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© Ausschließlich für Gebrauch in Vorlesungen und Übungen! Für alle anderen Zweckke sind die Originalque ellen heranzuziehen

Fachbereich Maschinenbau und Verfahrenstechnik

Saalübung 8 Wellendimensionierung

Lehrstuhl für Maschinenelemente und Getriebetechnik / Prof. Dr.-Ing. B. Sauer

© Ausschließlich fürr Gebrauch in Vorlesun ngen und Übungen! Fü ür alle anderen Zweckke sind die Originalquellen heranzuziehen

Fachbereich Maschinenbau und Verfahrenstechnik

Problemstellung Auf die Getriebewelle in Bild 1, gelagert in den Lagerstellen A und B, wirken bei verschiedenen Betriebszuständen unterschiedliche Kräfte und Momente. A: Loslager B: Festlager Zahlen: Untersuchte Querschnitte L: Längeneinheit

Es sollen drei Lastfälle untersucht werden: A) Vorwärts antreiben B) Rückwärts antreiben C) Rückwärts bremsen

Bild 1: Getriebewelle mit Betriebslasten

8. Wellendimensionierung Lehrstuhl für Maschinenelemente und Getriebetechnik / Prof. Dr.-Ing. B. Sauer

ME1 – Übung 8 / BS 2

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Problemstellung Folgende Lasten treten auf:

A: Vorwärts antreiben

B: Rückwärts antreiben

C: Rückwärts bremsen

Fax = 1000 N ± 80 N

Fax = 800 N ± 100 N

Fax = 1200 N ± 100 N

FQ = 2000 N ± 100 N

FQ = -2400 N ± 200 N

FQ = -2500 N ± 100 N

Mt = 300 Nm ± 120 Nm

Mt = -280 Nm ± 110 Nm

Mt = 320 Nm ± 60 Nm

(Geometriegröße L = 50 mm)

¾ Ermitteln Sie aus den gegebenen Last- und Geometriedaten die Vergleichsspannungen an den Stellen 1-11 und bestimmen Sie die Querschnitte, die im Rahmen einer Dauerfestigkeitsberechnung nach DIN 743 nachgerechnet werden müssen. 8. Wellendimensionierung Lehrstuhl für Maschinenelemente und Getriebetechnik / Prof. Dr.-Ing. B. Sauer

ME1 – Übung 8 / BS 3

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Vorgehensweise 1)

Problem abstrahieren Æ mechanisches Modell: statisch bestimmt gelagerter Balken

2)

Bestimmung der räumlichen Auflagerreaktionen

3)

Bestimmung der räumlichen Schnittgrößen-Verläufe

4)

Berechnung der Nennspannungen an den Stellen 1 1-11 11 anhand der geometrischen Wellenabmessungen

5)

Technologische, Werkstoff- und Größeneinflussfaktoren abschätzen

6)

K bf kt Kerbfaktoren (hier (hi nur abschätzen) b hät )

7)

Wechselfestigkeiten abschätzen, Mittelspannungseinfluss ermitteln

8)

Zulässige Spannungsamplituden und Sicherheiten berechnen

9)

Kritische Querschnitte ermitteln

Æ

Kritische Querschnitte im Rahmen einer detaillierten Dauerfestigkeitsberechnung hinsichtlich der Gefahr eines Dauerbruchs überprüfen

Æ

Berechnung gemäß DIN 743 mit individuellen Kv‘s, ak‘s, bk‘s,... 8. Wellendimensionierung Lehrstuhl für Maschinenelemente und Getriebetechnik / Prof. Dr.-Ing. B. Sauer

ME1 – Übung 8 / BS 4

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1) Mechanisches Modell

1

2

3

4

5

6 7 8 C

9

11 10

Bild 2: Kräftebezeichnungen und -orientierungen orientierungen

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ME1 – Übung 8 / BS 5

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2) Berechnung Auflagerreaktionen - Gleichgewichte a) Ermittlung der auftretenden Reaktionskräfte für die drei Lastfälle. 1. Kräfte-Gleichgewicht:

x + : FAx − Fa − FBx = 0 y + : − FQ + FAy + FBy + FR = 0

(1)

z+ :

