Péndulo simple memoria fisica I PDF

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El calculo final no es correcto...

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Universidad Rey Juan Carlos Grado en Ingeniería Química

Memoria #1:

El péndulo simple

Resumen En la presente practica se realizaron medidas del periodo con el péndulo simple, el cual varia por la longitud del hilo utilizado y por la amplitud del ángulo inicial. Se busca calcular el valor de la aceleración de la gravedad utilizando la ecuación del péndulo simple tomando en cuenta los errores de los cálculos intermedios

1. Introducción El péndulo simple es un sistema ideal, que puede estudiarse teóricamente, aunque, en la práctica, sólo es posible construir de manera aproximada. No existen hilos inextensibles y sin masa, aunque sí podemos considerar que su masa es despreciable frente a la del cuerpo que está suspendido de él. Además, supondremos que la masa del cuerpo está concentrada en un sólo punto, de manera que su geometría no afecta al movimiento. Así, si un cuerpo (a veces llamado lenteja) de masa m, colgado de un hilo de longitud L, se deja libre desde un ángulo θ sobre la vertical, describirá un movimiento periódico que puede analizarse a partir de las fuerzas que actúan sobre él:

Ilustración 1. Péndulo simple

Existe una tensión en el hilo que sujeta al cuerpo, dirigida hacia el punto donde esta sujeto el hilo y una fuerza peso vertical, que tiene dos componentes: una en la misma dirección del hilo, con sentido contrario a la tensión, por lo que la anula, y otra perpendicular a la anterior, constantemente dirigida hacia el centro, responsable del movimiento. Por tanto, la fuerza resultante, según la segunda ley de Newton: −𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝑎𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 2

𝑎𝑡 = 𝛼𝐿 =

𝑑2𝜃

2 2 𝑑𝑑𝑡 𝜃

𝑑𝑡 2

𝑑2𝜃 𝐿 𝐿 ↔ −𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑑𝑡 2 𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃 =−𝐿

Cuando el ángulo θ es lo suficientemente pequeño se puede realizar la siguiente aproximación: 𝑑2𝜃 𝑔 𝜃 = − 𝐿 𝑑𝑡 2

El movimiento de un péndulo es, por tanto, aproximadamente armónico simple para pequeños desplazamientos angulares: 𝑔 𝑑2𝜃 𝑑2𝜃 = −𝜔2 𝜃 = − 𝜃 ↔ 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 𝐿 𝑔 𝑔 𝜔2 = → 𝜔 = √ 𝐿 𝐿 𝑇=

2𝜋 𝐿 → 𝑇 = 2𝜋√ 𝜔 𝑔

Cuando un péndulo simple describe un ángulo pequeño su movimiento puede considerarse armónico y su periodo es independiente de la amplitud de las oscilaciones y de su masa. Para mayores amplitudes, la aproximación sinθ ⋍ θ no es válida. Su movimiento continúa siendo periódico, pero deja de ser armónico simple. Para determinar el periodo se debe tener en cuenta una ligera dependencia de la amplitud: 𝑇 = 2𝜋√

𝑙 1 𝜃𝑖 (1 + 𝑠𝑖𝑛2 ( )) 2 𝑔 4

2. Métodos y materiales Los materiales que se utilizaron en el montaje experimental son: una esfera metálica, un hilo inextensible, un portaplacas, un contador digital con barrera fotoeléctrica y una regla de 100 cm. El hilo se ata a la esfera y se fija al portaplacas, el contador digital se posiciona en el centro de la oscilación para la medición del semiperiodo. Con la regla se mide la longitud del hilo (l), antes y después de cada oscilación, y también la distancia con la que se suelta la esfera metálica (d), en ambas mediciones se toma en cuenta el radio de la esfera metálica. En la primera parte del experimento, el péndulo se mueve en pequeñas oscilaciones por lo que se utiliza un ángulo pequeño que no es necesario medir. 3

En la segunda parte, el péndulo se mueve con oscilaciones más grandes, por lo tanto, el ángulo será mayor y se debe medir. Para la medición de este ángulo se obtuvo la hipotenusa del triángulo formado por la longitud del hilo y la distancia en la que la esfera se soltó, y se calculó el arco coseno de la división entre d y la hipotenusa

