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Cégep André-Laurendeau...

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Département de mathématiques Session Hiver 2017 Plan de cours

Programme : Sciences de la nature (200.B0)

CALCUL INTÉGRAL POUR LES FONCTIONS À UNE VARIABLE 201-NYB-05 (3-2-3) Nombre d’unités : 2 2/3

Enseignants : Bureau : Courriel : Téléphone :

Matthieu Willems 4.359 [email protected] 514-364-3320 poste 6606

Patrice Castonguay 4.379 [email protected] 514-364-3320 poste 6756

EXTRAIT DU DEVIS MINISTÉRIEL CODE: 00UP STANDARD Critères de performance

OBJECTIF Énoncé de la compétence Appliquer les méthodes du calcul intégral à l’étude de fonctions et à la résolution de problèmes. Éléments de la compétence 1. Déterminer l’intégrale indéfinie d’une fonction. 2. Calculer les limites de fonctions présentant des formes indéterminées. 3. Calculer l’intégrale définie et l’intégrale impropre d’une fonction sur un intervalle. 4. Traduire des problèmes concrets sous forme d’équations différentielles et résoudre des équations différentielles simples. 5. Calculer des volumes, des aires et des longueurs et construire des représentations graphiques dans le plan et dans l’espace.

Utilisation appropriée des concepts. Représentation adéquate de surfaces dans le plan ou dans l’espace, ainsi que de solides de révolution. Manipulations algébriques conformes aux règles. Choix et application juste des règles et des techniques d’intégration. Exactitude des calculs. Justification des étapes du raisonnement. Interprétation juste des résultats. Utilisation d’une terminologie appropriée.

6. Analyser la convergence des séries. ACTIVITÉS D’APPRENTISSAGE Champ d’études : Sciences de la nature Discipline : Mathématiques Pondération : 3-2-3 Nombre d’unités : 2 2/3 Précisions : Limite : formes indéterminées, règle de L’Hospital. Règles et techniques d’intégration usuelles. Propriétés de l’intégrale indéfinie et de l’intégrale définie. Calculs de longueurs, d’aires et de volumes. Théorème fondamental du calcul différentiel et intégral. Équations différentielles à variables séparables. Séries de Taylor et de Maclaurin.

201-NYB-05

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ANALYSE DE LA COMPÉTENCE Ce cours porte sur le calcul intégral. Il est placé à la deuxième session afin de permettre à l’élève d’approfondir, le plus tôt possible, les connaissances acquises dans le cours précédent, Calcul différentiel (201-NYA-05), qui se donne à la première session. Ce cours vise à initier l’élève aux notions de base du calcul intégral afin de résoudre des problèmes en mathématiques et en physique, plus particulièrement dans le cours Électricité et magnétisme (203-NYB-05). Ce cours aborde les notions de primitive et de calcul d’aires qui sont à la base du théorème fondamental du calcul. Il fournit les outils nécessaires pour intégrer des équations différentielles simples que l’on rencontre dans un grand nombre d’applications en physique comme la désintégration radioactive, la loi de refroidissement de Newton et les équations de Newton pour la cinématique. Tout au long du cours l’élève développe un jugement critique, une habitude à formuler des hypothèses, un souci d’être clair, ordonné et systématique, une attitude propice à la recherche, une curiosité intellectuelle et, finalement, une capacité à faire une synthèse en établissant des liens entre les différentes notions. Dans le cadre des mesures d’aide à la réussite pour le programme de Sciences de la nature, l’élève doit remettre à chaque semaine des devoirs qui lui permettent d’assimiler progressivement les notions vues en classe. Grâce aux devoirs hebdomadaires, l’élève développe une bonne méthode de travail et augmente sa maîtrise du langage mathématique et des techniques algébriques. L’élève doit faire l’acquisition d’une calculatrice graphique et apprendre à utiliser de façon efficace les touches relatives aux tables de valeurs, au tracé de graphiques et au calcul d’intégrales définies. De plus, l’élève doit utiliser le logiciel MAPLE pour effectuer des calculs numériques ou symboliques, tracer des graphiques, calculer des limites et calculer des intégrales. Au terme de ce cours, l’élève sera en mesure de résoudre des problèmes de mathématiques reliés au calcul intégral. D’une façon plus précise, l’élève devrait pouvoir : - calculer des limites dont la forme est indéterminée, avec la règle de L’Hospital; - déterminer l’intégrale indéfinie de fonctions en utilisant les règles et techniques d’intégration usuelles; - utiliser les propriétés de l’intégrale indéfinie et de l’intégrale définie; - utiliser le théorème fondamental du calcul différentiel et intégral; - calculer, à l’aide de l’intégrale définie, des longueurs de courbes, des aires de surface et des volumes; - résoudre des équations différentielles à variables séparables; - résoudre des problèmes à l’aide de la résolution d’équations différentielles; - développer des fonctions en série de Taylor et en série de Maclaurin. Ces notions seront approfondies dans le cours à option, Calcul avancé (201-ARB-05). D’autre part, ces notions seront utilisées dans le cours de physique 203-NYB-05 pour l’étude des champs électriques et magnétiques.

