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Chapitre 1 Questions du MoocQuestion 1Certaines grandes sociétés sont cotées sur plusieurs places financières, parfois en devises différentes. C'est le cas par exemple de NOKIA, cotée à la fois sur son marché domestique et à la Bourse de New- York (New York Stock Exchange).Si cette action s’échange ...

Description

Chapitre 1 Questions du Mooc Question 1 Certaines grandes sociétés sont cotées sur plusieurs places financières, parfois en devises différentes. C'est le cas par exemple de NOKIA, cotée à la fois sur son marché domestique et à la Bourse de NewYork (New York Stock Exchange). Si cette action s’échange au même moment à 5.99€ à Helsinki et à 6.60$ à New-York, quel est le taux de change EUR/USD implicite d’après la loi du prix unique (valeur d'1 euro en dollars, arrondie à 3 décimales) ? Solution

 1.102 EUR/USD Pour obtenir la valeur d'un euro en dollars, il faut diviser le prix de l'action exprimé en dollars par le prix de l'action exprimé en euros, soit 6,6/5,99. Question 2 Un actif risqué, qui rapporte en moyenne 180€ dans un an, affiche actuellement un prix de 157,89€ sur le marché. Le taux d’intérêt sans risque est de 2% et l’espérance de rentabilité du marché est de 8%. L'actif risqué fluctue dans le même sens que le marché. Sur base des informations disponibles, quelle affirmation est correcte? -

la prime de risque de l'actif risqué est égale à celle du marché le prime de risque de l'actif risqué est nulle la prime de risque de l'actif risqué est égale au double de celle du marché correct la prime de risque de l'actif risqué est négative

Solution Vu que l'actif risqué fluctue dans le même sens que le marché, sa prime de risque doit être positive (elle ne peut être ni nulle ni négative). Dans un premier temps, on peut déterminer la prime de risque du marché en faisant la différence entre le rendement du marché et le taux sans risque, soit (8%-2%) qui donne 6%. Dans un second temps, on peut déterminer la rentabilité de l'actif risqué grâce à son prix et le flux moyen à percevoir dans un an. La valeur actuelle de ce flux (180/(1+r)) doit être égale au prix (157,89). Nous avons donc une équation à une inconnue, dans laquelle le taux d'actualisation (r) est à déterminer. On trouve comme solution une rentabilité de 14%. Pour terminer, on obtient la prime de risque de l'actif risqué en soustrayant le taux sans risque de la rentabilité, ce qui donne (14%-2% ) soit 12%. Cette prime de risque vaut exactement le double de celle du marché. Question 3 Vous avez la possiblité d'investir dans un des trois projets suivants: A, B ou C. Les flux futurs sont certains et le taux sans risque est de 3%. Vous pouvez prêter et/ou emprunter à ce taux grâce aux marchés financiers. Vous disposez actuellement d'un capital de 20 000€ à investir. Que devez-vous faire ? Projet

CF (t=0)

CF (t=1)

A

-40000

60000

B

-30000

45000

C

-20000

17500 1

Solution On peut tout de suite exclure le projet C car sa VAN est négative : 17500 actualisés à 3% pour un an vaut moins que 20000 aujourd'hui, soit (17500/1,03)-20000 donne -3010. Si l'on considère le projet A, sa VAN est positive: (60000/1,03)-40000 vaut 18252. Pour investir dans ce projet, on doit emprunter 20000 au taux de 3%, ce qui implique un paiement de 600 d'intérêts (20000*0,03). La VAN totale de l'opération reste toutefois identique: (-40000+20000)+(60000-20000*1,03)/(1+3%)=18252. Si l'on considère le projet B, sa VAN est positive: (45000/1,03)-30000 vaut 13689. Pour investir dans ce projet, on doit emprunter 10000 au taux de 3%, ce qui implique un paiement de 300 d'intérêts (10000*0,03). La VAN totale de l'opération reste identique: (-30000+10000)+(45000-10000*1,03)/ (1+3%)=13689. Si l'on choisit de placer le capital de 20000 au taux de 3%, on en retire 600 d'intérêts mais la VAN est nulle: -20000+20000*1,03/(1+3%)=0. Sur base des VAN, on doit choisir d'investir dans le projet A avec un recours aux marchés financiers pour le financement. Question 4 Sur les marchés financiers, on peut observer les cotations d'une obligation sans risque et d'un fonds indicé qui reproduit la performance du marché. Le fonds indicé est risqué et sa valeur, dans le futur, est fonction de la situation économique dans un an. Par hypothèse, on suppose qu'il y autant de chances que la conjoncture soit favorable ou défavorable. Les prix de ces deux actifs et les flux qu'ils verseront dans un an sont fournis dans le tableau ci-dessous. Ce tableau reprend aussi certaines données relatives à un deuxième fonds négocié sur le marché et caractérisé de "balanced". Quelle est la prime de risque de ce fonds "balanced" si son prix est celui obtenu par AOA (en %, arrondis à 2 décimales)? Prix (t=0)

