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Tema 4 – Rentas financieras

TEMA 4 – RENTAS FINANCIERAS 4.1. Concepto Una renta es una sucesión de capitales disponibles en una sucesión de vencimientos. Por ejemplo, un sueldo, un alquiler, los intereses de un valor mobiliario, etc.

De forma gráfica, el concepto de renta se puede representar de la siguiente forma:

4.2. Elementos 

A a1,….,a n se les llama “términos de la renta” y, son cada uno de los capitales financieros que forman la renta. Si la cuantía del término es variable vendrá denotada por “a k” como el ejemplo gráfico expuesto y, si los términos son constantes por “a”.



El origen de la renta será el extremo inferior, es decir, “0”, el primer periodo.



El final de la renta será el extremo superior, es decir, “n”, el último periodo.



La duración será el tiempo que transcurre entre el origen y el final.



El periodo de maduración es el tiempo que transcurre entre dos términos consecutivos.

4.3. Tipos de rentas A- Según la naturaleza de los términos:  Rentas ciertas: cuando los capitales que forman las rentas son ciertos, conocidos.  Rentas aleatorias: cuando algún capital, ya sea su cuantía y/o su vencimiento es una variable aleatoria, es decir, no son conocidos de antemano, por ejemplo, el recibo del teléfono.

B- Según la cuantía de sus términos:  Rentas constantes: cuando los capitales son de igual cuantía.

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atemática de las operaciones financieras – 1º Grado ADE

 Rentas variables: cuando los capitales que forman la renta no son de igual cuantía, pudiendo variar en progresión aritmética o geométrica o de forma arbitraria.

C- Según la duración de la renta:  Rentas temporales: cuando la duración es finita, es decir, limitada, por ejemplo, entre el intervalo (o,n) del gráfico anterior.  Rentas perpetuas: cuando la duración es infinita, ilimitada.

D- Según el vencimiento de los términos:  Rentas pospagables: cuando los capitales de la renta vencen a final de cada periodo.

 Rentas prepagables: cuando los capitales de la renta vencen a principio de cada periodo.

E- Según la amplitud del periodo de maduración:  Rentas discretas: cuando todos los periodos de maduración son de amplitud finita, por ejemplo, trimestral, semestral, mensual, etc. 2

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 Rentas continuas: cuando todos los periodos de maduración son infinitesimales, es decir, su amplitud tiende a cero.

4.4. Valoración financiera de una renta El problema que se plantea con las rentas es su valoración, es decir, calcular la suma financiera de todos sus términos en un momento de tiempo determinado. Llamamos “valor financiero de una renta” a aquel capital, que en una fecha determinada, resulta financieramente equivalente a todos los términos de la renta.

En la valoración de las rentas se puede utilizar leyes simples o compuestas, siendo lo usual utilizar una ley financiera de capitalización compuesta. Aunque una renta puede valorarse en cualquier momento del intervalo temporal donde se genera, normalmente su valoración se realizará en el extremo inferior del primer periodo de valoración (origen de la renta) o, en el extremo superior del último periodo de maduración (final de la renta). A estos valores se les denomina, respectivamente, valor actual (VA) y valor final (VF).

En función del momento en que queramos valorar una renta, diferenciamos distintos tipos de rentas financieras: 

Rentas inmediatas: cuando los términos de la renta se valoran en cualquier punto del intervalo de la renta.

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Rentas diferidas: cuando los términos se valoran en un punto anterior al origen de la renta.

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

Rentas anticipadas: cuando los términos se valoran en un punto posterior al final de la renta.

Para la valoración financiera de cada uno de los distintos tipos de rentas ciertas y discretas, que analizaremos en este tema, se considerarán los términos anuales, valorados con la ley financiera de capitalización compuesta, al tanto efectivo anual i, y suponiendo que el intervalo [o,n] de la duración de la renta está dividido en periodos de maduración de amplitud anual.