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CONTEXTE DE L’ÉVALUATION CERTIFICATIVE Énoncé de la compétence : 00UP

Appliquer les méthodes du calcul intégral à l’étude de fonctions et à la résolution de problèmes.

Performance finale attendue : L'élève doit résoudre des problèmes en appliquant les méthodes du calcul intégral. Il doit choisir les outils adéquats, calculer correctement et proposer des solutions claires et pertinentes.

Pondération: 35 %

Type d’évaluation auquel l’élève sera soumis : Un examen écrit, commun pour tous les groupes, d’une durée de 3 heures, aura lieu durant la période d’évaluation commune. Les questions porteront sur les concepts-clés. Il y aura deux types de questions : des questions à choix multiples, qui représentent de 30 à 40 % du total des points, et des questions à développement. Les questions sont élaborées de façon à couvrir l’ensemble des objectifs terminaux. Dans tous les cas, la résolution des problèmes nécessite une bonne maîtrise du langage mathématique et des techniques algébriques. Les outils que l’élève aura à utiliser pour résoudre les problèmes ne seront ni suggérés ni indiqués par le professeur. Tâches à réaliser par l’élève : L’élève aura à résoudre des problèmes où il devra: - effectuer un choix judicieux des outils à utiliser; - utiliser correctement ces outils; - effectuer des calculs justes et précis; - proposer une solution claire et pertinente. Dans tous les cas, l’élève devra utiliser adéquatement le langage mathématique et les techniques algébriques pour formuler sa solution et simplifier les résultats obtenus. Critères d’évaluation de la performance de l’élève : Interprétation juste du problème. Choix judicieux d’outils mathématiques. Exactitude des calculs. Clarté et pertinence des conclusions proposées.

OBJECTIFS GÉNÉRAUX DU COURS OBJECTIFS DE FORMATION 1. Prendre conscience de l'importance des mathématiques sur le plan des outils proposés et de la formation favorisée. 2. Acquérir une qualité d'exactitude dans l'expression mathématique écrite et parlée. 3. Développer la capacité de résoudre des problèmes. 4. Dégager les implications d'une définition. 5. Relier les notions de calcul dans la résolution de problèmes touchant l'orientation de l'élève. 6. Développer l'esprit de créativité dans l'approche de nouvelles notions pour renforcer la faculté d'intuition. 7. Augmenter le degré d'indépendance, de jugement et d'originalité. 8. Reconnaître à travers une situation concrète : 8.1. 8.2. 8.3.

le modèle mathématique qui s'y applique; la théorie qui s'y rattache; l'extension de l'application de la théorie à de nouvelles situations concrètes.

OBJECTIFS LINGUISTIQUES 1. Reconnaître, utiliser et écrire correctement le vocabulaire mathématique. 2. Acquérir les règles de lecture qui permettent de traduire un problème contextuel en termes mathématiques. 3. Justifier de façon précise la solution d'un problème mathématique en utilisant les termes d'articulation logique dans un développement mathématique.

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BALISES DU COURS Énoncé de la compétence:

00UP Appliquer les méthodes du calcul intégral à l’étude de fonctions et à la résolution de problèmes.

Titre et no de cours: Calcul intégral pour les fonctions à une variable. (201-NYB-05) Objectifs terminaux Évaluer des limites de fonctions, présentant des formes indéterminées.

Déterminer l’intégrale indéfinie d’une fonction.

Importance relative 10%

Éléments de compétence 00UP 2

Calculer l’intégrale définie de différentes fonctions.

20%

00UP 1

15%

00UP 4 Matrice 2, 3, 4, 5,13

5%

00UP 3, 5 Matrice 2, 3, 4, 5,13

Calculer des aires, des volumes et des longueurs à l’aide de l’intégrale définie.

20%

00UP 5 Matrice 2, 3, 4, 5,13

201-NYB-05

Reconnaître des indéterminations de la forme:

0 Matrice 2, 3, 4, 5,13 0 ,

Matrice 2, 3, 4, 5,13

Traduire des problèmes concrets sous forme d’équations différentielles et résoudre des équations différentielles simples.

