Partie III Le medaf PDF

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Summary

Cette partie concerne spécifiquement Le Medaf . Vous trouverez la définition du modèle sa méthode de calcul , ses faiblesses et tout ce qui concerne le medaf. Vous trouverez également les ratios financiers , la droite d'allocation du capital et les intérpretations. C'est vraiment un cours très détai...

Description

- Marchés financiers L3.Semestre 6 -

12/02/13 MARCHÉS FINANCIERS PARTIE 3 : LE MEDAF I)Introduction

•

Nous avons vu que la CNA entre tous les titres conduit à l’égalisation des rendements espérés corrigés du risque : Rf = EA – PRA = EB – PRB ◦ En général EA sera différent de EB ◦ Si les investisseurs n’aiment pas le risque, les primes de risque sont positives (nulles si NFR). ◦ Comment déterminer les primes de risque ? A)Le MEDAF (ou CAPM)

• • • • • •

Le calcul des primes de risque nécessite un modèle de valorisation des actifs (asset pricing). Modèle le plus connu et le plus utilisé de la théorie financière : MEDAF : Modèle d'Evaluation Des Actifs Financiers CAPM : Capital Asset Pricing Model pour calculer la prime de risque il nous faut nécessairement un modèle Fondements : William Sharpe (1965), John Lintner (1965) et Jack Treynor.(pas de publications) → des idées capitales Bernstein B)Deux composantes du modèle

• •

1. Modèle de prix des actifs : quel prix des actifs financiers en fonction de leur risque ? (quels primes de risque ?) → CAPM 2. Modèle de choix de portefeuille : comment composer son portefeuille en fonction de sa tolérance au risque ? → Markowitz C)Faiblesses du modèle moyenne-variance (MV) (Markowitz - Tobin)

•

•

Le modèle moyenne-variance de Markowitz indique la prime de risque seulement pour les portefeuilles sur la ligne de marché (via le ratio de Sharpe). Le modèle ne permet pas de valoriser les (donner un prix aux) portefeuilles inefficients. En particulier, il ne permet pas de trouver les primes de chaque actif pris individuellement. D)Les hypothèses du modèle MV

• • •

(1) Un taux d’intérêt sans risque (créditeur ou débiteur) existe dans l’économie auquel ont accès tous les investisseurs (2) Les investisseurs ne s’intéressent qu’à la moyenne du rendement du portefeuille détenu et sa variance. Ils sont averses au risque. (3) Choix d’investissement sur une seule période 1

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•

(4) Pas de taxes ni de coûts de transaction (ex pas d'impôts sur les plus-value, ou encore des frais de courtages) → en pratique E)Le MEDAF : les hypothèses du modèle MV plus

• •

(5)Les investisseurs forment les mêmes anticipations de rendement →Tous les investisseurs calculent la même FE, ont le même taux sans risque et donc font face à la même DC F)Autre conséquence du MEDAF :

• •

→ Tous les agents investissent dans le même PM = portefeuille contenant tous les titres du marché financier → Les portefeuilles diffèrent seulement en termes de part d’actifs sans risque en raison des différences de préférence face au risque. G)L’hypothèse d’anticipations homogènes

• • •

Simplification forte, mais … permet de résoudre un problème plus large, celui du prix à l’équilibre de tous les actifs de l’économie, et pas seulement les choix optimaux d’investissement à prix donnés (Markowitz).

II)La Droite de capital A)Définition •

La droite de capital (DC) ou Capital market line (CML) inclut l'ensemble des portefeuilles maximisant le rendement à variance donnée

•

Cherchons la composition optimale du portefeuille maximisant le rendement espéré pour un niveau de risque donné. → Détermination de la CML

• • •

Xi part investit dans le titre i (combien j 'investit dans tel titre) on maximise le rendement espéré du portefeuille total de l'investisseur deuxième ligne : sous contrainte de la variance détenue par l’investisseur, petit m : pour marché 2

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• •

la variance sur la droite de capitale somme de mes part doit être égale à 1

Graphique :

• •

On va chercher le niveau de risque qui m'amène le niveau de rendement le plus haut possible on maximise le rendement pour des risques donnés les combinaisons optimales aboutissent toujours sur cette droite appelée la droite de capitale

•

Mathématiquement on pose le lagrangien ◦ premier terme : objectif ◦ termes suivants : les contraintes que l'on précède d'un multiplicateur de lagrange ◦ premiers contrainte : variance

•

Condition du premier ordre par rapport à xi, je dérive par rapport aux variables endogènes (choix de l'investisseur)

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Transformation :

• •

avec RP le rendement (aléatoire) du portefeuille P sur la DC (maximisant le rendement à variance donnée) et σ²iP : la covariance entre le rendement de P et celui du titre i.