(3)

FAz + Ft + FBz = 0

(2)

2. Momenten-Gleichgewicht:

M x, C : M t − Ft ⋅ L = 0

(4)

M y, B : Ft ⋅ 2L + FAz ⋅ 3 L = 0

(5)

M z , C : FBy ⋅ 2 L − FAy ⋅ L + FQ ⋅ 2 L − Fa ⋅ L = 0 (6)

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ME1 – Übung 8 / BS 6

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2) Berechnung Auflagerreaktionen – Auflösen der Gleichungen Aus (4):

Ft =

Mt L

Kräftezerlegung der Schrägverzahnung: Fa = Ft ⋅ sin 8 ° / cos 20 ° Aus (1):

FBx = Fax − Fa

Aus (5):

2 FAz = − Ft 3

Aus (3):

1 FBz = − F t −FAz = − Ft 2

Aus (6) mit (2):

Aus (2):

FBy =

FR = Ft ⋅ tan 20°

− FQ + FA − FR 3

FAy = FQ − FB ,y − FR 8. Wellendimensionierung

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ME1 – Übung 8 / BS 7

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2) Berechnung Auflagerreaktionen - Zahlenwerte Zahlenwerte für die Auflagerreaktionen der drei Lastfälle

L tf ll Lastfall:

A (stat) ( t t)

A (dyn) (d )

B (stat) ( t t)

B (dyn) (d )

C (stat) ( t t)

C (dyn) (d )

1000 2000 300

80 100 120

800 -2400 -280 280

100 200 110

1200 -2500 320

100 100 60

Auflagerreaktionen FA,y 914 6 914,6 A y [N] FA,z [N] -4000,0 FB,x [N] 111,4 FB,y [N] -1098,4 FB,z [N] -2000,0

-567 567,5 5 -1600,0 -275,5 -206,0 -800,0

-1564 1564,7 7 3733,3 1629,4 1202,9 1866,7

-375 375,8 8 -1466,7 -225,8 -225,0 -733,3

-5202 5202,2 2 -4266,7 252,1 372,8 -2133,3

-217 217,1 1 -800,0 -77,7 -119,7 -400,0

Verzahnungskräfte Ft [N] 6000,0 Fr [N] 2183,8 Fa [N] 888,6

2400,0 873,5 355,5

-5600,0 -2038,2 -829,4

2200,0 800,7 325,8

6400,0 2329,4 947,9

1200,0 436,8 177,7

Fax [N] FQ [N] Mt [Nm] [N ]

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ME1 – Übung 8 / BS 8

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3) KraftKraft & Momentenverläufe (Lastfall A) •

Statisch Abschnitt 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

•

x [mm] 20,00 40,00 65,00 75,00 105,00 120,00 135,00 142,50 215,00 225,00 235 00 235,00

N [N] 1000,0 1000,0 1000,0 1000,0 1000,0 111,4 111,4 111,4 111,4 0,0 00 0,0

Mt [Nm] 300,0 300,0 300,0 300,0 300,0 300,0 0,0 0,0 0,0 0,0 00 0,0

Qy [N] -2000,0 -2000,0 -2000,0 -1085,4 -1085,4 -1085,4 1098,4 1098,4 1098,4 0,0 00 0,0

Qz[N] 0,0 0,0 0,0 -4000,0 -4000,0 -4000,0 2000,0 2000,0 2000,0 0,0 00 0,0

Q [N] 2000,0 2000,0 2000,0 4144,7 4144,7 4144,7 2281,8 2281,8 2281,8 0,0 0 ,0 0

Mby [Nmm] Mbz [Nmm] Mb [Nmm] 0 0 0 0 -40000 40000 0 -90000 90000 -20000 -105427 107307 -140000 -137990 196574 -200000 -109840 228177 -170000 -93364 193950 -155000 -85126 176837 -10000 -5492 11409 0 0 0 0 0 0

N [N] 80,0 80,0 80,0 80,0 80,0 -275,5 -275 275, 55 -275,5 -275,5 0,0 0,0

Mt [Nm] 120,0 120,0 120,0 120,0 120,0 120,0 00 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