4.4.1. Valoración de rentas constantes 4.4.1.1. Temporales Dentro de la rentas constantes y temporales, vamos a distinguir: A. Rentas inmediatas. B. Rentas diferidas. C. Rentas anticipadas. A. Rentas constantes, temporales e inmediatas. Son rentas cuyos términos son de igual cuantía, duración finita (número de términos limitado), eligiendo como fecha de valoración el valor actual (origen de la renta) o el valor final (final de la renta). Su representación gráfica, para el intervalo [0,n], con n periodos de maduración, valorada al tanto efectivo anual i: Modalidad pospagable:

Valor actual de una renta temporal inmediata pospagable de términos de cuantía unitaria Valor final de una renta temporal inmediata pospagable de términos de cuantía unitaria

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Valor actual de una renta temporal inmediata pospagable de términos de cuantía a Valor final de una renta temporal inmediata pospagable de términos de cuantía a Modalidad prepagable:

Valor actual de una renta temporal inmediata prepagable de términos de cuantía unitaria Valor final de una renta temporal inmediata prepagable de términos de unitaria

Valor actual de una renta temporal inmediata prepagable de términos de cuantía a Valor final de una renta temporal inmediata prepagable de términos de cuantía a Cálculo del valor actual

Obtendremos la suma financiera de todos los términos en el origen de la renta, lo que supone llevar cada uno de los términos de la renta hasta el origen de la misma, es decir, estamos actualizando los términos.

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Modalidad pospagable:



Si la renta es unitaria:

Progresión geométrica decreciente de razón (1+i)-1, cuya fórmula es:



Si la renta es de cuantía a:

Ejemplo 1

Calcular el valor actual de una renta pospagable de 15.000 € anuales a percibir durante 10 años siendo el tanto de valoración al 7% efectivo anual.

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Modalidad prepagable:



Si la renta es unitaria:

Progresión geométrica decreciente de razón (1+i)-1, cuya fórmula es:



Si la renta es de cuantía a:

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Ejemplo 2

Calcular el valor actual de un depósito anual prepagable de 1.000 € durante 10 años. El tipo de interés es del 5% anual.

Cálculo del valor final Obtendremos la suma financiera de todos los términos en el final de la renta. Para eso tenemos que llevar cada uno de los términos de la renta hasta el final de la misma, es decir, estamos capitalizando los términos.

Modalidad pospagable:



Si la renta es unitaria:

Progresión geométrica creciente de razón (1+i), cuya fórmula es:

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

Si la renta es de cuantía a:

Modalidad prepagable:



Si la renta es unitaria:

Si la renta es de cuantía a:

Ejemplo 3 Calcular el valor final de un depósito anual pospagable de 25.000 € durante 20 años. El tipo de interés es el 6,5% efectivo anual.

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Relación entre valor actual y valor final:

Gráficamente sería:

Ejemplo 4 Determinada persona realiza imposiciones pospagables de 100 € anuales durante 10 años al tipo de interés del 5% anual. Se pide: a) Valor actual b) Valor final c) Obtener el valor final en función del valor actual.

B. Rentas constantes diferidas temporales Son rentas cuyos términos son de igual cuantía, duración finita (número de términos limitado), eligiendo como fecha de valoración, en el valor actual, un punto anterior al origen de la renta, y en el valor final, el final de la renta.

Su representación gráfica, es de la siguiente forma, donde al intervalo de diferimiento lo denominaremos “d”.

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Cálculo del valor actual

Modalidad pospagable:

Valor actual de una renta temporal diferida pospagable de términos de cuantía unitaria Valor actual de una renta temporal diferida pospagable de términos de cuantía a



Si la renta es unitaria:



Si la renta es de cuantía a:

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Modalidad prepagable:

Valor actual de una renta temporal diferida prepagable de términos de cuantía unitaria Valor actual de una renta temporal diferida prepagable de términos de cuantía a



Si la renta es unitaria:



Si la renta es de cuantía a:

Cálculo del valor final Para el cálculo del valor final, la existencia de un diferimiento no afecta a su cálculo.

Ejemplo 5 Para la compra de una vivienda nos ofrecen las siguientes condiciones: Durante los dos primeros años no se entregará cantidad alguna 20 cuotas anuales de 6.000 € cada una, empezando a realizar los pagos al final del segundo año. Tipo de interés: 5% anual. Se pide: valor actual y final de la renta descrita.

