Modulo 5 Rentas Financieras bueno PDF

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Explicación, procedimiento y fórmulas...

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Estudis: Grau en administració d’empreses Assignatura: 20602 - Introducció als Mercats i Operacions Financeres Bloc temàtic número 5: Rentas Financieras Professor: Margarita Aguiló Femenias Edició: Edita: Campus Extens Unitat de Suport Tecnicopedagògic Universitat de les Illes Balears

1

ÍNDEX

MÓDULO 5. Las Rentas Financieras Índice de contenidos: 1. Concepto y clasificación 2. Cálculo general del valor actual de una renta financiera 3. Las rentas financieras constantes 3.1 Aplicación rentas constantes: préstamos 4. Las rentas financieras variables en progresión geométrica

Glosario

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PRESENTACIÓ Descripción de los contenidos: Basándonos en los conceptos y leyes financieras expuestas en el módulo 3, en este módulo se analizan las rentas financieras. Las rentas financieras son instrumentos matemático-financieros necesarios para el análisis de algunas operaciones financieras que se realizan habitualmente en la vida cotidiana: pago de alquileres, salarios, devolución préstamos, etc. En este módulo se analizan las rentas constantes y las variables en progresión geométrica. En cada caso se analiza en detalle su aplicación práctica, a través de la resolución de problemas.

Concretamente, se estudia y analiza la forma a través de la cuál obtener el valor en un determinado momento del tiempo de los diferentes tipos de rentas existentes, exponiendo en cada caso las fórmulas y metodologías necesarias para su valoración. Esta metodología será de gran utilidad para el alumno a la hora de cursar las siguientes asignaturas del grado correspondientes a la materia de Finanzas que se encuentran en los sucesivos cursos de este grado

3

CONTINGUTS DEL BLOC TEMÀTIC

1. Concepto y clasificación Podemos definir renta financiera como un conjunto de capitales financieros con vencimientos equidistantes en el tiempo, es decir, con vencimientos periódicos. Siguiendo esta definición, una renta financiera se puede representar de la siguiente forma:

0

1

2

3

4

...

n

1

2

3

4

...

n

Dónde (1, 2, 3, ..., n) son las cantidades de dinero de cada uno de los capitales financieros que constituyen la renta y que denominamos términos de la renta, y (0, 1, 2, 3, ..., n) son los vencimientos (meses, semestres, años, etc...) en que vencen dichos capitales.. Si llevamos a cabo un rápido repaso de nuestra realidad más habitual podemos encontrar numerosos ejemplos de rentas financieras: 

El alquiler de una casa: pagamos al principio o al final de cada mes el importe del alquiler.



Los términos amortizativos de un préstamo: pagamos al inicio o al final de cada mes una cantidad de dinero para devolver el préstamo.



Los dividendos de una acción: anualmente recibimos el importe de los dividendos de las acciones.

Podemos clasificar las rentas financieras en función de diferentes criterios complementarios entre si: A. En función de la cuantía de los términos: Es el criterio más importante, y en base al cuál esta basada la estructura de este tema. En función de este criterio podemos distinguir entre: 

Rentas constantes: son rentas caracterizadas porque todos los capitales financieros que las componen tienen el mismo importe. Es decir: (1 = 2 = 3 = ... = n = ).

Gráficamente:

0 









...



1

2

3

4

...

n

Rentas variables: son rentas caracterizadas porque los capitales financieros que las componen no tienen el mismo importe sino que van variando de una determinada manera. Dentro del amplío abanico de rentas variables, en este módulo analizaremos solamente las rentas variables en progresión geométrica:

4



Rentas variables en progresión geométrica: los términos de la renta varían en progresión geométrica, es decir, los términos van aumentando (o disminuyendo) en un porcentaje fijo acumulativo. Así, si definimos (1) como el primer termino de la renta, y q la razón de crecimiento/decrecimiento (q = 1 + tasa de crecimiento de la renta), se cumple que:

1 2  1  q 

 3   2  q   1  q2  4   3 q   1  q3  n  n 1 q  1 q n 1



Gráficamente:

1

1.q1

1

2

0

1.q2

1.q(n-1)

...