CF (t=1)

CF (t=1)

CF (t=1)

Conjoncture favorable

Conjoncture défavorable

Obligation 489 sans risque

500

500

Fonds indicé 450 (indice de marché)

600

400

Fonds ? "balanced"

567

433

Solution Sur base du prix et des flux de l'obligation sans risque, on peut déterminer le taux sans risque: (500/489)-1 donne un taux de 2,25%. De manière similaire, on peut déterminer la rentabilité du marché grâce au prix et aux flux du fonds indicé: ((600*0,5+400*0,5)/450)-1 donne une rentabilité de 11,11%. On peut en déduire la prime de risque du marché, soit 11,11%-2,25% qui donne 8,86%. Si on regarde les flux générés par le 3ème actif, on peut s'apercevoir qu'ils peuvent être répliqués en investissant 1/3 dans l'actif sans risque et 2/3 dans le fonds indicé. Par AOA, on peut donc déterminer 2

son prix qui devrait correspondre à 1/3 du prix de l'obligation plus 2/3 du prix du fonds indicé, soit (1/3*489+2/3*450) qui donne une valeur de 463. On peut aussi déterminer le flux espéré de ce 3ème actif: 0,5*567+0,5*433, soit 500. Grâce au prix et au flux espéré, on peut déterminer la rentabilité de ce 3ème actif: (500/463)-1 donne 7,99%. Il suffit d'ôter le taux sans risque pour obtenir la prime de risque de cet actif: 7,99%-2,25% donne 5,74%. Question 5 Trois actifs sont actuellement échangés sur le marché : une obligation sans risque et deux fonds risqués, A et D. Les flux générés par ces actifs dans un an dépendent de la conjoncture économique. On considère qu'il y a trois états possibles pour cette conjoncture (favorable, neutre, défavorable) et qu'ils sont équiprobables. Les prix actuels et les flux prévisionnels de ces actifs sont donnés dans le tableau ci-dessous. Quel devrait-être le prix de non-arbitrage d'un fonds risqué qui payerait 400 en cas de conjoncture favorable, 250 en cas de conjoncture neutre et 25 en cas de conjoncture défavorable (arrondi à l'unité)?

Prix Actif (t=0 Flux (t=1) financier )

Flux (t=1)

Flux (t=1)

Conjonctur Conjonctur Conjonctur e e e neutre défavorabl favorable e Obligatio n sans risque Actif A Actif D Fonds risqué

245 250

250

250

140 600 375 0

0 0

0 900

?

250

25

400

Solution La résolution de ce problème repose sur la loi du prix unique et l'AOA: sur un marché concurrentiel, les actifs qui génèrent des flux identiques doivent avoir la même valeur. Il faut donc déterminer quelle combinaison des 3 actifs (obligation sans risque, actif A, actif D) produirait les flux énoncés dans la question. Après un examen attentif du tableau de flux, on peut identifier qu'une position dans le fonds risqué est équivalente à investir respectivement 100% dans l'obligations sans risque, 25% dans l'actif A et -25% dans l'actif D. A partir de ces pondérations, on peut déterminer le prix de ce fonds risqué sous AOA: 245+0,25*140-0,25*375, soit 186. On peut remarquer que 2 hypothèses implicites permettent le raisonnement tenu: la divisibilité des actifs et la possibilité d'effectuer une vente à découvert dans le marché. Chapitre 2 Question 1