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C. Rentas constantes anticipadas temporales Son rentas cuyos términos son de igual cuantía, duración finita (número de términos limitado), eligiendo como fecha de valoración, en el valor actual (origen de la renta), y en el valor final, un punto posterior al final de la renta.

Su representación gráfica, teniendo en cuenta el intervalo de anticipación que denominamos “h”.

Cálculo del valor actual Al cálculo del valor actual no le afecta la existencia del intervalo de anticipación, ni a la modalidad pospagable ni a la prepagable.

Cálculo del valor final Modalidad pospagable

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Valor final de una renta temporal anticipada pospagable de términos de cuantía unitaria Valor final de una renta temporal anticipada pospagable de términos de cuantía a



Si la renta es unitaria:



Si la renta es de cuantía a:

Ejemplo 6 La Sociedad Carosa realiza en una determinada entidad bancaria imposiciones pospagables anuales durante 5 años por un importe de 1.000 € ¿Cuánto tendrá 3 años después de realizada la última imposición? El tipo de interés es del 5% anual.

Modalidad prepagable Valor final de una renta temporal anticipada prepagable de términos de cuantía unitaria Valor final de una renta temporal anticipada prepagable de términos de cuantía a

Si la renta es unitaria:

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Si la renta es de cuantía a:

Ejemplo 7 La Sociedad Carosa realiza en una determinada entidad bancaria imposiciones prepagables anuales durante 5 años por un importe de 1.000 € ¿Cuánto tendrá 3 años después de realizada la última imposición? El tipo de interés es del 5% anual.

4.4.1.2. Perpetuas Vamos a estudiar: A. Rentas constantes inmediatas perpetuas. B. Rentas constantes diferidas perpetuas.

A. Rentas constantes inmediatas perpetuas Son rentas cuyos términos son de igual cuantía, duración ilimitada (número de términos infinito), eligiendo como fecha de valoración el valor actual (origen de la renta) y careciendo de sentido el cálculo del valor final. Su representación gráfica es de la forma:

Cálculo del valor actual Modalidad pospagable

Valor actual de una renta perpetua inmediata pospagable de términos de cuantía unitaria Valor actual de una renta perpetua inmediata pospagable de términos de cuantía a

El valor actual se obtiene aplicando el límite al valor actual de la correspondiente renta constante temporal inmediata, cuando n tiende a infinito. Si la renta es unitaria:

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Si la renta no es unitaria:

Ejemplo 8

Calcular el valor actual de una renta perpetua de 1.000 € anuales pospagables si el tipo de interés es el 6% anual.

Modalidad prepagable

Valor actual de una renta perpetua inmediata prepagable de términos de cuantía unitaria Valor actual de una renta perpetua inmediata prepagable de términos de cuantía a

Si la renta es unitaria:

Si la renta no es unitaria:

Ejemplo 9

Calcular el valor actual de un piso por el que se percibe una renta anual prepagable de 5.000 €. Tipo de interés 6% anual.

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B. Rentas constantes diferidas perpetuas Son rentas cuyos términos son de igual cuantía, duración ilimitada (número de términos infinito), eligiendo como fecha de valoración un momento anterior al de origen de la renta y careciendo de sentido el cálculo del valor final. Su representación gráfica es de la forma:

Cálculo del valor actual

Modalidad pospagable

Valor actual de una renta perpetua diferida pospagable de términos de cuantía unitaria Valor actual de una renta perpetua diferida pospagable de términos de cuantía a



Si la renta es unitaria:



Si la renta no es unitaria:

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Modalidad prepagable

Valor actual de una renta perpetua diferida prepagable de términos de cuantía unitaria Valor actual de una renta perpetua diferida prepagable de términos de cuantía a



Si la renta es unitaria:



Si la renta no es unitaria:

4.4.2. Valoración de rentas variables Vamos a estudiar aquellas en donde sus términos varían en progresión aritmética y en progresión geométrica.

A. Rentas en progresión aritmética Estas rentas se caracterizan porque sus términos varían añadiendo al anterior una cantidad constante h, llamada razón de la progresión. Si la renta tiene n términos, puede representarse de la siguiente manera:

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Modalidad pospagable:

Valor actual de una renta temporal inmediata pospagable de términos en progresión aritmética. Valor final de una renta temporal inmediata pospagable de términos en progresión aritmética. Modalidad prepagable:

Valor actual de una renta temporal inmediata prepagable de términos en progresión aritmética. Valor final de una renta temporal inmediata prepagable de términos en progresión aritmética.