3

4

...

n

B. En función de su duración: En función de este criterio podemos distinguir entre: 

Rentas temporales: son rentas cuya duración es finita, es decir, tienen un número finito de términos. Gráficamente:

1 0 

1

2

3

4

...

n

2

3

4

...

n

Rentas perpetuas: son rentas de duración infinita, es decir, tienen un número infinito de términos. Gráficamente:

0

1

2

3

4

...

1

2

3

4

...

C.- En función de del momento en que vencen sus términos: 

Rentas pospagables: son rentas cuyos términos vencen al final de cada período. Gráficamente:

0

1

2

3

4

...

n

1

2

3

4

...

n 5



Rentas prepagables: son rentas cuyos los términos vencen al principio de cada período. Gráficamente:

1

2

3

0

1

2

4

3

n

...

...

(n-1)

n

6

2. Cálculo general del valor actual de una renta Nuestro principal objetivo en este módulo es obtener el valor de una renta en un determinado momento del tiempo, es decir, el valor de todos los términos de la renta en un determinado momento del tiempo. Si tenemos en cuenta que una renta financiera no es más que un conjunto de capitales financieros con vencimiento periódico, entonces el valor de una renta financiera en un determinado momento del tiempo, no es más que la suma del valor, en ese momento, de cada uno de los capitales financieros que la forman. Para la valoración de rentas utilizaremos siempre las leyes compuestas a interés vencido analizadas en el módulo 3 Para simplificar el análisis, vamos a suponer una renta de n términos anuales cuyo primer término vence al final del primer año y calcularemos su valor en el momento 0, es decir, su valor actual. . Gráficamente:

0

1

2

3

4

...

n

1

2

3

4

...

n

Aplicando la ley de descuento compuesto (analizada en el Módulo 3), el valor actual (valor en 0) de la renta financiera representada, es: VA = 1 . (1 + i)-1 + 2 . (1 + i)-2 + 3 . (1 + i)-3 + ... + n . (1 + i)-n

El problema de esta fórmula aparece cuando nos encontramos ante rentas formadas por un elevado número de términos. En estos casos resulta costoso y complicado calcular el valor actual de cada uno de los términos que forman la renta. Por esta razón, son necesarias fórmulas que nos permitan calcular el valor actual de una renta de una forma rápida y sencilla, a través de una sola operación, sin necesidad de tener que descontar cada uno de los términos de la renta. A continuación vamos a exponer las fórmulas que nos permitirán valorar de una forma rápida y cómoda las rentas financieras constantes, y variables en progresión geométrica.

7

3. Rentas financieras constantes Las rentas financieras constantes son rentas caracterizadas porque todos los capitales financieros que las componen tienen el mismo importe: 1   2   3    n Supongamos una renta constante, pospabable y temporal formada por “n” términos anuales:

0









1

2

3

4



... ...

n

La fórmula que nos proporciona el valor actual en 0 (= VA) de esta renta constante de cuantía “” y formada por “n” términos” anuales la conseguiremos aplicando el siguiente razonamiento: Supongamos que tenemos una renta pospagable de n términos anuales unitarios (es decir, la cuantía de sus términos es de 1 €.):

0

1

1

1

1

1

2

3

4

1 …

I

n F

La fórmula que nos permite calcular el Valor de la Renta Unitaria Constante y Pospagable de n términos y valorada al tanto de interés compuesto anual vencido i en t=0, la representaremos por el símbolo an i

a n i  1 1 i  1 1  i  1 1  i 1

Llamamos V  1  i 

1

2

3

   1 1  i

n







a n i  V  V2  V3   Vn  V  1 V  V2   Vn 1  Lo que hay dentro de los corchetes no es más que una suma de los términos de una progresión geométrica creciente de primer término a 1  1 , de último término razón V.