Qy [N] -100,0 -100,0 -100,0 -667,5 -667,5 -667,5 206 0 206,0 206,0 206,0 0,0 0,0

Qz[N] 0,0 0,0 0,0 -1600,0 -1600,0 -1600,0 800 0 800,0 800,0 800,0 0,0 0,0

Q [N] 100,0 100,0 100,0 1733,7 1733,7 1733,7 826 1 826, 826,1 826,1 0,0 0,0

Mby [Nmm] Mbz [Nmm] Mb [Nmm] 0 0 0 0 -2000 2000 0 -4500 4500 -8000 -8338 11555 -56000 -28363 62773 -80000 -20603 82610 -68000 68000 -17512 17512 70219 -62000 -15967 64023 -4000 -1030 4131 0 0 0 0 0 0

Dynamisch Abschnitt 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

x [mm] 20,00 40,00 65,00 75,00 105,00 120,00 135 00 135,00 142,50 215,00 225,00 235,00

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ME1 – Übung 8 / BS 9

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3) KraftKraft & Momentenverläufe Verlauf der auftretenden Kraft- und Momente über die Länge der Welle:

1

Mt (Nm)

2

3

4

5

6 7 8

9 1011

300

x

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ME1 – Übung 8 / BS 10

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3) KraftKraft & Momentenverläufe (Lastfall A – statisch & dynamisch) 1

2

3

4

5

6 7 8

9 1011

1

2

3

4

5

6 7 8

9 1011

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ME1 – Übung 8 / BS 11

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3) KraftKraft & Momentenverläufe (Lastfall B) •

Statisch Abschnitt 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

•

x [mm] 20,00 40,00 65,00 75,00 105,00 120,00 135,00 142,50 215,00 225,00 235 00 235,00

N [ N] 800,0 800,0 800,0 800,0 800,0 1629,4 1629,4 1629,4 1629,4 0,0 00 0,0

Mt [Nm ] -280,0 -280,0 -280,0 -280,0 -280,0 -280,0 0,0 0,0 0,0 0,0 00 0,0

Qy [N] 2400,0 2400,0 2400,0 835,3 835,3 835,3 -1202,9 -1202,9 -1202,9 0,0 00 0,0

Qz[N] 0,0 0,0 0,0 3733,3 3733,3 3733,3 -1866,7 -1866,7 -1866,7 0,0 00 0,0

Q [N] 2400,0 2400,0 2400,0 3825,6 3825,6 3825,6 2220,7 2220,7 2220,7 0,0 0 ,0 0

Mby [ Nmm] Mbz [Nmm ] Mb [Nmm ] 0 0 0 0 48000 48000 0 108000 108000 18667 124176 125572 130667 149235 198355 186667 120295 222070 158667 102251 188760 144667 93229 172105 9333 6015 11104 0 0 0 0 0 0

N [N] 100,0 100 0 100,0 100,0 100,0 100,0 -225,8 -225,8 -225,8 -225,8 0,0 0,0

Mt [Nm] 110 0 110,0 110,0 110,0 110,0 110,0 110,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

Qy [N] -200 200 ,0 0 -200,0 -200,0 -575,8 -575,8 -575,8 225,0 225,0 225,0 0,0 0,0

Qz[N] 00 0,0 0,0 0,0 -1466,7 -1466,7 -1466,7 733,3 733,3 733,3 0,0 0,0

Q [N] 200, 0 200 200,0 200,0 1575,6 1575,6 1575,6 767,1 767,1 767,1 0,0 0,0

Mby [Nmm] Mbz [Nmm] Mb [Nmm] 0 0 0 0 -4000 4000 0 -9000 9000 -7333 -12879 14820 -51333 -30152 59534 -73333 -22497 76706 -62333 -19122 65201 -56833 -17435 59448 -3667 -1125 3835 0 0 0 0 0 0

Dynamisch Abschnitt 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

x [mm] 20 00 20,00 40,00 65,00 75,00 105,00 120,00 135,00 142,50 215,00 225,00 235,00

8. Wellendimensionierung Lehrstuhl für Maschinenelemente und Getriebetechnik / Prof. Dr.-Ing. B. Sauer

ME1 – Übung 8 / BS 12

© Ausschließlich fürr Gebrauch in Vorlesun ngen und Übungen! Fü ür alle anderen Zweckke sind die Originalquellen heranzuziehen

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3) KraftKraft & Momentenverläufe (Lastfall B – statisch & dynamisch) 1

2

3

4

5

6 7 8

9 1011

1

2

3

4

5

6 7 8

9 1011

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ME1 – Übung 8 / BS 13

© Ausschließlich fürr Gebrauch in Vorlesun ngen und Übungen! Fü ür alle anderen Zweckke sind die Originalquellen heranzuziehen

Fachbereich Maschinenbau und Verfahrenstechnik

3) KraftKraft & Momentenverläufe (Lastfall C) •

Statisch Abschnitt 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

•

x [mm] 20,00 40,00 65,00 75,00 105,00 120,00 135,00 142,50 215,00 225,00 235,00

N [N] 1200,0 1200,0 1200,0 1200,0 1200,0 252,1 252,1 252,1 252,1 0,0 0,0

Mt [Nm] 320,0 320,0 320,0 320,0 320,0 320,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

Q [N] Qy 2500,0 2500,0 2500,0 -2702,2 -2702,2 -2702,2 -372,8 -372,8 -372,8 0,0 0,0

Qz[N] Q [N] 0,0 0,0 0,0 -4266,7 - 4266,7 -4266,7 2133,3 2133,3 2133,3 0,0 0,0

Q [N] 2500,0 2500,0 2500,0 5050,4 5050,4 5050,4 2165,7 2165,7 2165,7 0,0 0 ,0

Mb [Nmm] Mby [Nmm] Mb Mbz [Nmm] [Nmm] Mb [Nmm] 0 0 0 0 50000 50000 0 112500 112500 -21333 111489 113512 -149333 30422 152401 -213333 37282 216567 -181333 31690 184082 -165333 28894 167839 -10667 1864 10828 0 0 0 0 0 0

N [N] 100,0 100,0 100,0 100,0 100,0 -77,7 77 7 -77,7 -77,7 -77,7 0,0 0,0

Mt [Nm] 60,0 60,0 60,0 60,0 60,0 60 0 60,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0

Qy [N] -100,0 -100,0 -100,0 -317,1 -317,1 -317 317 ,1 1 119,7 119,7 119,7 0,0 0,0

Qz[N] 0,0 0,0 0,0 -800,0 -800,0 -800,0 800 0 400,0 400,0 400,0 0,0 0,0

Q [N] 100,0 100,0 100,0 860,5 860,5 860 5 860, 417,5 417,5 417,5 0,0 0,0

Mby [Nmm] Mbz [Nmm] Mb [Nmm] 0 0 0 0 -2000 2000 0 -4500 4500 -4000 -6585 7705 -28000 -16098 32298 -40000 40000 -11968 11968 41752 -34000 -10173 35489 -31000 -9275 32358 -2000 -598 2088 0 0 0 0 0 0

Dynamisch Abschnitt 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

x [mm] 20,00 40,00 65,00 75,00 105,00 120 00 120,00 135,00 142,50 215,00 225,00 235,00

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ME1 – Übung 8 / BS 14

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3) KraftKraft & Momentenverläufe (Lastfall C – statisch & dynamisch) 1

2

3

4

5

6 7 8

9 1011

1

2

3

4

5

6 7 8

9 1011

8. Wellendimensionierung Lehrstuhl für Maschinenelemente und Getriebetechnik / Prof. Dr.-Ing. B. Sauer

ME1 – Übung 8 / BS 15

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Dauerfestigkeitsberechnung Früher: Kerbgrundspannungskonzept • Ermittlung von Nennspannungen an einem Querschnitt • Berücksichtigung von Kerben durch „Überhöhung“ der wirkenden Spannungen (statisch und dynamisch) ¾ Versuch, physikalisch wirksame Spannungen zu berechnen ¾ Vergleich mit Dauerfestigkeitsschaubild nach Smith

σ v, stat =

•

(α

)

2

K

(

⋅ σ stat + 3 ⋅ α K ⋅τ stat

)

