Skript - Stefan Fröhlich PDF

Preview

Summary

Stefan Fröhlich...

Description

Elementarmathematik

Im Sommersemester 2012 hat Steffen Fr¨ohlich die Vorlesung Elementarmathematik an der Universit¨at Mainz gehalten und ein Skript dazu geschrieben. F¨ ur die Vorlesung Elementarmathematik im Sommersemester 2013 hat Alan Rendall dieses Skript nach seinem Geschmack abge¨andert. Der vorliegende Text ist das Ergebnis. Die Abschnitte 2-7 basieren auf dem Text von Fr¨ohlich. Die Hauptquelle f¨ ur die Abschnitte 9 und 10 ist das Buch von Clark und Holton [1]. Die Hauptquelle f¨ ur den Abschnitt 11 ist das Buch von Feller [2].

1

Einleitung

Im Buch ’Virus Dynamics’ von M. Nowak und R. May findet man das Zitat: ... mathematics is no more, but no less, than a way of thinking clearly [3]. (... die Mathematik ist nichts mehr, aber nichts weniger, als eine Art, klar zu denken.) Wenn wir diese Art zu denken gut beherrschen, dann haben wir etwas, was uns in vielen Lebenslagen helfen kann. Ausserdem ist die Mathematik an und f¨ ur sich sch¨ on. Diese Vorlesung soll den H¨orern wichtige Aspekte der Mathematik nahebringen, die praktisch eingesetzt werden k¨onnen und hoffentlich auch etwas von der Sch¨ onheit des Fachs vermitteln.

2

Zahlen

Wer an Mathematik denkt, denkt sofort an Zahlen. Zahlen spielen in der Tat eine zentrale Rolle in der Mathematik und in dieser Vorlesung sind sie unser erstes Thema. Es gibt verschiedene Arten von Zahlen und diese m¨ochten wir Revue passieren lassen. Es gibt nat¨ urliche Zahlen, ganze Zahlen, rationale Zahlen, reelle Zahlen und komplexe Zahlen. Jetzt wird beschrieben, was diese unterschiedlichen Arten von Zahlen sind und was man damit machen kann. Die einfachsten Zahlen sind die nat¨ urlichen Zahlen {1, 2, 3, 4, . . .},

(1)

die Zahlen, die wir in der Kindheit kennenlernen. Die Menge der nat¨ urlichen Zahlen wird mit N bezeichnet. Wenn a und b nat¨ urliche Zahlen sind, dann

1

sind die Summe a + b und das Produkt ab auch nat¨ urliche Zahlen. Im Rahmen der nat¨ urlichen Zahlen k¨ onnen wir aber nicht immer subtrahieren. Z.B. gibt es 2 − 3 nicht als nat¨ urliche Zahl. Anders gesagt, gibt es keine nat¨ urliche Zahl a mit der Eigenschaft, dass 3 + a = 2. Die L¨ osung dieses Problems ist schon lange bekannt. Wir k¨onnen die Null einf¨ uhren (wie es schon die alten Inder getan haben) und die negativen Zahlen. Dann k¨onnen wir 2 − 3 = −1 schreiben. Wenn die nat¨ urlichen Zahlen durch die Null und die negativen Zahlen {−1, −2, −3, −4, . . .},

(2)