Ilustración 2. Montaje experimental

3. Resultados 1) l(cm) ± 0,5cm

t/2(s) ± 0,001s 0,442

t/2(s) ± εt/2 media

T(s) ± εT media

ln(T)(s) ± εln(T)

ln(l)(cm) ± εln(l)

0,443 ± 0,001

0,886 ± 0,003

0,121 ± 0,022

2,996 ± 0,167

0,530 ± 0,006

1,060 ± 0,11

0,058 ± 0,193

3,401 ± 0,147

0,610 ± 0,007

1,220 ± 0,013

0,199 ± 0,065

3,689 ± 0,136

0,653 ± 0,005

1,306 ± 0,010

0,267 ± 0,037

3,912 ± 0,128

0,443 20

0,443 0,443 0,443 0,530 0,532

30

0,527 0,530 0,531 0,614 0,609

40

0,609 0,610 0,609 0,654

50

0,654 0,653

4

0,653 0,650 0,753 0,749 60

0,750

0,751 ± 0,007

1,501 ± 0,014

0,406 ± 0,034

4,094 ± 0,122

0,807 ± 0,009

1,614 ± 0,019

0,479 ± 0,039

4,248 ± 0,118

0,829 ± 0,017

1,658 ± 0,035

0,506 ± 0,069

4,382 ± 0,114

0,889 ± 0,006

1,778 ± 0,011

0,575 ± 0,020

4,500 ± 0,111

0,901 ± 0,005

1,802 ± 0,010

0,589 ± 0,017

4,605 ± 0,109

0,748 0,753 0,805 0,811 70

0,804 0,806 0,810 0,830 0,819

80

0,832 0,833 0,832 0,888 0,888

90

0,891 0,891 0,887 0,903 0,900

100

0,900 0,902 0,899

Representación gráfica de T en función de la longitud l

Período en función de la longitud 2,5

T media (s)

2

1,5 1

0,5

0 0

20

40

60

80

100

120

l (m)

5

2) Representación gráfica de T en función de l (en el apartado anterior) y ln(T) en función de ln(l)

ln(T) en función el ln(l) 0,8 0,7 0,6

ln(T) (s^-1)

0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 -0,1

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

-0,2 -0,3

ln(l) (m^-1)

Calculando la estimación lineal en Excel se obtuvo que: • • • •

Coeficiente de correlación lineal: r = 0,997 Pendiente a: a (±εa) = 0,458 ± 0,014 Ordenada en el origen b: b (±εb) = 0,655 ± 0,057

𝑙

Valor teórico de at, comparado con la ecuación 𝑇 = 2𝜋√ 𝑔: 1 ln(𝑔) 2 Valor de la aceleración de la gravedad (g): at = ½

•

𝑏 = ln(2𝜋) −

Despejando de b se obtiene que 𝑔 =

4𝜋2

𝑒 2𝑏

, entonces:

𝑔 ≈ 10.65 ± 0.057 ( 𝑚⁄𝑠 2)

3) d(cm) ± θi(rad) ± εθi 0,5cm

t/2(s) ± 0.001s

t/2(s) ± εt/2 media T(s) ± εT media sin(θ/2) ± εsin(θ/2) sin^2(θ/2) ± εsin^2(θ/2)

