Prova – Grupos, representa¸c˜oes 14/05/2020 PDF

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Resolução da prova do primeiro semestre da disciplina MA446-Grupo, representações data 14/05/2020...

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Prova – Grupos, representa¸c˜ oes 14/05/2020 1. a) (0.5 ponto) Dˆe a defini¸c˜ao de grupo e ordem de elemento de grupo. b) (1.5 ponto) Seja ϕ : G ! H um homomorfismo de grupos. Demonstre que | ϕ(g) | divide | g |. H 2. Seja G um grupo com dois subgrupos normais N e M tais que G = N M e N \ M = 1. a) (0.5 ponto) Mostre que nm = mn para todos n 2 N, m 2 M. b) (1.5 ponto) Mostre que ϕ : N ⇥M ! G dado por ϕ((n, m)) = nm ´e um isomomorfismo de grupos. 3. a) (1 pt) Dˆe as defini¸c˜oes dos grupos Sn e An . Calcule |Sn | e |An |. Quais dos elementos (1 2 3)(4 5 6) e (1 2)(3 4)(1 2 3) s˜ao elementos de A6 ? b) (1 pt) Demonstre que σ(i1 i2 . . . ik )σ 1 = (σ(i1 ) σ(i2 ) . . . σ(ik )). Ache σ 2 S10 tal que σρσ 1 = ρ0 para ✓ ◆ ✓ ◆ 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 0 ρ= ,ρ = . 3 1 2 4 6 5 2 1 3 5 6 4

4. a) (0.5 pt) Enuncie a primeira parte do teorema de isomorfismos. b) (1.5 pt) Seja G = GL5 (R) = {A 2 M5 (R) | det(A) 6= 0} e H = SL5 (R) = {A 2 GL5 (R) | det(A) = 1}. Demonstre que H ´e subgrupo normal de G e G/H ´e um grupo abeliano. 5. (2 pt) Seja G = {g 2 C | g 36 = 1}, consideramos como um grupo com respeito a opera¸ca˜o produto de n´umeros complexos. Mostre que G ´e grupo c´ı cl i co de ordem 36. Escreva todos os geradores de G. Escreva um elemento de G de ordem 9. Todas respostas devem ser justificadas!

Boa Sorte!...