Reformulation de la condition du premier ordre

Cette condition d'optimalité doit être vraie pour le PM puisque celui-ci est détenu à l'équilibre

Après substitution

ou encore

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• • •

Existence d’un actif sans risque (ou un portefeuille non corrélé avec le portefeuille de marché) de rendement Ei = Rf, la condition d’optimalité devient (avec : σim2 = 0) Rf = θ Réécriture de la condition d’optimalité d’un titre quelconque :

Conditions du MEDAF Posons le coefficient suivant :

Condition d'optimalité

1)Interprétation • • •

Le rendement espéré du titre i est croissant avec son risque βi = sa propension à atténuer ou amplifier le risque agrégé à travers le terme de covariance De quoi dépend la prime de risque ? La formule du MEDAF en termes de prime de risque : PRi = Ei - Rf = βi (Em – Rf) quels que soit l’actif i.

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ou encore :

• • • • • • • •

• • • •

La prime de risque c'est le produit du prix du risque * la quantité de risque contenu dans un portefeuilles le prix du titre agrégé c'est le ratio de sharpe La prime de risque dépend : (1) Du prix du risque agrégé à travers le ratio de Sharpe (2)Du risque du titre i La prime de risque de i ne dépend pas du risque intrinsèque de son rendement à travers sa variance V(Ri) ou son écart-type. Une partie du risque total peut être facilement éliminée par la diversification Elle ne justifie donc pas une prime de risque à l’équilibre de marché dans lequel tous les investisseurs détiennent un portefeuille parfaitement diversifié. La prime de risque est positive seulement dans la mesure où l’inclusion du titre i dans le PM contribue au risque non diversifiable. En particulier, si Cov(Rm,Ri) = 0, la prime de risque est nulle. Même si le titre a un rendement risqué (V(Ri) > 0), ce risque est parfaitement diversifiable. Sa détention est indolore pour l’investisseur : son portefeuille global n’est pas plus risqué. 2)Propriétés de la droite de capital

• •

La DC est linéaire, passe par le rendement sans risque et par le portefeuille de marché (PM) : la condition d'optimalité du MEDAF doit être vraie ◦ a) pour l'actif sans risque, ◦ b) le PM, ◦ c) et n'importe quelle combinaison linéaire des deux actifs, y compris le PO.

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a)Condition d’optimalité pour le titre sans risque

b)Pour le portefeuille de marché

Par définition, le PM a un β égal à 1. c)Condition d’optimalité du PO (sur la CML

3)Linéarité du beta • •

Soit un portefeuille composé de N titres i en proportion xi. Le bêta du portefeuille est la moyenne pondérée des bêtas des titres i. Démonstration

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J'additionne tous les Xi , on reconnaît le rendement espéré du titre du portefeuille, et Rf, et a droite c'est la formule du MEDAF pour le portefeuille

Le β du portefeuille composite est égale a la somme pondérée des titres qui composent le portefeuille Exemple • •

Soit un portefeuille composé à parts égales de deux titres dont les bêtas sont notés β1 et β2 bêta du portefeuille = 0,5β1 + 0,5β2

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4)Implication en terme de prix des actifs • •

Condition du Medaf : Ei = Rf + βi × (Em – Rf) Les titres dont les bêtas sont les plus élevés ont le rendement le plus élevé.

•

Les titres à bêta élevé ont le prix le plus faible (à dividendes données). Plus un actif est risqué, moins il est cher pour convaincre les investisseurs de le détenir.

Equivalence • •

Condition d’optimalité : Ei = (1-βi)Rf + βiEm Le rendement d’équilibre du titre i est identique à celui d’un portefeuille composé pour la fraction 1-βi de l’actif sans risque et pour la fraction βi du PM

Représentation

Un bêta supérieur à 1 implique une rémunération supérieure à celle du portefeuille de marché III)La condition de non arbitrage (Rappel) Quels que soient les titres A et B : Rf = EA – PRA = EB – PRB • avec PRi, i=A, B, les primes de risque qui compensent pour la prise de risque supplémentaire. • MEDAF : PRi = βi × (Em – Rf). • La prime du titre i est le produit de la « quantité de risque » inclue dans le titre i (son bêta) et du « prix du risque » (Em – Rf).