erweitert werden, dann bekommen wir die ganzen Zahlen. Die Menge der ganzen Zahlen wird mit Z bezeichnet. Im Rahmen der ganzen Zahlen ist die Subtraktion ohne Einschr¨ ankung m¨oglich. Wenn a und b ganze Zahlen sind, dann ist a − b immer sinnvoll. Durch eine Erweiterung des Zahlensystems haben wir uns mehr M¨oglichkeiten geschaffen. Addition und Multiplikation sind immer noch m¨oglich, so dass durch die Erweiterung nichts verlorengegangen ist. Einige Autoren rechnen die Null zu den nat¨ urlichen Zahlen. Diese Alternative u ¨bernehmen wir hier nicht. Wir bezeichnen die Menge der nat¨ urlichen Zahlen mit der Null dazu als N0 , d.h. N0 = N ∪ {0}. Im Rahmen der ganzen Zahlen ist die Division nur begrenzt m¨oglich. Z.B. gibt es 32 nicht als ganze Zahl. Es gibt keine ganze Zahl a mit der Eigenschaft dass 3a = 2. Diese Einschr¨ankung kann aufgehoben werden in dem wir die ganzen Zahlen durch die Br¨ uche erweitern. Die Br¨ uche, einschliesslich der ganzen Zahlen heissen rationale Zahlen. Das Wort ’rational’ hier soll nicht als ’vern¨ unftig’ interpretiert werden sondern kommt vom lateinischen ’ratio’ (Verh¨altnis). Die Menge der rationalen Zahlen wird mit Q bezeichnet. (Q steht f¨ ur Quotienten.) Die bekannten Regeln der Bruchrechnung erlauben es im Rahmen der rationalen Zahlen die vier Grundrechenarten ohne Einschr¨ ankung auszuf¨ uhren bis auf die Tatsache, dass die Division durch Null nicht definiert ist. Zusammenfassend, haben wir jetzt drei Zahlenarten N, Z, Q eingef¨ uhrt mit N ⊂ Z ⊂ Q. Es gibt noch eine weitere Klasse von Zahlen, die sehr wichtig sind, die reellen Zahlen, √ die mit R bezeichnet werden. Ausser den rationalen Zahlen enthalten sie z. B. 2 und die Kreiszahl π. Diese Zahlen sind notwendig f¨ ur die Anwendungen der Mathematik in den Naturwissenschaften und, innerhalb der Mathematik, auf die Geometrie. Sie werden gebraucht, um die diagonale des Quadrats mit Seitenl¨ange Eins oder den Umfang des Kreises mit Radius Eins auszudr¨ ucken. Diese Zahlen sind keine rationalen Zahlen (was nicht offensichtlich ist). Auf diese Dinge gehen wir sp¨ater genauer ein. Die reellen Zahlen, die keine rationalen Zahlen sind, heissen irrationale Zahlen. Selbst innerhalb der reellen Zahlen hat die Gleichung z 2 = −1 keine L¨ osung. Um dieses Problem zu umgehen f¨ uhrt man eine Gr¨osse i ein, die imagin¨are Einheit, mit der Eigenschaft i2 = −1. Es gilt auch (−i)2 = −1. Dann hat unsere Gleichung zwei L¨ osungen. Man kann eine Klasse von Zahlen definieren, die komplexen Zahlen, die auch i enth¨alt. Sie wird mit C bezeichnet. Die Zahlen der Form ai mit a reell heissen imagin¨ar und die Bezeichnung ’reelle

2

Zahlen’ entstand als Gegensatz zum Begriff ’imagin¨ are Zahlen’.

2.1

Die reellen Zahlen

Wir haben jetzt von den reellen Zahlen gesprochen, nicht aber genau gesagt, was sie sind. Ein anschauliches Bild der reellen Zahlen wird durch die Zahlengerade gegeben. Betrachten wir eine Gerade auf dem ein Punkt (der Ursprung) ausgezeichnet wird. Eine Richtung auf der Gerade wird als positiv deklariert. Z. B. wird oft eine waagerechte Gerade genommen und die positive Richtung als ’nach rechts’ gew¨ ahlt. Der Ursprung wird mit der Zahl Null identifiziert. Eine positive Zahl a wird mit dem Punkt identifiziert, der in positiver Richtung im Abstand a zum Ursprung liegt. Eine negative Zahl a wird mit dem Punkt identifiziert, der in negativer Richtung im Abstand −a zum Ursprung liegt. Auf diese Weise bekommt insbesondere jede rationale Zahl eine Darstellung auf der Zahlengerade. Wie schon angedeutet entsprechen aber nicht alle Punkte auf der Gerade rationalen Zahlen. Es ist relativ kompliziert, eine pr¨azise und vollst¨ andige Definition der reellen Zahlen zu geben und eine solche Definition kann im Rahmen dieser Vorlesung nicht gebracht werden. Ein wesentlicher Umstand ist dass die rationalen Zahlen in den reellen Zahlen dicht liegen. Das heisst, dass wenn a eine reelle Zahl ist und ǫ > 0 es eine rationale Zahl b gibt, so dass |a − b| < ǫ. Man kann eine reelle Zahl beliebig gut durch rationale Zahlen approximieren. Praktische Messungen in der realen Welt haben nur eine endliche Genauigkeit. Wenn wir die L¨ange eines Stabs messen wird das Ergebnis immer nur mit endlich vielen Dezimalstellen angegeben. Das heisst, das Ergebnis ist eine rationale Zahl. Die reellen Zahlen sind trotzdem f¨ ur die Anwendungen der Mathematik von großer Bedeutung. Die Vorteile dieses Begriffs h¨angen damit zusammen, dass wir ein intuitives Bild der Gerade in uns tragen. Eine Definition der reellen Zahlen wurde erst 1872 von Richard Dedekind aufgestellt, der damals Professor der Mathematik in seinem Geburtsort Braunschweig war. Seine Konstruktion, der ’Dedekindsche Schnitt’ wird bis heute verwendet. Jetzt soll gezeigt werden, warum die rationalen Zahlen f¨ ur die Geometrie nicht ausreichen. Die alten Griechen √ wussten, dass die Diagonale eines Quadrats der Seitenl¨ange eins die L¨ange 2 hat, und dass diese Zahl irrational ist. Der Beweis ist ein sogenannter ’indirekter Beweis’ oder Beweis durch Widerspruch. Man nimmt an, dass eine bestimmte Aussage wahr sei und leitet aus dieser Aussage durch logische Schritte einen Widerspruch. Daraus schliesst man, dass die Annahme falsch gewesen sein muss. Im Beispiel, das uns interessiert f¨ uhrt die √ Annahme, 2 sei rational zu einem Widerspruch und damit ist bewiesen, dass √ 2 irrational ist. Bevor wir den Beweis durchf¨ uhren machen wir auf folgenden Umstand aufmerksam. Wenn eine ganze Zahl a gerade ist, dann ist definitionsgem¨ass a = 2b f¨ ur eine ganze Zahl b. Dann ist a2 = 4b2 = 2(2b2 ) auch gerade. Wenn dagegen a ungerade ist, dann ist a = 2b + 1 f¨ ur eine ganze Zahl b und a2 = (2b + 1)2 = 2(2b2 + 2b) + 1 auch ungerade. Zusammenfassend, eine ganze 2 Zahl a ist gerade √ wenn und nur wenn a gerade ist. Satz Die Zahl 2 ist irrational. 3

√ Beweis Wenn√wir annehmen, dass 2 rational ist, dann gibt es nat¨ urliche Zahlen p und q mit 2 = pq . Wir k¨ onnen annehmen, dass p und q teilerfremd sind, weil wir sie sonst durch andere Zahlen ersetzten k¨ onnten die es sind. Quadrieren und mit q 2 multiplizieren gibt p2 = 2q 2 . Deshalb ist p2 gerade. Es folgt aus der obigen Diskussion, dass p gerade ist, also p = 2r f¨ ur eine ganze Zahl r. Deshalb ist 4r2 = 2q 2 und q 2 = 2r2 . Daraus folgt, dass q 2 und deshalb auch q gerade ist. Die Zahlen p und q sind also beide gerade und haben den gemeinsamen Teiler 2, was der Teilerfremdheit widerspricht. Damit ist der Beweis gef¨ uhrt. Es ist viel schwieriger zu beweisen, dass π irrational ist. Der erste Beweis stammt vom schweizer Mathematiker Johann Heinrich Lambert im Jahr 1761.

3

Der Goldene Schnitt

Der Goldene Schnitt ist ein Verh¨altnis von L¨ angen, das in der Kunst als besonders sch¨on gilt. Sie kommt auch an vielen Stellen in der Natur vor, z.B. bei der Blattstellung von Pflanzen (Phyllotaxis).

3.1

Definition des Goldenen Schnitts

Der Goldene Schnitt wird durch eine Art definiert, eine Strecke zu schneiden, liefert aber am Ende eine reine Zahl. Definition Eine Strecke der L¨ange s > 0 wird im Goldenen Schnitt s = a + b geteilt, wenn sich die ganze L¨ange s sum gr¨osseren Abschnitt a wie dieser zum kleineren Abschnitt b verh¨alt. Das heisst, es ist s a = . a b

(3)

Aus dieser Beziehung folgt, dass a s , = s−a a

 a 2 s

+

a −1=0 s

(4)

Die Formel f¨ ur die L¨osung einer quadratischen Gleichung liefert 1√ 1 a =− ± 5. 2 s 2

(5)

Eine dieser L¨osungen ist negativ und deshalb f¨ ur das urspr¨ ungliche Problem nicht relevant. Die andere ist 1 √ a = ( 5 − 1) = 0, 618 . . . . (6) 2 s Die Zahl Φ=

a s = = 1, 618 . . . b a

ist das Goldene Verh¨ altnis. 4

(7)