Contenu essentiel

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±∞ , ∞ − ∞ ,0 . (∞ ),0 0 , (∞ 0 ),1±∞. ±∞

Lever des indéterminations à l’aide de - transformations algébriques; - la règle de l’Hospital. Calcul de dérivées, à l’aide de la transformation logarithmique. Calculs de différentielles. Représentation graphique de la différentielle Utilisation des notations de l’intégrale indéfinie. Démonstration des propriétés de l’intégrale indéfinie (somme et produit d’une fonction par une constante). Détermination de formules de base. Détermination d’intégrales indéfinies à l’aide des techniques d’intégration usuelles: - transformation de la fonction à intégrer; - changement de variable; - intégration par parties; - substitution trigonométrique; - décomposition en une somme de fractions partielles. Résolution d’équations différentielles à variables séparables. Résolution de problèmes concrets. Détermination de la constante d’intégration et de la constante de proportionnalité. Résolution de problèmes de: - vitesse et accélération; - croissance et décroissance exponentielle. Calculer des aires à l’aide de sommes de Riemann en utilisant MAPLE. Évaluation d’intégrales définies à l’aide de limite de sommes de Riemann. Théorème fondamental du calcul. Évaluation d’intégrales définies à l’aide du théorème fondamental du calcul. Représentation de régions dans le plan par des courbes planes. Calcul d’aire de régions fermées. Représentation dans l’espace de solides de révolution. Calcul de volumes de révolution par: - la méthode du disque; - par la méthode du tube. Construction de solides, de sections connues. Représentation dans l’espace de solides, de sections connues. Calculs de volumes de solides de sections connues. Calcul de longueur de courbes planes.

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Énoncé de la compétence:

00UP Appliquer les méthodes du calcul intégral à l’étude de fonctions et à la résolution de problèmes.

Titre et no de cours: Calcul intégral pour les fonctions à une variable. (201-NYB-05) Objectifs terminaux Calculer des intégrales impropres.

Importance relative 3%

Éléments de compétence 00UP 3 Matrice 2, 3, 4, 5,13

Analyser la convergence des suites.

5%

00UP 6 Matrice 2, 3, 4, 5,13

Analyser la convergence des séries.

10%

00UP 6 Matrice 2, 3, 4, 5,13

Développer des fonctions en série de Taylor et en série de Maclaurin, et résoudre des problèmes à l’aide de ces développements.

201-NYB-05

12%

00UP 5 Matrice 2, 3, 4, 5,13

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Contenu essentiel Calcul d’intégrales impropres lorsque: - la fonction tend vers l’infini; - une ou des bornes sont infinies. Calcul d’aires et de volumes à l’aide d’intégrales impropres. Énumération des éléments d’une suite. Détermination du terme générale d’une suite. Représentation graphique des termes d’une suite. Détermination de la convergence ou la divergence d’une suite. Détermination de la croissance ou la décroissance d’une suite. Calcul de sommes partielles. Détermination de la convergence ou de la divergence d’une série en utilisant les sommes partielles. Démonstration et application de quelques théorèmes sur les séries. Étude de: - la série harmonique; - séries géométriques; - séries de Riemann. Détermination de la convergence d’une série à l’aide des critères suivants: - critère du terme général; - critère de l’intégrale; - critère de Cauchy; - critère de D’Alembert; Étude de séries alternées: - critère de Leibniz. Développement de certaines fonctions en série de Taylor et en série de Maclaurin. Calcul d’approximation à l’aide de séries de Taylor et de séries de Maclaurin. Développement de certaines fonctions en série de Taylor et en série de Maclaurin à l’aide de substitutions ou à l’aide d’opérations mathématiques. Évaluation approximative d’intégrales définies à l’aide des séries de Taylor et des séries de Maclaurin.

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LIENS AVEC LA MATRICE DES COMPÉTENCES Titre et no de cours: Calcul intégral pour les fonctions à une variable (201-NYB-05) BUTS GÉNÉRAUX

L’ÉLÈVE EST EN MESURE DE : • Observer et recueillir des données • Estimer l’incertitude et en déduire des résultats

1. Appliquer une démarche scientifique.

• Faire des inférences à partir de données, formuler des hypothèses • Effectuer des montages, utiliser correctement des instruments de mesure • Élaborer un protocole d’expérimentation • Faire la synthèse de ses observations, les interpréter et les critiquer • Poser un problème et en construire une représentation.

2. Résoudre des problèmes.

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• Analyser un problème, en repérer les éléments, les relations entre les éléments, la structure et l’organisation • Témoigner de l’ensemble de l’information recueillie et présenter sa démarche de solution • Rédiger un rapport de laboratoire à l’aide un traitement de texte comme WORD * • Produire des tableaux à l’aide d’un chiffrier comme EXCEL ou R • Produire des graphiques à l’aide d’un chiffrier comme EXCEL ou R • Appliquer des fonctions mathématiques à des données à l’aide d’un chiffrier comme EXCEL ou R ** • Établir un calcul d’incertitude à l’aide d’un chiffrier comme EXCEL • Intégrer du texte, des tableaux ou des figures et des graphiques dans un rapport • Effectuer des calculs numériques à l’aide d’un logiciel symbolique comme MA PLE

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• Effectuer des calculs symboliques à l’aide d’un logiciel symbolique comme MA PLE 3. Utiliser des technologies de traitement de l’information.