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Représentation graphique de la CNA avec 5 titres

→ La pente de cette droite est ce qui intervient devant le beta i c a d Em – Rf , cette droite de marché différente de la droite de capital c'est ce qu'on appelle la security market line ici il y a des titres peu risqués avec un beta faible tous es titres doivent être sur une droite si on est a l'équilibre • • • •

Supposons que le rendement moyen soit au dessus de la droite de marché : Ei > Rf + βP(EP-Rf) Les investisseurs vont acheter ce titre, faisant baisser son prix jusqu’au point où le rendement espéré Ei revient sur la droite de marché. Inversement si le rendement espéré est sous la droite de marché : les investisseurs vendent le titre jusqu’à la correction complète de l’écart. On a non seulement une théorie de l'équilibre et la CNA montre pourquoi l'équilibre est stable

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IV)La contribution au risque agrégé Il existe trois types de titres : • • •

Les titres dont la volatilité du rendement amplifie celle du portefeuille qui les inclut →les retirer du portefeuille réduit la volatilité globale du portefeuille Les titres dont la volatilité du rendement atténue la volatilité globale du portefeuille →les retirer conduit à augmenter sa volatilité Les titres qui sont neutres sur la volatilité du rendement du portefeuille

→ Comment distinguer ces trois types de titres ? → Quel lien avec la prime de risque de ces titres ? Exemple : l’influence de l’action Bouygues sur le PM, identifié au CAC 40 (juillet 2000 à novembre 2011) 19/02/2014 Graphique : Rendement individuel et de marché

A)Contribution au risque agrégé • • • • • •

Ajustement linéaire de la relation : R(t) = α + β×Rm(t) + ε(t) ε(t) : erreur d’ajustement ordonnée à l’origine : α pente : β sens de la pente : ΔR = β×ΔRm en moyenne, quand le rendement du PM varie de 1 point, le rendement du titre varie de β point.

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→ On rajoute un titre parfaitement corrélé, mais n augmente pas la volatilité, mais quand je rajoute une unité de Cac 40 dont la pente est supérieure a la droite 45 degré, j accrois la volatilité sur mon PF → si je suis en dessous de la droite a 45 degré alors je diminue ma volatilité • • •

Si β > 1 : inclure le titre accroît la volatilité du portefeuille Si β < 1 : inclure le titre réduit la volatilité du portefeuille Si β = 1 : l’inclusion est neutre

•

Remarque : il existe en moyenne autant de capitalisations dont le β est supérieur à un et dont le β est inférieur à un puisque la somme de toutes les capitalisations forme le PM dont le β est égal à un. B)L’approximation linéaire

→ Graphiquement si je reprends ma droite de meilleur ajustement , l'erreur est l'erreur pour une observation donnée → Econométriquement j ai isolé ma pente avec β C)L’exemple de l’action Bouygues • • •

α = 0,150 Pente : β = 1,12 > 1 : amplifie la volatilité du portefeuille En moyenne, quand le rendement du PM varie de 1 point, le rendement du titre Bouygues varie de 1,12 point D)La pente

•

Calcul de la pente de la droite de régression

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•

Nous retrouvons l’expression du bêta du MEDAF dans la condition d’optimalité :

•

Si le titre i amplifie le risque du portefeuille (β > 1), le rendement espéré du titre i (et donc sa prime de risque) sera supérieur à celui du portefeuille de marché Si le titre i atténue le risque du portefeuille (β < 1), le rendement espéré du titre i sera inférieur à celui du portefeuille de marché

•

V)Validation empirique A)Validité empirique des bêtas • •

Est-ce que les actions à bêtas élevés produisent des rendements espérés supérieurs ? Globalement oui

Fischer Black, Michael C. Jensen and Myron Scholes "The Capital Asset Pricing Model: Some Empirical Tests" → rendement mensuel : ordonnée → β : abscisse → relation qui marche bien (SML : Security market line ou droite de marché) → en théorie on devrait avoir des rendements exactement sur la droite verte car on a la relation

→ Ei=Rf + βi x (Em -Rf) 13

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B)L’effet « petite entreprise » (small cap stocks)

NYSE 1947-96 • • • •

Rendement mensuel moyen Actions groupées par valorisation (haut-droite) + obligations d’Etat et bons du Trésor américain (bas-gauche). Un point au dessus de la droite signifie une surperformance : quand on est au dessous : écart négatif entre rendement effectif et théorique droite noire doit passer par 0 car on a mis en ordonnée Ei - Rf C)Le ratio « book to market »

•

Book to market ratio (B/M) : ratio divisant la valeur comptable des actifs(référence si l'entreprise est revendue) par la valeur de marché (valeur liée a la perception des dividendes et lorsqu'on continue la production) ◦ B/M faible : valeurs de croissance (growth stock), concerne des entreprises en forte expansion ◦ B/M élevé : « valeurs sûres » (value stocks) présents dans des secteurs relativement matures

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D)L’effet « book to market »

NYSE 1947-96 • • • •

Rendement mensuel moyen Actions groupées par valorisation et book to market. Rendements élevés : small cap et value stocks Cas ou le CAPM ne fonctionne pas → la théorie a un défaut car elle n'explique pas un ensemble d'informations