3

Serena a décidé de placer aujourd'hui 3000€ pour une période de 5 ans sur un compte en banque qui lui offre un taux d'intérêt annuel de 3,25%. Irena compte également épargner mais sa situation financière actuelle ne lui permet que de placer 650€ à la fin de chacune des 5 prochaines années et le taux qui lui est offert ne sera que de 2% par an. Paolo peut quant à lui investir 1300€ tout de suite et 1800€ dans un an. Pour cette épargne, il a retenu un placement qui affiche un taux de 2.8% par an. Qui disposera du montant le plus élevé au terme des 5 années ? Solution Pour répondre à la question, il faut calculer les VF des différents placements. Pour Serena, cela revient à capitaliser la somme de 3000 au taux de 3,25% sur 5 ans, ce qui donne une VF de 3520,23. Pour Irena, il faut calculer la VF de la séquence des versements de 650 qui seront effectués de t=1 à t=5. Cela revient à faire la somme des VF de chaque versement (le 1er est capitalisé pendant 4 ans tandis que le dernier n'est pas capitalisé) ; le total aboutit à 3382,63. Pour Paolo, il faut sommer la VF du 1er placement de 1300 pendant 5 ans et celle du second placement de 1800 pendant 4 ans. Ces 2 placements se font au taux de 2,8% par an et la somme des 2 VF donne 3502,71. En comparant les VF des 3 placements réalisés, on peut identifier que la VF la plus élevée au terme des 5 ans est obtenue par Serena. Question 2 A la naissance de votre enfant, vos parents vous avaient annoncé avoir effectué un placement en l'honneur de leur nouveau descendant. Ce placement a été réalisé sur un compte d'épargne bloqué jusqu'à la majorité de l'intéressé (18 ans), avec un rendement fixe de 4% par an. Venant tout juste d'atteindre l'âge fatidique, votre enfant vous informe disposer aujourd'hui d'une somme de 40 516€ sur ce compte. Quel montant a dû être placé par vos parents à sa naissance (en euros, arrondis à l'unité)? Solution La somme de 40516 correspond à la VF d'un placement capitalisé au taux de 4% pendant 18 ans. On peut résoudre cette équation à une inconnue pour identifier le montant placé il y a 18 ans: 40516=F*(1+4%)^18, soit F égal à 20000. Question 3 Pour meubler votre premier appartement, vous avez emprunté de l'argent à vos parents. Selon les termes convenus à l'époque, vous devez encore leur rembourser 1000€ à la fin de cette année et 1500€ à la fin des deux années suivantes. Depuis lors, votre situation professionnelle s'est améliorée et vous vous interrogez sur l'opportunité de rembourser vos parents anticipativement. Sachant que votre compte d'épargne rapporte du 2% par an, quel est le montant unique et équilibré par lequel vous pourriez rembourser votre dette (en euros, arrondis à 2 décimales)? Solution Le taux d'intérêt de référence est de 2%. Il faut actualiser la séquence de flux de remboursement à ce taux pour en déterminer la VA aujourd'hui. Cela revient à faire la somme des éléments suivants: 1000/1,02 + 1500/1,02^2 + 1500/1,02^3, soit un total de 3835,63. Question 4 Vous avez placé 15000€ sur un compte rémunéré au taux de 3,25% par an. Après 8 ans, quelle est la part des intérêts sur les intérêts (en euros, arrondis à 2 décimales) ? 4

