Resumen Análisis I - FUNCIÓN DERIVADA Cociente incremental derivada de la función en un punto Interpretación PDF

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FUNCIÓN DERIVADA
Cociente incremental
derivada de la función en un punto
Interpretación geométrica y recta tangente
Derivada de algunas funciones usuales
función radical
función constante...

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UNIDAD IV: FUNCIÓN DERIVADA Introducción: si tenemos una función continua f (x) y consideramos un punto x 0 que pertenece al dominio de la función. A ese x 0 lo incrementamos en un ∆ x tal que el punto incrementado x 0+∆ x también pertenezca al dominio de la función, se tiene el valor de la función en ese punto incrementado.

x f (¿¿0) ¿ x En x 0+ ∆ x la función vale f (¿¿0+∆ x ) ¿ f ( x 0 +∆ x ) −f (x 0 ) y se designa con ∆ y . Es decir que a un incremento En x 0

la función vale

∆ x le El incremento de la función es corresponde un incremento ∆ y , osea que la función varía en un promedio de m unidades por cada unidad que varía x. A esta variación se la llama variación media de la función con respecto a la variación de x en el intervalo. La misma está dada por el cociente: ∆y ∆x El único caso de funciones en que la variación se mantiene constante independientemente del punto e incremento que se consideren es la función lineal. En ésta, la variación media toma el nombre de pendiente de la recta. ∆ x puede ser negativa y ∆ y puede llegar a ser negativa también. Cociente incremental: el cociente

∆ y f ( x 0+∆ x )−f (x 0) f ( x 0 + ∆ x ) −f ( x0 ) = = x 0 +∆ x− x 0 ∆x x0

se llama cociente incremental y

representa la variación media de crecimiento o de decrecimiento de una función en el intervalo [ x 0 ; x 0 +∆ x ] . Para tener una idea más aproximada de la rapidez en que varía una función se toman incrementos de x cada vez menores y la variación instantánea de la función en el punto es el límite del cociente incremental cuando ∆ x tiende a cero. Este límite se llama derivada de la función en un punto. Derivada de la función en un punto: llamamos así al límite del cociente incremental cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero. '  Notación: se representa con f ( x 0 ) o Df ( x0 ) . De acuerdo con lo expuesto tenemos que la fórmula para calcular la derivada de una función es:

f ' ( x 0 ) = lim

∆ x →0

f ( x0 +∆ x ) −f (x 0) ∆x

Por motivos de comodidad también se suele escribir h

en lugar de

∆x :

f ( x 0 +h) −f (x 0 ) f ' (x 0)=lim h h →0 NOTA: recordar que siempre la derivada es un número que depende de la función y del punto que se tome. Interpretación geométrica y recta tangente: sea f (x) una función continua y derivable en el punto x 0 ; a x 0 le corresponde un punto P de la curva. Si también consideramos un incremento ∆ x ; a x 0+ ∆ x le corresponde un punto Q de la curva. Trazamos la recta PQ secante a la curva donde el cociente incremental es la tangente del ángulo φ . Es decir que el cociente incremental es la pendiente de la recta secante PQ.

∆ y f ( x 0+∆ x )−f (x 0) =tg φ = ∆x x0 Como habíamos dicho, la variación media servía para medir la variación de la función y mientras menores fueran los incrementos más precisa sería la variación media. Por eso, si cada vez vamos tomando incrementos menores el punto Q se va a ir aproximando al punto P a la vez que pasa por todas las posiciones. Se obtiene así, un haz de rectas que pasan todas por el punto P. Cuando el incremento de x tiende a cero la posición límite de estas rectas secantes es la de la tangente a la curva en P y que determina la inclinación con respecto al eje x. Por lo tanto el límite del cociente incremental cuando ∆ x → 0 , osea la derivada en x 0 es un número que mide la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto P.  Consecuencia: si hay derivada de una función para un determinado x, hay recta tangente a la curva en un determinado x.