VI)Evaluer la performance des fonds • •

Évaluer la performance des fonds : c'est : Les performances : ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

•

d'un titre financier d'un portefeuille de titres d'un OPCVM d'un gérant de fonds d'une stratégie d'investissement

peuvent être évaluées à l'aide de différents indicateurs A) Le ratio de Sharpe

• • •

Ratio de sharpe : (EP – Rf)/σP Il indique l'excès de rendement de A par rapport au titre sans risque procuré par chaque point de volatilité de rendement de A. Indicateur de la performance : mesure de rendement avec une pénalité fonction de la 15

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•

volatilité Interprétation graphique : soit la droite passant par l'actif sans risque et un actif risqué A de rendement E A et l'écart type σ A

• •

Pente de cette droite ( EA – Rf) / sigma A = ratio de Sharpe de A Les titres dont le ratio de Sharpe est maximum sont par définition sur la droite de marché (DC)

RS maximum

PVM

Exemple •

Période juillet 2000, novembre 2011, rendement mensuel

• •

Action Bouygues : E(R) = 1 %, σ(R) = 0,96 ratio de Sharpe avec Rf = 0,2 % : 0,86

• •

CAC 40 : E(R) = 0,8 %, σ(R) = 0,59 ratio de Sharpe avec Rf = 0,2 % : 0,98

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Représentation :

→ On n'est pas sur une question de goût sur le risque mais sur une question d'efficacité des décisions, Bouygues tout seul est dominé par le titre sans risque d'autant plus que le cac 40 est diversifié B)Le ratio d’information : • • •

Ratio d'infromation : (EP – Er)/TE avec Er le rendement moyen de l’indice de référence (benchmark) et TE le tracking error : l’erreur de suivi représente l'écart type de la série des différences entre les rendements du portefeuille et les rendements de l'indice de référence.

• •

Le RI est un indicateur synthétique de l'efficacité du couple rendement risque d'un OPCVM Il permet d'établir dans quelle mesure un fond obtient un rendement supérieur à son indice de référence tout en contrôlant par le risque d'écart Un ratio d'information élevé signifie que l'actif dépasse régulièrement le point de référence sans ajouter un risque supplémentaire significatif il est notamment utilisé dans les fonds indiciels pour comprendre le RI il faut comprendre ce qui se pratique dans les OPCVM, un gérant de fond n'est pas évalué dans l'abstrait il est évalué par un benchmark ce qui compte pour les investisseurs c'est aussi que le gérant ne renne pas trop de risque

• • • •

Il existe d'autres indicateurs : C)Le ratio de Treynor •

( Ep - Rf) / β p

•

avec βP le β du portefeuille : mesure alternative du risque d'un placement

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D)L'alpha de Jensen •

α = EP – Rf – βP(Em – Rf)

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Si un fond obtient un alpha positif, sa performance est supérieure a ce que prédirait le MEDAF sur la base de son risque. Inversement si son alpha est négatif

→ On peut avoir des alpha positifs et négatifs → Les titres individuels ne sont pas forcement sur la droite de marché → Le CPAM ne dit pas que tous les titres individuels doivent se trouver sur la droite de marché → la mesure du risque que l'on a dans le passé → On a une opportunité d'achat car le rendement est supérieur au rendement théorique inversement pour alpha négatif → Quand les alpha sont au dessus de la droite fait un rendement bcp plus élevé que s'il était en ligne avec la droite et inversement avec alpha négatif : sous performance VII)Le Medaf de la consommation A)Exemple de choix de portefeuille •

Rendement du portefeuille : RP = αR + (1-α)Rf = Rf + α(R-Rf)

•

Rendement espéré du portefeuille : E(RP) = Rf + α(E(R) -Rf)

•

Variance du rendement du portefeuille : σ2(RP) = α2σ2(R)

•

Préférences moyennes variance : E(RP) – (k/2)σ2(RP) ◦ k : coefficient d’aversion à la variance

•

Choix avec préférences moyennes variance : Max[E(RP) – (k/2)σ2(RP)] 18

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•

Après substitution : Max[Rf + α(E(R) - Rf) – (k/2)α2σ2(R)]

• •

Condition d’optimalité : E(R) - Rf – kασ2(R) = 0 Part d’actifs risqués optimale :

•

La part α* augmente avec le rendement attendu et diminue avec le risque et l’aversion au risque k

Exemple : • •

CAC 40 : E(R) = 0,8 %, σ(R) = 0,59 Part d’actifs risqués optimale avec k = 5 :

B)Les limites du Medaf • • •

L’utilité U est définie sur le rendement espéré du portefeuille et son risque à travers l’écarttype. Mais le risque de portefeuille n...