La fórmula de la suma de los términos de una progresión geométricas es:

S

a n  Vn 1 y

a1  a n  r 1r

Por lo tanto:

8

1  1    1 1   n  1  V  1 V V  1 1  i   1   1  i n    an i  V   V      1 V  1  i   i 1  1 i      1 V  1  1 i    1 i      n1

n



1 1 i i

n

1 1  i  n a n i  i 

Si los términos de la renta son iguales a

 , entonces el valor de la renta se calculará: VA    a n i

Dónde:

1  1  i i

n



a n i 



n : número de términos de la renta.



i : tipo de interés compuesto anual y vencido

Como podéis comprobar fácilmente, si la renta anterior fuera mensual, es decir los términos de la renta vencieran cada mes el valor actual de la misma sería:



1 2 3 VA    1 i 12  1 i12   1 i12    1 i12

 n 

VA    a n i12 Por lo tanto, a la hora de introducir los valores de (i, n), tenemos que tener en cuenta que (n) es el número de términos o número de capitales financieros de la renta que valoramos y que el tipo de interés que utilizaremos para valorarla dependerá de la periodicidad de la renta. Si la renta es mensual utilizaremos el tipo de interés mensual, si es semestral utilizaremos el tipo de interés semestral, etc. Otra de las características de la fórmula anterior, reside en el hecho que esta fórmula nos proporciona siempre el valor de la renta un período antes de donde se encuentre el primer término de la renta. Así pues, en consecuencia: 

Si la renta tiene su primer término en el momento 1, esta fórmula nos proporciona el valor de la renta en el momento 0.



Si por el contrario el primer término se encuentra en el momento 5, esta fórmula nos proporciona el valor de la renta en el momento 4. En consecuencia, si lo que queremos es el valor de la renta en el momento 0, deberemos descontar dicho valor (es decir, trasladar hacia atrás a través de la ley financiera de descuento compuesto) 4 períodos hacia atrás.

Estos razonamientos también serán aplicables a las fórmulas que valoran las rentas variables en progresión aritmética y geométrica.

9

Ejemplos 1. Sea una renta, formada por 10 términos anuales de cuantía 100 €. El primer término se paga en el momento 1. Si el tipo de interés es del 10% anual, se pide calcular su valor actual (= valor en el momento 0).

Solución Representamos gráficamente la renta:

0

100

100

100

1

2

3

100 ... 4

100 ...

10

Aplicamos la fórmula:

1  (1  0 ,1 )  10   1 ( 1 i )n  VA  (  ).   614,45 €   ( 100 ).  0,1 i     Como el primer término de la renta vence al final del año 1, al aplicar la fórmula, la renta queda valorada en el año 0 (un período antes de donde se encuentre el primer término). 2. Sea una renta, formada por 5 términos anuales de cuantía 100 €. El primer término se paga al final del año 5. Si el tipo de interés es del 10% anual, se pide calcular su valor actual (= valor en el momento 0).

Solución Representamos gráficamente la renta:

VA4

VA0

0

100

…

4

5

100 ...

6

...

100

9

Aplicamos la fórmula:

1 (1  i)  n   1 (1 0,1) 5 VA4     100     i 0,1   

   379,078 €. 

Como el primer término de la renta vence al final del año 5, al aplicar la fórmula, la renta queda valorada al final del año 4 (un período antes de donde se encuentra el primer término). Así

10

pues si queremos el valor de la renta en el momento 0 tenemos que descontar (aplicando leyes financieras compuestas) dicho valor 4 años hacia atrás:

VA0  ( 379 ,078 ).(1  0 1, ) 4  258 ,915 € 3. Tenemos una renta formada por 10 términos mensuales de cuantía 200 €. El primer término se paga al final del primer mes. Si el tipo de interés es del 10% anual, se pide calcular su valor actual (= valor en el momento 0).

Solución Representamos gráficamente la renta:

0

200

200

200

1

2

3

200 ... 4

200 ...

10

La renta está compuesta por 10 términos mensuales. Al tratarse de una renta mensual, tenemos que utilizar un tipo de interés mensual, por lo que tendremos que buscar (aplicando leyes financieras compuestas) el tipo de interés mensual equivalente al 10% anual:

i k  ( 1  i )1 / k 1  ( 1  0,1 )1 / 12  1  0 ,00797 Ahora ya podemos aplicar la fórmula:

1 ( 1  0,00797 ) 10  1  (1  i12 ) n  VA  (  ).    1.915 ,01 €   ( 200 ). i12 0 ,00797     Como el primer término de la renta está al final del mes 1, al aplicar la fórmula, la renta queda valorada directamente en el momento 0 (un período antes de donde se encuentre el primer término). 4. Sea una renta, formada por 5 términos semestrales de cuantía 100 €. El primer término se paga al final del tercer semestre. Si el tipo de interés es del 10% anual, se pide calcular su valor actual (= valor en el momento 0).