0,654 0,654 5

0,100 ± 0,050 0,653

0,653 ± 0,005

1,306 ± 0,010

0,050 ± 0,002

0,002 ± 0

0,671 ± 0,006

1,341 ± 0,012

0,099 ± 0,010

0,010 ± 0,001

0,653 0,650 10

0,197 ± 0,099 0,670

6

0,673 0,672 0,670 0,668 0,714 0,716 15

0,291 ± 0,146 0,716

0,716 ± 0,007

1,433 ± 0,013

0,145 ± 0,021

0,021 ± 0,003

0,719 ± 0,003

1,439 ± 0,007

0,189 ± 0,036

0,036 ± 0,007

0,725 ± 0,003

1,450 ± 0,005

0,230 ± 0,053

0,053 ± 0,012

0,728 ± 0,008

1,457 ± 0,015

0,267 ± 0,072

0,071 ± 0,019

0,731 ± 0,005

1,461 ±0,009

0,301 ± 0,092

0,090 ± 0,028

0,741 ± 0,004

1,482 ± 0,007

0,331 ± 0,112

0,110 ± 0,037

0,720 0,716 0,721 0,719 20

0,381 ± 0,190 0,718 0,719 0,720 0,725 0,724

25

0,464 ± 0,232 0,726 0,725 0,724 0,730 0,732

30

0,540 ± 0,270 0,727 0,726 0,727 0,729 0,730

35

0,611 ± 0,305 0,733 0,731 0,730 0,741 0,739

40

0,675 ± 0,337 0,741 0,742 0,742

7

Representación gráfica de T media en función de 𝑠𝑖𝑛2 (𝜃 ⁄2 )

Período(T) en función de sin^2(θ/2)

1,55

1,5

T media (s)

1,45

1,4

1,35

1,3

1,25 0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

sin^2(θ/2)

Calculando la estimación lineal en Excel se obtuvo: • • • •

Coeficiente de correlación lineal: r = 0,833 Pendiente a: a (±εa) = 1,346 ± 0,366 Ordenada en el origen b: b (±εb) = 1,355 ± 0,022 Valor teórico de at’y bt’ comparado con la ecuación 𝑇 = 2𝜋√ (1 + 𝑠𝑖𝑛2 ( 2 )): 𝑙

𝜋

𝑎𝑡 ’ = 2 √

𝑙

𝑔

𝑔

𝑏𝑡 ’ = 2𝜋√

1

4

𝜃𝑖

= 0.351𝑚/𝑠 2

𝑙 = 1.405𝑚/𝑠 2 𝑔

4. Discusión •

¿En el punto 2 de los resultados, a qué se debe la posible desviación de at frente al valor obtenido para a?

8

La desviación de at frente al valor obtenido de a se debe a que toda medida experimental esta afectada de una imprecisión que es arrastrada a todos los demás resultados derivados de la media lo cual hace que es valor final encontrado difiera del valor teórico. •

En el punto 3 de los resultados, comparar los valores teóricos de at’ y bt’ con los valores experimentales y discutir el resultado Los valores teóricos de at’ y bt’ son 0.351𝑚/𝑠 2 y 1.405𝑚/𝑠 2 respectivamente. Los valores experimentales, con r4espcto a los teóricos, presentan una desviación que se puede deber a los distintos errores que se han calculado en todos los demás valores de la practica ya que de estos valores dependen los de a y b, si los demás valores llevan error este es tomado en cuenta para el valor de a o de b pero esto no quita que exista una desviación con respecto a los valores teóricos.

•

Discutir cualquier otro resultado o problema de interés encontrado en el experimento Un problema de interés encontrado en el experimento es la barrera foto eléctrica, esta no se ajusta bien a portaplacas lo que pudiera haber causado una inexactitud en la medición de las oscilaciones del péndulo

•

Cuestiones: 1) Discutir cómo puede influir en el cálculo de g realizado en el punto 2 de los resultados de altura del laboratorio sobre el nivel del mar y la rotación de la Tierra. Dar una estimación de la influencia sobre la medida La altura del laboratorio en el que se realizo la práctica y la rotación de la tierra en ese momento pueden influir significativamente en el calculo de g en el punto 2. La altura del laboratorio es aproximadamente 650m sobre el mar, esto quiere decir que la presión de la atmosfera, con respecto al nivel del mar, no es el valor ideal para realizar el cálculo de la aceleración de la gravedad experimentalmente. Además, el ángulo de rotación de la tierra influye en los resultados teniendo una variación del valor de g en 8 𝑛𝑚⁄𝑠 2 a una longitud de 45º. Teniendo en cuenta estas desviaciones podemos justificar la desigualdad entre el valor obtenido y el teórico. 2) Comparar esta forma de medir la aceleración de la gravedad con otra que conozca Además del método del péndulo simple para medir la aceleración de la gravedad, existen varios métodos con los que esta puede ser 9

medida como mediante la caída libre de una masa, en donde la formula despejada establece que el valor de la gravedad se determina midiendo, t el tiempo de caída del objeto, y x la distancia recorrida, mediante el análisis de la oscilación de una masa pareja a un muelle, o bien mediante el análisis de las oscilaciones de una masa testigo solidaria a una fibra. Todos estos métodos son similares al péndulo simple, con distintos principios físicos y, se llega a calcular la aceleración de la gravedad.