Observación: toda función derivable en un punto es continua en él pero no todas las funciones continuas en un punto son derivables en él. Función derivada: hasta ahora se ha considerado la derivada de la función en un punto. En los problemas en general, es necesario conocer la derivada de más de un punto y repetir el proceso puede llegar a ser una tarea tediosa. Para resolver esto se reduce el cálculo con la función derivada. Dada la función continua f (x) , la función derivada de ella es f ' (x) , tal que, para cada punto x 0 que pertenece al dominio de f (x) , queda determinado un único valor f ' (x) . Esta función derivada se define como el cociente incremental para un punto x cualquiera del dominio (nótese que es x y no x 0 ), cuando ∆ x → 0 . Entonces para calcular la función derivada se usa una fórmula similar:

f ' (x 0)=lim h →0

f ( x+ ∆ x )−f (x) h

(otra vez, nótese que se coloca x y no x 0 ) NOTA: la diferencia entre colocar x 0 o x es que cuando se escribe la primera por lo general se hace referencia a que se debe reemplazar por un punto en específico, caso contrario se da con la segunda puesto que se escribe así para dar cuentas de que no se debe reemplazar por nada, al menos de momento. Derivada de algunas funciones usuales: n  Función Potencial: dada una función f ( x ) =x Demostración mediante la definición de derivada: Se tiene que

con n natural se tiene que su derivada es

' f ( x )=nx n−1 .

f ( x )=x n n f ( x +h ) =( x +h ) Entonces n n f ( x +h ) −f ( x ) =( x +h) −x Desarrollamos ( x+h )n con el binomio de Newton y nos queda n (n−1) n−2 2 n(n−1)(n −2) n−3 3 n n n n−1 x h+ x h + ⋯ + h −x f ( x +h ) −f (x )=x +nx h+ 2! 3! Anulamos x n y −x n por ser términos iguales y de signo contrario n(n−1) n−2 2 n (n−1)(n −2) n−3 3 n x h +⋯+h f ( x +h ) −f (x )=nx n−1 h+ x h+ 3! 2!

Como la definición nos dice que el lado izquierdo de la igualdad debe estar dividido por términos por h para mantener la igualdad. A la derecha dividimos cada término por h

h . Dividimos ambos

n(n−1) n −2 n(n−1)(n−2) n−3 2 f ( x+ h )− f (x) x h +⋯+hn−1 =nxn−1 + x h+ 3! h 2! Calculamos el límite para h →0 en ambos lados de la igualdad f ( x +h) −f (x ) n(n−1)( n−2 ) n−3 n−1 n−1 n (n−1) n−2 2 =nx + x lim h+ x lim h +⋯+lim h lim h 2 ! 3 ! h →0 h →0 h→ 0 h→0 Una vez calculado el límite todos los términos que tenían una h se anulan quedando f ( x +h) −f (x ) =nx n−1 lim h h→0 Luego, por definición tenemos que

f ( x +h) −f (x ) =f ' (x) h h→0 lim

Entonces, si reemplazamos obtenemos n −1

f ' (x)=nx



NOTA 1: ver binomio de Newton, en la unidad ocho de combinatoria en la cátedra de Álgebra y Geometría Analítica. NOTA 2: esta demostración es válida para todo n natural pero la fórmula resultante es válida para cualquier n real. ' Función Identidad: si se trata de la función identidad f ( x ) =x se tiene que f ( x )=1 . Demostración aplicando la fórmula:

f ( x )=x f ( x +h ) =x+ h Entonces

f ( x +h ) −f ( x ) =x +h−x f ( x +h ) −f ( x ) =h Dividimos ambos términos en

h

f ( x+h)−f (x ) h = h h Si resolvemos segundo miembro

f ( x+ h )− f (x ) =1 h h →0 f ( x +h) −f ( x ) =lim 1 lim h h→0 h→0

Calculamos el límite para

Reemplazamos como nos dice la definición y resolvemos el límite del segundo miembro

f ' (x)=1 

Función radical: una función del tipo f ( x ) = √ x

tiene como derivada

f ' ( x )=

1 2 √x

. Demostraremos lo dicho

haciendo uso de la fórmula.

f ( x ) =√ x f ( x +h) =√ x +h Hacemos la diferencia entre el punto incrementado y el punto

f ( x +h) −f ( x ) =√ x+ h−√ x Dividimos por h ambos términos

f ( x+ h)−f (x) √ x+ h−√ x = h h Si intentamos calcular el límite nos va a quedar una indeterminación del tipo cero sobre cero, para levantarla multiplicamos y dividimos por el conjugado del numerador

f ( x+ h)−f (x) √ x+ h−√ x √ x +h+√ x = h h √ x +h+√ x f ( x+ h)−f (x) ( √ x +h−√ x )( √ x+h+ √x ) = h h ( √ x +h+ √ x ) Suma por resta (en el denominador) es una diferencia de cuadrados

√ x+h

¿ ¿ √x ¿ ¿ ¿2 ¿ f ( x+h)−f (x) =¿ h Simplificamos las raíces del numerador

f ( x+ h)−f (x) x+ h−x = h h( √ x +h+ √ x) Simplifico y se van las x del numerador, y la h del numerador con la h que multiplica en el denominador.

f ( x+ h)−f (x) 1 = h √ x+ h+ √ x Ahora sí podemos calcular el límite de h →0

f ( x +h) −f (x ) 1 =lim lim h h→0 h → 0 √ x+ h+√ x f ( x +h) −f (x ) 1 lim = h h→0 √ x +0+√ x

Reemplazamos según la definición en el primer miembro, y juntamos las raíces en el denominador del segundo miembro

f ' (x)=

1 2√ x

Y con esto queda demostrada la derivada de la función radical. NOTA: la función radical, al poderse expresar como potencia también es un caso especial de función exponencial. 

Función constante: su derivada es 0. Demostración haciendo uso de la fórmula:

f ( x )=k f ( x +h ) =k Resolvemos:

f ( x+ h )− f (x ) k −k = h h f ( x+ h )− f (x) 0 = h h f ( x+ h )− f (x) =0 h Calculamos el límite en ambos lados de la igualdad

f ( x +h) −f (x ) =lim 0 h h→0 h→0 f ( x +h) −f (x ) lim =0 h h→0 lim

Reemplazamos según nos dice la definición

f ' (x)=0 

Función seno: tenemos que su derivada es igual a la función coseno. Como antes, demostramos mediante la fórmula:

f ( x )=sen x

f ( x +h) =sen x+h f ( x +h) −f ( x )=sen ( x+h )− sen x Sabemos que

sen p−sen q=2cos

p+q p−q sen 2 2

Entonces

f ( x +h ) −f ( x )=2 cos

x+ h−x x +h+ x sen 2 2

Resolvemos de manera que nos quede una expresión más simple

f ( x +h ) −f ( x )=2 cos

2 x +h h sen 2 2

f ( x +h ) −f ( x )=2 cos

( 22x + 2h )sen h2 ( 2h ) sen 2h

f ( x +h ) −f ( x )=2 cos x+

Dividimos ambos términos en h . Como en el segundo miembro hay tres factores, por multiplicación de fracciones podemos dividir sólo uno de ellos. Elegimos el tercero.