Solución Representamos gráficamente la renta:

11

100 0

1

2

3

100 ... 4

...

100 7

La renta está compuesta por 5 términos semestrales. Al tratarse de una renta semestral, tenemos que utilizar un tipo de interés semestral, por lo que tendremos que buscar (aplicando leyes financieras compuestas) el tipo de interés semestral equivalente al 10% anual:

ik  (1  i )1 / k  1  ( 1  0 ,1 )1 / 2  1  0,0488 Ahora ya podemos aplicar la fórmula:

1  ( 1  i 2 )  n  1 ( 1  0, 0488) 5  VA2  (  ).   ( 100 ).    434 ,37 € 0,0488 i2     Como el primer término de la renta se sitúa al final del tercer semestre, al aplicar la fórmula, la renta queda valorada al final del semestre 2 (un período antes de donde se encuentre el primer término). Así pues si queremos el valor de la renta en el momento 0 tenemos que descontar (aplicando leyes financieras compuestas) dicho valor 2 semestres hacia atrás:

VA0  ( 434 ,376 ).(1  0 ,0488 )2  ( 434,376 ).(1  0,1 ) 1  394,887 € Supongamos ahora una renta anual de carácter perpetuo. Recordar que las rentas perpetuas se caracterizan por el hecho de tener un número infinito de términos. Gráficamente:

0









1

2

3

4

...

...

La fórmula que nos proporciona el valor actual de esta renta será la siguiente:

VA    a   i 

   lim n  

1  1  i  n   1        i i   

VA    a i   

1 i

Dónde: 

a  i 

1 i

12

Todos los razonamientos expuestos para la fórmula del valor actual de una renta constante temporal son también aplicables a esta fórmula. Es decir: 

El tipo de interés a utilizar dependerá de la periodicidad de la renta: si la renta es anual deberemos utilizar (i); si la renta es mensual deberemos utilizar (i12); si la renta es semestral deberemos utilizar (i2); etc.



Esta fórmula nos proporciona el valor de la renta un período antes de donde se encuentra situado el primer término de la renta.

3.1 Aplicación rentas constantes: préstamos

Los préstamos son operaciones financieras en las que una persona -prestamista- entrega a otra -prestatario- una determinada cantidad de dinero que éste se compromete a devolver junto con sus intereses correspondientes, según las condiciones convenidas. Como en cualquier operación financiera debe cumplirse la equivalencia financiera entre prestación y contraprestación, es decir, lo que entrega el prestamista debe ser igual a lo que recibe del prestatario, todo ello valorado en un mismo momento del tiempo y al tipo de interés fijado para la operación de préstamo. Existen muchos métodos de amortización de préstamos, los más habituales son el Sistema Francés y el Sistema Americano. Sistema Francés El Sistema Francés es un método de amortización o devolución del préstamo en el que el prestatario se compromete a devolver el capital prestado mediante varios pagos escalonados en el tiempo todos de la misma cuantía, es decir, la devolución del préstamo se lleva a cabo mediante el pago de una renta constante. Estos pagos reciben el nombre de términos amortizativos. Este sistema implica: -

La acumulación al capital pendiente de devolución de los intereses generados durante el periodo transcurrido entre cada pago.

-

El pago de un término amortizativo  que satisface los intereses devengados y amortiza una parte del capital pendiente

Supongamos un préstamo de 10.000 € que debe amortizarse en 5 años mediante el pago de términos amortizativos anuales constantes y que se ha firmado a un tipo de interés del 5% anual vencido 10.000











0

1

2

3

4

5

Para calcular la cantidad que deberá pagar el prestatario anualmente planteamos la equivalencia financiera entre prestación y contraprestación que siempre debe cumplirse en cualquier operación financiera: Prestación valorada en t = 0: Capital prestado

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Contraprestación valorada en t = 0: Suma del valor de todos los pagos que realizará el prestatario para devolver el préstamo valorados en t = 0 C    1  i     ...