5. Conclusión En este trabajo se midió el semiperiodo de un péndulo, calculando el periodo mediante el programa Microsoft Excel. Pudo observarse que el valor del periodo, además de mantenerse en valores de 1 hasta 2, aumenta mientras la amplitud disminuye. También, se obtuvo que el valor de la aceleración de la gravedad es 10.65 ± 0.057 (𝑚⁄𝑠 2)

6. Agradecimientos Debo dar gracias a mi compañera, la estudiante Andrea Álvarez, por ayudarme a realizar la práctica de laboratorio con tanta precisión y eficacia. Agradezco a los distintos profesores y/o técnicos de laboratorio que estuvieron allí preparados para explicar si surgía alguna duda. Y finalmente, agradezco a la Universidad Rey Juan Carlos por darme la oportunidad de hacer esta práctica de laboratorio.

7. Referencias Universidad Rey Juan Carlos. (2015). Prácticas de laboratorio de Física, 1–21, 39–44. Bramón Planas, A., Casas-Vázquez, J., Llebot Rabagliati, J., & López Aguilar, F. (2005). Física para la ciencia y tecnología (5th ed.). Editorial Reverté. Giselle, M., & Cabrera, S. (2016). Medición de g usando un péndulo simple. Cano, J. L., Villa, E., Aja, B., De La Fuente, L., Artal, E., Watson, R., Blackhurst, E., Edgley, J., & Baines, C. (2011). The Ka-band receiver for the QUIJOTE experiment. European Microwave Week 2011: “Wave to the Future”, EuMW 2011, Conference Proceedings - 6th European Microwave Integrated Circuit Conference, EuMIC 2011, 1–25.

10

8. Apéndices Tratamiento de errores: o Para este experimento es despreciable el error de la medida del radio de la esfera metálica o Los valores de l tienen un error de ±0.5cm debido a que este es la mitad de la medida del aparato analógico o Los valores de t/2 tienen un error de ±0.001s ya que esta es la mínima medida del aparato digital o Los valores de error de la media aritmética de t/2 se calcularon con las

siguientes fórmulas: 𝑠(𝑥) = √ 𝑛−1 ∑ 𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑥 )2 (desviación típica), 𝑠𝑥 = 𝑠(𝑥) √𝑛

1

(desviación estándar), 𝜀𝑥 = 3𝑠𝑥 (error aleatorio de la media)

o Para los valores de error de T se halló la derivada parcial de T y multiplico por el error que se ya obtuvo de t/2,

𝑡

𝜕2 2 𝜕𝑡

=2

o Para los valores de error de ln(T) se halló la derivada parcial de ln(T) y se multiplico por el error de T,

𝜕(ln(𝑇)) 𝜕𝑇

1

=𝑇

o Para los valores de error de ln(l) se halló la derivada parcial de ln(l) y se 𝜕(ln(𝑙)) 1 multiplico por el error de l, = 𝜕𝑙

𝑙

o Los valores de d tienen un error de ±0.5cm ya que esta es la mitad de la medida del aparato analógico o Los valores de error de θ se obtuvieron multiplicando el valor de θ por el valor del error de la distancia d o Para los valores de error de 𝑠𝑖𝑛( 𝜃⁄2 ) se halló la derivada parcial y se multiplico por el error de θ,

𝜕𝑠𝑖𝑛(𝜃 ⁄2 ) 𝜕𝜃 2

=

𝜕𝑐𝑜𝑠(𝜃 ⁄2 ) 𝜕𝜃

o Para los valores de error de 𝑠𝑖𝑛 (𝜃⁄2 ) se halló la derivada parcial y se 𝜕𝑠𝑖𝑛 2 (𝜃 ⁄2 ) 1 multiplico por el error de θ, = 2 sin(𝜃⁄2 ) cos(𝜃⁄2) 2 𝜕𝜃 o Los errores de las distintas at y bt se obtuvieron mediante la fórmula de Excel “ESTIMACION.LINEAL”

11...