• Construire des graphiques à l’aide d’un logiciel symbolique comme MAPLE • Présenter des molécules en deux et trois dimensions à l’aide d’un logiciel de simulation en chimie comme ChemSketch, Jmol ou Marvin beans • Représenter des réactions et des mécanismes chimiques à l’aide d’un logiciel de simulation en chimie comme ChemSketch, Jmol ou Marvin beans • Simuler les interactions entre deux molécules à l’aide d’un logiciel de simulation en chimie comme ChemSketch, Jmol ou Marvin beans • Rechercher de l’information pertinente sur des phénomènes naturels, certaines applications technologiques et industrielles • Établir une bibliographie scientifique • Analyser des séries chronologiques avec le logiciel R • Utiliser Pow erpoint pour présenter le résultat d’un travail de recherche ·UtiliserunecalculatricegraphiquecommelaTI-84poureffectuerdes calculsscientifiques[1] • Utiliser les chiffres significatifs de façon adéquate et respecter la cohérence des unités

4. Raisonner avec rigueur

• Repérer un certain nombre d’idées en rapport avec le sujet, les comparer, les classifier et les évaluer • Enchaîner les idées pertinentes dans un ordre logique • Construire une argumentation cohérente, un raisonnement, une preuve en utilisant adéquatement le langage scientifique

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• Lire des textes à caractère scientifique, des textes d’actualité 5. Communiquer de façon claire et précise.

• Résumer un travail scientifique (ex : produire un « abstract ») • Écrire des textes à caractère scientifique ou rédiger des rapports de laboratoire respectant les normes en vigueur



• Présenter des observations sous forme de dessin ou de schéma • S’exprimer verbalement à l’occasion d’exposés, de représentations, de discussions en petit groupe ou en grand groupe

6. Témoigner d’apprentissages autonomes dans le choix des outils documentaires ou des instruments de laboratoire

• Respecter, en tout temps, les normes de sécurité en laboratoire • Travailler de façon autonome en laboratoire

• Évaluer l’efficacité de ses stratégies, s’adapter à des situations différentes, revoir ses objectifs et ses comportements

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• Travailler en assumant des rôles divers au sein d’équipes spécialisées dans une discipline ou d’équipes multidisciplinaires orientées vers des buts précis et des productions communes

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• Repérer, organiser et utiliser l’information pertinente 7. Apprendre de façon autonome

8. Travailler en équipe

• Planifier sa propre démarche d’apprentissage en se fixant un but et des moyens appropriés pour l’atteindre

• Comprendre et respecter la diversité et l’interdépendance des individus • Établir des liens avec les autres membres du groupe

9. Établir des liens entre la science, la technologie et l’évolution de la société 10.

Définir son système de valeurs

11. Situer le contexte d’émergence et d’élaboration des concepts scientifiques * 12. Adopter des attitudes utiles au travail scientifique 13. Traiter des situations nouvelles à partir de ses acquis

• Constater la puissance et les limites de la science et de la technologie • Discuter des conséquences des découvertes scientifiques et des développements technologiques sur l’évolution de la société

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• Reconnaître et choisir ses valeurs personnelles; • Se référer à des considérations éthiques et à son système de valeurs dans sa prise de décision et le choix de ses comportements. • Situer, dans l’histoire du développement de la pensée humaine, l’émergence et l’évolution des concepts enseignés; • Reconnaître les modes de construction et de transformation des connaissances, lorsqu’elles sont soumises à la discussion et à la validation sous forme d’hypothèses de recherche. • Manifester des attitudes et des qualités personnelles telles que le goût de l’effort soutenu, la persévérance, la curiosité, la créativité, la souplesse et la flexibilité, l’esprit d’entraide, l’esprit critique. • Percevoir une continuité entre les cours d’une même discipline; • Intégrer et transférer ses acquis à la résolution de problèmes dans des situations nouvelles.

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Enseigné : une démarche d’enseignement est entreprise pour favoriser l’apprentissage

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Exigé : est reconnu comme un acquis mis en application naturellement par l’élève, peut faire l’objet d’évaluation sans

Évalué : est évalué dans le cadre du cours

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   

• Établir des liens entre les diff érentes disciplines du programme;

[1]L’instaurationdecettecapacitéimpliquepourlecomitédetravailquecettecalculatriceestobligatoirepourlescoursetpermiseauxexamensetque, dansletempslemodèledevraêtreactualiséselonleschangementstechnologiques

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