Solution Pour identifier la part des intérêts sur intérêts, il faut faire la différence entre la VF du placement à intérêts capitalisés et la VF du placement à intérêts simples. La 1ere VF s'obtient en capitalisant les 15000 pendant 8 ans au taux de 3,25%, soit (15000*1,0325^8) qui donne 19373,66. La seconde VF s'obtient en considérant des intérêts simples pendant 8 ans au taux de 3,25%, soit (15000*(1+8*3,25%)) qui donne 18900. La différence s'élève alors à 473,66. Question 5 Arrivant en fin de carrière, on vous propose deux alternatives pour percevoir votre capital retraite : la première option est de recevoir 150000€ dès votre départ à la retraite; la seconde option est de percevoir 190000€ exactement 3 ans après votre départ à la retraite. Quel est le taux d'intérêt annuel qui rendrait ces 2 options équivalentes (en %, arrondis à 2 décimales)? Solution Pour que les 2 options soient équivalentes, il faudrait que la VA du flux de 190000 dans 3 ans soit égale à 150000 aujourd'hui. On a donc une équation à une inconnue à résoudre, dans laquelle l'inconnue est le taux d'intérêt: 150000=190000/(1+r)^3, soit r=((190000/150000)^(1/3))-1=8,20%. Chapitre 3 Question 1 Votre filleul vient de naître et vous décidez d'épargner pour lui 25€ à la fin de chaque année jusqu'à sa majorité (le premier versement est supposé survenir dans un an exactement). Cette épargne peut être capitalisée au taux d'intérêt annuel de 2%. Quelle somme sera à disposition de votre filleul dans 18 ans (en euros, arrondis à 2 décimales) ? Solution Ce problème traite d'une séquence de flux constants, d'une valeur de 25€ et versés à la fin des 18 prochaines années. Le 1er versement survient dans un an et le dernier dans 18 ans. On a donc une rente constante de 18 termes. Pour répondre à la question, on peut calculer sa VA aujourd'hui (t=0) et puis sa VF dans 18 ans (t=18). Pour déterminer sa VA, il faut multiplier le flux (25€) par la VA d'une rente unitaire au taux de 2% pendant 18 ans. On obtient alors: 25*(1-(1+2%)^-18)/2%, soit 25*14,99=374,80. Pour déterminer sa VF, il faut ensuite capitaliser la VA au taux de 2% pendant 18 ans: 374,80*1,02^18=535,31. Question 2 Vous avez gagné à la lotterie le droit de percevoir une rente perpétuelle de 12 000€ par an (à l'infini). Le premier versement vous sera payé dans un an. Si vous avez la possibilité de placer les sommes perçues sur un compte rémunéré au taux de 1% par an, quelle est la valeur de ce gain (en euros, arrondis à l'unité) ? Solution Ce problème traite d'une rente perpétuelle dont le 1er flux survient dans un an. Pour obtenir sa VA, il suffit de diviser la valeur de la rente par le taux d'intérêt de référence, soit 12000/1%=1200000. Question 3 Reprenons le gain évoqué à la question 2 et supposons maintenant que le premier versement soit effectué tout de suite. 5

Si vous avez la possibilité de placer les sommes perçues sur un compte rémunéré au taux de 1% par an, quelle est la valeur de ce gain (en euros, arrondis à l'unité) ? Solution Ce problème traite d'une rente perpétuelle dont le 1er flux survient immédiatement (en t=0). Cette rente peut être décomposée comme la somme d'un 1er flux perçu aujourd'hui et d'une rente perpétuelle dont le 1er flux survient dans un an. Pour obtenir la VA de la rente perpétuelle dont le 1er flux survient dans un an, il suffit de diviser la valeur de la rente par le taux d'intérêt de référence, soit 12000/1%=1200000. Il suffit ensuite d'y ajouter la valeur du flux perçu aujourd'hui, soit 1200000+12000=1212000. Question 4 Vous envisagez l'achat d'une maison dont le prix s'élève à 220 000€. Grâce à l'héritage de vos grandsparents, vous disposez d'un apport personnel de 40 000€ mais vous devez emprunter le solde. Votre banque vous propose un prêt sur 20 ans au taux de 4% par an, remboursable par 20 versements annuels constants (20 annuités constantes donc). Si vous acceptez ces conditions, quel sera le montant de l'annuité à verser à la banque (en euros, arrondis à 2 décimales) ? Solution La maison coûte 220000 mais comme vous disposez de 40000, l'emprunt à contracter porterait sur un capital de 180000. Pour que la transaction financière soit équilibrée, il faut que ce capital soit égale à la VA des flux générés par l'emprunt. Ces flux constituent une suite de 20 annuités constantes, qui doivent être actualisées au taux de 4%. Dans ce problème, la valeur de l'annuité est la seule inconnue. En divisant le capital emprunté par la VA d'une rente constante unitaire pendant 20 ans au taux de 4%, on obtient la valeur de l'annuité: 180000/(1-(1,04)^-20)/0,04, soit 13244,72. Question 5 Une firme pharmaceutique a développé un nouveau médicament pour lequel elle vient de recevoir l'agrément autorisant sa commercialisation. Le brevet qu'elle a déposé pour celui-ci a une durée de 10 ans. Selon le département financier, les bénéfices générés par ce nouveau médicament seront d'un million d'euros dès la première année de commercialisation. Ces bénéfices devraient ensuite augmenter de 5 % par an pendant toute la durée du brevet. Au terme de cette période, une version générique du médicament sera autorisée sur le marché, ce qui devrait faire tomber les bénéfices à zéro. Quelle est la valeur actuelle de ce nouveau médicament si le taux d'intérêt annuel est de 9% (en millions d'euros, arrondis à 2 décimales)? Solution Les bénéfices issus du médicament constistuent une rente croissante sur la durée du brevet, soit 10 ans. Le premier bénéfice survient dans un an et s'élève à 1 million. Il sera ensuite indexé chaque année au taux de 5%. Pour répondre à la question, on peut utiliser la formule de la VA d'une rente croissante sur un horizon déterminé: 1*(1-(1,05/1,09)^10)/(0,09-0,05), soit 7,80M€. Question 6 Reprenons la firme pharmaceutique évoquée à la question précédente (question 5) et supposons maintenant que la fin du brevet n'aura pas d'impact sur les bénéfices futurs. Ces derniers continueront dès lors à augmenter de 5% par an, même après la fin du brevet.

6

Quelle est la valeur actuelle du nouveau médicament si le taux d'intérêt annuel est de 9% (en millions d'euros, arrondis à 2 décimales)? Solution Les bénéfices issus du médicament constistuent maintenant une rente perpétuelle croissante. Le premier bénéfice survient dans un an et s'élève à 1 million. Il sera ensuite indexé chaque année au taux de 5%. Pour répondre à la question, on peut utiliser la formule de la VA d'une rente perpétuelle croissante: 1/(0,09-0,05), soit 25,00M€. Question 7 Vous êtes fraichement diplômé et vous souhaitez vous acheter une voiture afin de faciliter votre insertion sur le marché de l'emploi. Vos économies sont insuffisantes pour couvrir le coût total du véhicule choisi et vous sollicitez un prêt de 5000€ auprès de votre frère. Celui-ci accepte à condition que vous lui remboursiez un montant de 1000€ à chaque fin d'année. Etant donné votre situation financière incertaine, votre frère exige un taux d'intérêt de 6% par an. Avant de signer le bon de commande de la voiture, vous vous interrogez sur les conditions formulées par votre frère. Combien d'années vous faudra-t-il pour vous acquitter de votre dette ? (veuillez arrondir à l'année supérieure). Solution Les remboursements annuels de 1000€ constituent une rente constante sur une durée inconnue; c'est cette durée qu'il faut identifier. On connait par ailleurs le montant emprunté (5000€) et le taux d'intérêt annuel (6%). On va donc devoir résoudre une équation à une inconnue, où cette inconnue est située en exposant: 5000=1000*(1-1,06^-N)/0,06. Pour ce faire, on doit isoler N et passer aux logarithmes népériens. Ceci nous donne -N=ln0,7/ln1,06, soit N=6,12. Si on arrondit à l'année supérieure, cela nous donne 7 ans. Question 8 Vous venez d'avoir 30 ans et vous envisagez votre départ à la retraite dans 37 ans, soit à l’âge de 67 ans. Afin de pouvoir conserver votre niveau de vie actuel malgré la retraite, vous souhaitez vous constituer un complément à la pension légale. Vous prenez alors contact avec votre compagnie d’assurances afin de connaître les modalités de constitution d'une épargne retraite pour l'objectif suivant: vous souhaitez un complément de revenus de 12000€ par an à partir de 67 ans. Votre compagnie d'assurances peut vous assurer un rendement de 3,75% chaque année sur les versements effectués et l'épargne constituée. Si votre espérance de vie est estimée à 85 ans et que la rente est versée jusqu'à cet âge, quel montant devrez-vous consacrer chaque année à votre épargne-retraite? (en euros, arrondis à 2 décimales - tous les flux sont supposés survenir en fin d'année) Solution Le complément de revenus de 12000€ tirés de l'épargne retraite constitue une rente constante qui sera versée pendant 18 ans. On peut déterminer sa VA au moment du départ en retraite (t=67 ans):12000*(1-(1,0375)^-18)/0,0375, soit 155045,53. On peut dans un second temps déterminer sa VA aujourd'hui (t=30 ans): 155045,53/1,0375^37, soit 39709,95. Le versement annuel à l'épargne retraite représente aussi une rente constante, versée pendant 37 ans. La VA de cette rente doit être égale à 39709,95 pour que l'opération soit équilibrée. On obtient donc la valeur de la rente constante à verser à l'épargne retraite, en divisant 39709,95 par la VA d'une rente constante unitaire au...