2

σ v , dyn =

(β

)

2

K

(

⋅ σ dyn + 3 ⋅ β K ⋅τ dyn

)

2

Nachteil: Tatsächlich ertragbare Beanspruchungen sind größer! 8. Wellendimensionierung Lehrstuhl für Maschinenelemente und Getriebetechnik / Prof. Dr.-Ing. B. Sauer

ME1 – Übung 8 / BS 16

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Dauerfestigkeitsberechnung Heute: Nennspannungskonzept [DIN 743] • Ermittlung von Nennspannungen an einem Querschnitt • Vernachlässigung „statischer Kerben“ (Æ nur ßk's) • Berücksichtigung von Kerben durch „Anpassung“ der Werkstoffkennwerte (σADK/τADK) in Abhängigkeit von Geometrie, Größe, Technologie, Oberflächenrauheit, etc. •

Z Zusammenfassung f zu einem i Sicherheitsfaktor: Si h h it f kt

S=

1 ⎛ σ zda σ ⎜⎜ + ba ⎝ σ zdADK σ bADK

2

⎞ ⎛ τ ta ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎠ ⎝ τ tADK

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

•

Vorteile: Nennspannungen immer berechenbar; Verfahren genauer

•

Nachteil: Berechnung der Gestaltfestigkeitswerte z.T. sehr aufwendig 8. Wellendimensionierung Lehrstuhl für Maschinenelemente und Getriebetechnik / Prof. Dr.-Ing. B. Sauer

ME1 – Übung 8 / BS 17

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4) Nennspannungen – Lastfall A Abschnitt 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x [mm] 20,00 40,00 65,00 75,00 105,00 120,00 135,00 142,50 215,00

σN [MPa] 2, 9 2,0 1,7 1,4 1,2 0,2 0,1 0,1 0,2

σb [MPa] 0,0 26,1 44,1 40,5 58,3 86,1 46,1 42,0 4,3

τQ [MPa] 5, 8 4,1 3,4 5,9 5,0 5,9 2,4 2,4 3,2

τ T [MPa] 165, 0 97,8 73,5 56,6 44,5 56,6 0,0 0,0 0,0

σv,nenn [MPa] 285,9 171,8 135,4 107,1 97,8 130,9 46,4 42,3 7,2

Abschnitt 1 2 3 4 Dynamisch: 5 6 7 8 9

x [mm] 20,00 40 00 40,00 65,00 75,00 105,00 120,00 135,00 142,50 215,00

σN [MPa]

σb [MPa]

τ T [MPa]

0,2 0,2 0 2 0,1 0,1 0,1 0, 4 0,3 0,3 0,4

0,0 13 1,3 2,2 4,4 18,6 31,2 16,7 15,2 1,6

τQ [MPa] 0,3 02 0,2 0,2 2,5 2,1 2, 5 0,9 0,9 1,2

σ v,a [MPa] 114,3 67 8 67,8 51,0 39,7 36,3 50,5 17,0 15,6 2,8

• Statisch:

•

66,0 39 1 39,1 29,4 22,6 17,8 22,6 0,0 0,0 0,0

8. Wellendimensionierung Lehrstuhl für Maschinenelemente und Getriebetechnik / Prof. Dr.-Ing. B. Sauer

ME1 – Übung 8 / BS 18

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Fachbereich Maschinenbau und Verfahrenstechnik

4) Nennspannungen – Lastfall B Abschnitt 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x [mm] 20,00 40,00 65,00 75,00 105,00 120,00 135,00 142,50 215,00

σN [MPa] 2, 3 1,6 1,3 1,1 1,0 2,3 1,7 1,7 2,3

σb [MPa] 0,0 31,3 52,9 47,4 58,9 83,8 44,8 40,9 4,2

τQ [MPa] 6, 9 4,9 4,0 5,4 4,6 5,4 2,3 2,3 3,1

τ T [MPa] -154,0 -91,3 -68,6 -52,8 -41,5 -52,8 0,0 0,0 0,0

σv,nenn [MPa] 267,0 161,7 130,8 104,0 93,9 126,0 46,7 42,8 8,5