( )

f ( x+h )− f (x) h =2 cos x+ h 2

sen

h 2

h

Ahora operamos el primer y tercer factor

h sen 2

2h

2h

sen2 h = 2h ( ) 2h 2 Al valor obtenido lo reemplazamos en la expresión, colocándolo en lugar del primer y tercer factor f ( x+ h )− f (x) h sen 2 h =cos ( x + ) 2 2h h 2

h

=sen

h =sen ÷1

h →0 f ( x +h) −f (x ) sen 2 h h lim =lim cos x + lim 2 h → 0 2h h h→0 h→0

Calculamos el límite para

( )

Sabiendo que

sen x =1 x h→0 lim

Tenemos que

f ( x +h) −f (x ) h =lim cos x + 2 h h→0 h→0

( )

lim

Sabemos que el límite del coseno es igual al coseno del límite

( )

f ( x +h) −f (x ) h =cos lim x + 2 h h→ 0 h→0 lim

En el primer miembro reemplazamos según la definición y en el segundo calculamos el límite

( 02 )

f ' ( x )=cos x+ f ' ( x )=cos x 

Función coseno: su derivada es -seno. f ( x ) =cos x función seno.



Función logaritmo neperiano: la derivada de f ( x )=ln x

; f ' ( x )=−sen x . Se demuestra de manera similar a la '

es f ( x )=

1 x

Demostración aplicando la definición:

f ( x )=ln x f ( x +h ) =ln x+ h f ( x +h ) −f ( x )=ln ( x +h ) −ln (x ) Como en el segundo miembro la diferencia de logaritmos se puede expresar como el logaritmo de un cociente de esta manera:

ln a−ln b=ln

a b

Reemplazamos en dicho miembro:

x+ h x h f ( x +h ) −f ( x )=ln 1+ x f ( x +h ) −f ( x )=ln

( )

Dividimos ambos miembros en

( )

h , lo que equivale a multiplicar por

1 h

f ( x+ h )− f ( x) 1 h = ln 1+ h x h

Luego, por propiedad de logaritmos sabemos que el logaritmo de un número elevado a otro es igual al exponente de ese número por el logaritmo de la base: b

ln a =b ln a Entonces

f ( x+ h )− f (x) h

h =ln 1+ x

( )

1 h

Para una futura comodidad multiplicamos y dividimos el denominador del exponente del segundo miembro por

( )

f ( x+ h )− f (x) h =ln 1+ x h

1 x

11 hx x

Al tener un producto en el exponente se lo puede expresar como una multiplicación de exponentes

[ ( )]

f ( x+ h )− f (x) h = ln 1+ x h

1 1 h x x

Por propiedad de logaritmo podemos sacar el exponente y ubicarlo delante del logaritmo 1

( )

f ( x+ h )− f (x) 1 h h = ln 1+ x x h x Calculamos el límite de h →0

( )

f ( x +h) −f (x ) 1 h lim = lim ln 1+ x h →0 h x h→0

1 h x

Luego, el límite del logaritmo es el logaritmo del límite

( )

f ( x +h) −f ( x ) 1 h lim = ln lim 1+ x h →0 x h→0 h

1 h x

Sabemos que 1 z lim (1+z ) =e z→0

Entonces:

lim h→0

f ( x +h) −f ( x ) 1 = ln e x h

Y como el logaritmo de un número que es igual a la base del logaritmo es 1, tenemos que:

f ( x +h) −f ( x ) 1 = h x h→0 lim

Ahora, si reemplazamos de acuerdo a la definición tenemos que:

f ' (x)=

1 x

Propiedades de las derivadas: 1. La derivada del producto de una constante por una función es, es igual al producto de la constante por la derivada de la función. 2. Regla de la cadena: Regla de la potencia: Derivadas de orden n o sucesivas: Derivación implícita y explícita: Tabla de fórmulas fundamentales para la derivación: Teorema de Bolzano: Teorema del valor medio: Teorema de Rolle sobre las raíces de una derivada: Teorema de Lagrange sobre los incrementos finitos: Teorema de Cauchy sobre la razón de los incrementos de dos funciones: Límite de la razón de dos infinitesimales: Ecuación de la recta tangente a una curvatura en un punto: Ecuación de la recta normal a una curva en un punto: Ángulo de dos curvas:...