Cálculo del valor actual y del valor final 1.- Temporales 1.1. Inmediatas Modalidad pospagable

operando,

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Modalidad prepagable

Ejemplo 10 Calcular el valor actual y final de una renta que reúne las siguientes características: Tipo de interés: 6% anual. Duración: 10 años. Imposiciones al final de cada año. La primera imposición es de 1.000 € y las demás se incrementan 100 € cada año.

1.2. Diferidas Modalidad pospagable

Modalidad prepagable

1.3. Anticipadas Modalidad pospagable

Modalidad prepagable

Ejemplo 11 Ingresamos en una entidad financiera 1.000 € al finalizar el primer año, los restantes se 20

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incrementarán en 200 €. Si el número de imposiciones es de 10 y el tipo de interés el 5% anual, ¿Cuánto tendremos 3 años después de realizada la última imposición?

2.- Perpetuas 2.1. Inmediatas Modalidad pospagable

Modalidad prepagable

Ejemplo 12 Calcular el valor actual de un local comercial por el que se percibe de alquiler 1.000 € al finalizar el primer años y los restantes varían en una progresión aritmética de 200 € cada año. Tipo de interés 5 % anual.

2.2. Diferidas Modalidad pospagable

Modalidad prepagable

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B. Rentas en progresión geométrica Estas rentas se caracterizan porque sus términos se obtienen multiplicando el anterior por una cantidad constante q, llamada razón de la progresión Suponiendo que el primer término de la renta es a, la razón de la progresión es q y el número de términos de la renta es n, puede representarse de la siguiente manera para una pospagable:

Modalidad pospagable:

Valor actual de una renta temporal inmediata pospagable de términos en progresión geométrica. Valor final de una renta temporal inmediata pospagable de términos en progresión geométrica.

Modalidad prepagable:

Valor actual de una renta temporal inmediata prepagable de términos en progresión aritmética. Valor final de una renta temporal inmediata prepagable de términos en progresión aritmética.

Cálculo del valor actual y del valor final 1.- Temporales 1.1. Inmediatas

Modalidad pospagable Valor actual

operando,

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Valor final

Modalidad prepagable Valor actual

Valor final

Ejemplo 13 Una persona va a ingresar al final de cada año en un banco unas cantidades que se irán incrementando en un 10% acumulativo, siendo la primera aportación 1.000 €. Si el tipo de interés es el 6% anual y la duración de la operación 10 años, calcular el valor actual y final de dicha renta.

1.2. Diferidas Modalidad pospagable Valor actual

Modalidad prepagable Valor actual

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Ejemplo 14 Calcular el valor actual y el valor final de una renta diferida (d=3 años) cuyos términos varían en una progresión geométrica de razón 1,06 siendo el primero 1.000 €, el tanto de interés el 8% anual y el número de imposiciones 7. Caso A) Las imposiciones se realizan al final de cada año. Caso B) Las imposiciones se realizan al principio de cada año.

1.3. Anticipadas Modalidad pospagable Valor final

Modalidad prepagable Valor final

Ejemplo 15 Depositamos en una entidad financiera 4 cuotas anuales pospagables que varían en un 3% anual acumulativo. Si la primera cuota es de 1.000 € y el tipo de interés es el 6% anual, ¿cuánto tendremos cuando transcurran 3 años después de realizada la última imposición?

2.- Perpetuas 2.1. Inmediatas Modalidad pospagable

Modalidad prepagable

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2.2. Diferidas Modalidad pospagable

Modalidad prepagable

4.5. Rentas financieras equivalentes Las rentas estudiadas hasta este momento tenían la característica común de que tanto los periodos de maduración de la renta como el tipo de interés estaban expresados en la misma unidad de tiempo (el año). Pero puede ocurrir, y ocurre, que los periodos de maduración no sean anuales, sino mensuales, trimestrales, etc., por tanto, vamos a estudiar un caso particular que consiste en dividir en “m” partes iguales las cuantías de los términos que forman la renta: