illustrato a lezione. Per sinteticità, qui non si riporta l'illustrazione di quel metodo). _________________________________________________________________________________________________________________ CASO 5 / B:Bß dove : B  è / B; B , con lo stesso , e Se  è soluzione dell'eq. caratteristica + #  ,   œ !, cercare una un polinomio di grado 8 ; B polinomio di grado 8, da soluzione CB œ /B † polinomio di grado 8  " determinarsi ESEMPI CASO 5 Cww #Cw C œ /$B B# C B  œ /$B +B,  Cww  C œ /B B# CB œ /B +B# ,B    (Spiegazione 2° esempio:  œ " è soluzione dell'eq. caratteristica #   œ ! , ossia/ B è soluzione dell'equazione omogeneaC ww  C œ ! ; perciò il polinomio che compare in C si alza di grado). OSSERVAZIONE. QUANDO IL TERMINE NOTO E' SOMMA DI DUE FUNZIONIDEI TIPI PRECEDENTI : Se il termine noto è del tipo 0 B  œ "0 B  #0 B,con "0 ß#0 dei tipi descritti in precedenza, è sufficente cercare (separatamente) una soluzione particolare C" dell'equazione PC œ 0" ; una soluzione particolare #C dell'equazione PC œ #0 ; a questo punto (per la linearità dell'equazione differenziale), la funzione "C  #C sarà una soluzione particolare di PC œ "0  #0 . Esempio: Cww  #C œ $/B  B#  " Si cerca una soluzione C" œ " /B dell'equazione Cww  #C œ $/B ; si cerca una soluzione C" œ +B#  ,   dell'equazione Cww  #C œ B#  "; la funzione "C  #C sarà allora una soluzione particolare dell'equazione di partenza.

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