Es wird manchmal behauptet, dass bei bestimmten sch¨onen Geb¨auden das Verh¨altnis der Dimensionen das Goldene Verh¨ altnis ergibt (z. B. das Parthenon in Athen, der Dom von Florenz, Notre Dame in Paris). Es gibt aber anscheinend keine Dokumente die belegen w¨ urden dass beim Bau an so etwas bewusst gedacht wurde. Vielleicht war es der unbewusste Sinn des Architekten nach Sch¨ onheit. In der Natur findet man das Goldene Schnitt bei der Anordnung der Bl¨atter bestimmter Pflanzen. Der Goldene Winkel ist, in Grad ausgedr¨ uckt, 360 . Bei bestimmten Pflanzen wo die Bl¨ atter um einen Stiel herum angeordΦ   net sind ist der Winkel zwischen aufeinanderfolgen Bl¨attern 360 1 − 1Φ . Nach einer Theorie erreicht die Pflanze dadurch, dass die Bl¨atter sich m¨ oglichst wenig u ¨berdecken und sich dadurch bei der Photosynthese m¨ oglichst wenig gegenseitig behindern.

3.2

Harmonische Rechtecke

Ein Rechteck heisst harmonisch wenn die L¨angen der Seiten a, b mit a > b so a sind, dass ab = a+b . In diesem Fall gilt ab = Φ. Wenn man ein Rechteck in ein Quadrat und einen Rest zerlegt, dann ist der Rest harmonisch.

3.3

Vergleich mit der DIN-Norm f¨ ur Papierformate

Wie werden die u ¨blichen Papierformate (A0, A1, A2, A3, A4, . . .) definiert? Sie haben die Eigenschaft, dass wenn man ein Blatt in einem dieser Formate halbiert, das Ergebnis ein Blatt im n¨achsten Format der Reihe ist. Alle Formate der Reihe haben das gleiche Verh¨altnis der Breite zur L¨ange. Dieses Verh¨ altnis kann man folgendermassen berechnen. Wenn L¨ange und Breite des ersten Blat. Daraus tes a und b sind, dann ist die Bedingung die erf¨ ullt werden muss ab = 2b a √ a folgt, dass b = 2. Um zu wissen, wie groß die einzelnen Bl¨ atter sind muss man noch wissen, wie groß eins der Formate ist. Es wird festgelegt, dass das A0-Blatt die Fl¨ache ein Quadratmeter haben soll. Die L¨ange des A0-Blatts ist dann die vierte Wurzel aus zwei. Sie ist nicht rational und insbesondere keine ganze Zahl von Millimetern. In der Praxis arbeitet man mit einer gewissen Toleranz. Der Richtwert ergibt eine Fl¨ache von 999.949 Quadratmillimetern.

4 4.1

Die Fibonacci-Zahlen Definition der Fibonacci-Zahlen

Leonardo da Pisa, Fibonacci genannt, war einer der ersten, der die indo-arabischen Ziffern in Europa bekannt gemacht hat. In seinem Buch ’Liber Abbaci’ (um 1200 erschienen) hat er folgendes Beispiel beschrieben: Ein bestimmter Mann hat ein Kaninchenpaar an einem Ort gehalten der auf allen Seiten von einer Mauer umgeben war. Wie viele Kaninchenpaare k¨onnen in einem Jahr aus diesem Paar produziert werden wenn angenommen wird,

5

dass jedes Paar in jedem Monat ein weiteres Paar hervorbringt, welches ab dem zweiten Monat fruchtbar wird? Dieses Beispiel hat nat¨ urlich wenig mit Biologie und viel mit Mathematik zu tun. Die Fibonacci-Folge (die schon vor mehr als 2000 Jahren von anderen betrachtet wurde) wird folgendermassen definiert Definition Die Fibonacci-Folge {Fn } wird rekursiv durch F1 = F2 = 1,

(8)

Fn = Fn−1 + Fn−2 ,

n = 3, 4, . . .

(9)

definiert. Die ersten Elemente der Folge sind 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . . .

4.2

(10)

Goldener Schnitt und Fibonacci-Zahlen

Betrachten wir die Zahlen √ √ 1− 5 1+ 5 φ= = 1, 618 . . . . (11) = −0, 618 . . . , Φ = 2 2 Die Zahl Φ ist nichts anderes als das Goldene Verh¨altnis. Die Zahlen φ und Φ sind beide L¨osungen der Gleichung x2 − x − 1 = 0. Von diesem Ausgangspunkt k¨onnen wir verschiedene Gleichungen f¨ ur φ herleiten: 1 + φ = φ2 1 + 2φ = φ 3 , 4

1 + 2φ = 1 + φ + φ = φ + φ2 = φ(1 + φ) = φ3

2 + 3φ = φ ,

2 + 3φ = 1 + φ + 1 + 2φ = φ2 + φ3 = φ2 (1 + φ) = φ4

3 + 5φ = φ 5 ,

3 + 5φ = 1 + 2φ + 2 + 3φ = φ3 + φ4 = φ3 (1 + φ) = φ5

6

5 + 8φ = φ ,

5 + 8φ = 2 + 3φ + 3 + 5φ = φ4 + φ5 = φ4 (1 + φ) = φ6

Diese Rechnung k¨onnten wir beliebig lange weiterf¨ uhren. Die gleichen Identit¨aten gelten f¨ ur Φ, da Φ die gleiche Ausgangsleichung erf¨ ullt wie φ. Hier baut sich ein Muster auf, wo die Fibonacci-Zahlen zum Vorschein kommen. Wenn wir die Gleichungen dieser Folge f¨ ur φ von den entsprechenden Gleichungen f¨ ur Φ subtrahieren dann ergeben sich die Gleichungen Φ3 − φ 3 Φ4 − φ 4 Φ5 − φ 5 Φ2 − φ 2 = 1, = 2, = 3, = 5, usw. (12) Φ−φ Φ−φ Φ−φ Φ−φ √ In diesen Formeln k¨ onnen wir den Nenner durch 5 ersetzen. Durch diese ¨ Uberlegungen kommt man auf folgende Aussage, die von de Moivre und Binet bewiesen wurde. (Die soeben gemachten Rechnungen beweisen den Satz nicht.) Satz Zwischen den Fibonacci-Zahlen Fn und den Goldenen Zahlen φ und Φ besteht der Zusammenhang 1 Fn = √ (Φn − φn ), 5 6

n = 1, 2, 3, . . .

(13)

Da |φ| < 1 folgt aus diesem Satz, dass f¨ ur n groß Fn ungef¨ahr gleich

4.3

1 √ Φn 5

ist.

Binomischer Lehrsatz und Pascalsches Dreieck

Die Fakult¨at wird durch n! = 1 · 2 · 3 · . . . · n definiert. Die Binomialkoeffizienten werden durch       n n n! n , = 1, =1 (14) = 0 n k k!(n − k)!

definiert. In diesem Zusammenhang ist es auch g¨ unstig 0! = 1 zu definieren. Satz (Binomischer Lehrsatz) n   X n n−k k (a + b)n = a b . (15) k k=0 Dieser Satz wird normalerweise durch vollst¨ andige Induktion bewiesen. Dieser Beweismethode wenden wir uns im n¨achsten Abschnitt zu. Im Fall n = 1 reduziert sich der Satz auf die uninteressante Gleichung a + b = a + b. Dagegen sind die F¨alle n = 2 und n = 3 schon f¨ ur algebraische Rechnungen sehr n¨ utzlich. Sie lauten (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ,

(16)

(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 .

(17)

Wenn wir (a + b)n f¨ ur gr¨ossere Werte von n auf diese Weise ermitteln wollten, dann k¨onnten die Rechnungen langwierig werden. Sie lassen sich einfacher sukzessiv durch die Verwendung der Identit¨ at       n+1 n n = + (18) k k−1 k berechnen. Diese Identit¨at bekommt eine geometrische Interpretation durch das Pascalsche Dreieck. [In der Vorlesung wird das Dreieck angeschrieben.]

4.4

Pascal und Fibonacci

Wenn man im Pascalschen Dreieck geeignete diagonale Summen bildet dann kommen wieder die Fibonacci-Zahlen zum Vorschein. [In der Vorlesung wird dieser Umstand genauer beschrieben.]

4.5

Das Pascalsche Dreieck und Restklassen nach Division

Definition F¨ ur zwei ganze Zahlen a, b ∈ Z und eine positive nat¨ urliche Zahl m ∈ N schreiben wir a ≡ b mod m

bzw. a − b ≡ 0 mod m

(19)

genau dann, wenn a und b nach Division durch m den gleichen ganzzahligen Rest lassen. Es sind also z. B. 1 ≡ 5 mod 2 und 5 ≡ 14 mod 3. Die Division 7

durch zwei teilt die nat¨ urlichen Zahlen N offenbar in zwei disjunkte Restklassen ein. Es sind die Restklasse aller ungeraden Zahlen (die Division durch zwei l¨asst den Rest 1) und die Restklasse aller geraden Zahlen (die Division durch zwei l¨asst den Rest 0). Wir schreiben ¯0 = {2, 4, 6, 8, 10 . . .}, ¯1 = {1, 3, 5, 7, 9 . . .}. Analog zerlegt die Division durch 5 die Menge N in f¨ unf einander disjunkte Restklassen, deren Elemente durch den gemeinsamen Rest 0, 1, 2, 3 oder 4 charakterisiert sind: ¯0 = {5, 10, 15, 20, 25 . . .}, ¯1 = {1, 6, 11, 16, 21 . . .}, ¯2 = {2, 7, 12, 17, 22 . . .},

¯3 = {3, 8, 13, 18, 23, . . .}, ¯4 = {4, 9, 14, 19, 24 . . .}.

(20)

Wir wollen die Elemente einer solchen Restklasse als ¨aquivalent ansehen, gekennzeichnet durch das Symbol ∼, schreiben also z. B. 5 ∼ 10,

5 ∼ 15

, 10 ∼ 15

usw.

(21)

f¨ ur die Restklasse ¯0 bei Division durch 5. F¨ ur dieses Beispiel schreibt man allgemeiner a ∼ b genau dann, wenn a − b ≡ 0 mod 5. (22)

Die hierdurch eingef¨ uhrte Relation zwischen zwei Elementen a und b besitzt in¨ teressante Eigenschaften, die sie als sogenannte Aquivalenzrelation auszeichnen. ¨ ist durch folgende Eigenschaften charakDefinition Eine Aquivalenzrelation terisiert. Sie ist reflexiv: es gilt stets x ∼ x symmetrisch: wenn x ∼ y dann gilt auch y ∼ x transitiv: wenn x ∼ y und y ∼ z dann gilt auch x ∼ z

¨ hat in der Mathematik viele Anwendungen. Der Begriff der Aquivalenzrelation Diese Definition kann im Rahmen der Mengenlehre pr¨azisiert werden. Wir fangen mit einer Menge X an. Die Produktmenge X × X ist die Menge aller Paare (a, b) mit a, b ∈ X. Eine Relation auf X wird durch eine Teilmenge R ¨ wenn folgende drei von X × X definiert. Die Relation heisst Aquivalenzrelation Eigenschaften gelten, die den schon oben genannten Eigenschaften entsprechen. F¨ ur jedes Element a ∈ X ist (a, a) ∈ R. Wenn (a, b) ∈ R, dann auch (b, a). Wenn (a, b) ∈ R und (b, c) ∈ R dann ist (a, c) ∈ R. Die Beziehung zwischen den zwei Schreibweisen ist, dass (a, b) ∈ R der Aussage a ∼ b entspricht. Es werden jetzt verschiedene Rechenregeln fuer Restklassen ohne Beweis angegeben. 8

Aus a ≡ b mod m und c ∈ Z folgt a + c ≡ b + c mod m Aus a ≡ b mod m und c ≡ d mod m folgt a + c ≡ b + d mod m Aus a ≡ b mod m und c ∈ Z folgt ac ≡ bc mod m Aus a ≡ b mod m und c ≡ d mod m folgt ac ≡ bd mod m Aus a ≡ b mod m und n ∈ N folgt an ≡ b√n mod m Denken wir an den Beweis zur¨ uck, dass 2 irrational ist. Die einzige wichtige Eigenschaft der Zahl 2 die wir dabei verwendet haben ist, dass eine Zahl n gerade ist wenn und nur wenn n2 gerade ist. Dies ist die Aussage dass n ≡ 0 mod 2 genau dann, wenn n ≡ 0 mod 2. In dem Fall, dass f¨ ur eine andere Zahl k gilt, dass n ≡ 0 mod k wenn und nur wenn n2 ≡ 0 mod k, dann kann man a¨hnlich argumentieren wie im Fall k = 2. Dass die zw...