Tarea NO 1 MATH 014 Números Reales Unidad 1. Completo PDF

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unidad 1 - tarea 1 Números Reales...

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Matemática básica (José Ventura García)

Nombre: Luz María Díaz Aquino

Sección: Ing. Jose B. Ventura Garcia

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Tarea No.1

Números Reales

1)Defina los siguientes conceptos:

a) Origen de los números reales. Los egipcios dieron origen por primera vez a las fracciones comunes alrededor del año 1000 antes de la era cristiana. Posteriormente, en el año 500 antes de Cristo, un grupo de matemáticos liderados por Pitágoras utilizaron los números irracionales. Los números negativos fueron ideados por matemáticos indios cerca del 600 después de Cristo, posiblemente reinventados en China poco después, pero no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII. Sin embargo, a finales del XVIII Leonhard Euler descartó las soluciones negativas de las ecuaciones porque las consideraba irreales.

En ese siglo, en el cálculo se utilizaban números reales sin una definición precisa, cosa que finalmente sucedió con la definición rigurosa hecha por Georg Cantor en 1871. En realidad, el estudio riguroso de los números reales exige tener amplios antecedentes de teoría de conjuntos y lógica matemática. Ing. Jose B. Ventura Garcia

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Fue lograda la construcción y sistematización de los números reales en el siglo XIX por dos grandes matemáticos europeos utilizando dos vías distintas: a) la teoría de conjuntos de Georg Cantor, y b) el análisis matemático de Richard Dedekind. Ambos matemáticos lograron la sistematización de los números reales en la historia, no de manera espontánea, sino utilizando todos los avances previos en la Materia desde la antigua Grecia y pasando por matemáticos Como Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy y Weierstrass.

b) Importancia de los números reales.

• Nos sirve para poder llevar a cabo de todas las operaciones matemáticas. • Para poder resolver una situación o problema. • Muy importantes en nuestra vida diaria, ya que los usamos continuamente y de manera inconsciente. • Podemos designar la cantidad de elementos que tienen un conjunto. • Enumerar objetos, personas. • En cálculos, en cuentas de la casa, en el banco, el presupuesto, compras, ventas, etc.

Ing. Jose B. Ventura Garcia

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c) Conjunto. El término conjunto no está definido en matemáticas, sin embargo, existe la idea de conjunto como la colección de objetos con características comunes. Por ejemplo, una colección de libros. Los conjuntos se representan por letras mayúsculas y sus elementos con letras minúsculas o números, colocados dentro de llaves o corchetes. A = [a, b, c, 1, 2, 3]. Se lee: El conjunto A está formado por los elementos: a, b, c, 1, 2 y 3.

d) Clasificación general del sistema numérico. Números

Reales

Racionales

Positivos

Complejos

Imaginarios

Irracionales

Negativos

Cero

Ing. Jose B. Ventura Garcia

Naturales

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e) Números reales. El conjunto de los números reales, simbolizado por R, es el conjunto formado por la unión de los números racionales y los números irracionales, es decir: R = [Q U Q’]

Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en la recta real y pueden clasificarse en números naturales, enteros, racionales e irracionales. En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre menos infinito y más infinito y podemos representarlo en la recta real. Los números reales son todos los números que encontramos más frecuentemente dado que los números complejos no se encuentran de manera accidental, sino que tienen que buscarse expresamente.

f) Números racionales. El conjunto de los números racionales, simbolizados por Q, es el conjunto formado por aquellos elementos que se puede expresar como el cociente de dos enteros, siempre que el denominador sea diferente de cero. Ejemplos: 2, -10, 2/3, 4/5 pertenecen al conjunto Q También se puede decir, que el conjunto de los números racionales, simbolizado por Q, es el conjunto formado por aquellos elementos que se pueden expresar como decimales periódicos. Ejemplo: 1.22222, 3.333333, 45.232323 pertenecen al conjunto Q. Ing. Jose B. Ventura Garcia

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g) Números irracionales. El conjunto de los números irracionales, simbolizado por Q’, es el formado por aquellos elementos que no se pueden expresar como decimales periódicos, ni tampoco como el cociente de dos números enteros. Ejemplos. 4.1245, 3.1416, √2, pertenecen a Q^'

En otras palabras, los números irracionales son números reales que no somos capaces de expresarlos en forma de fracción porque desconocemos tanto el numerador como el denominador. El nombre de racionales es la traducción del inglés, rationals, que hace referencia a ratio, es decir fracción. Entonces, sabiendo que los números racionales se asocian a una ratio, será más fácil recordarlos. Irracional = Irrational = Irratio = No Ratio = No Fracción => No podemos expresarlos como fracción de dos números enteros.

h) Números enteros. Se simbolizan con la letra Z, y es el conjunto formado por los números enteros positivos, enteros negativos y el cero. Z = [……-3, - 2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5…..]

Los números enteros son cualquier número que corresponda al conjunto de los números naturales más sus opuestos incluyendo el número cero (0). En otras palabras, los números enteros son los números que empleamos para contar, incluyendo el cero (0), más todos los números opuestos.

Ing. Jose B. Ventura Garcia

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Una vez introducidos los números naturales, el conjunto entero es el primer conjunto de números que incorpora números negativos.

i) Números naturales. Se simbolizan por la letra N, y es el conjunto formado por los enteros positivos, sin incluir el cero. N = [1, 2, 3, 4, 5, 6…]

Los números naturales son un conjunto de números discreto que pertenece a la recta real y puede o no incluir el número cero (0). En otras palabras, los números naturales son el primer conjunto de números que aprendemos cuando somos pequeños y utilizamos para contar.

j) Números imaginarios.

Números imaginarios Son números complejos cuya parte real es igual a cero. Un número imaginario puede describirse como el producto de un número real por la unidad imaginaria i, donde la letra i denota la raíz cuadrada de -1. Al número imaginario i se le denomina también constante imaginaria.

La raíz cuadrada de -1 es conocida como la unidad imaginaria.

i= √−1 Ing. Jose B. Ventura Garcia

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k) Números complejos. Un número complejo es un número que está compuesto por dos partes: una parte real y otra parte imaginaria. En esta parte real, forzosamente se encuentran los números reales ya antes mencionados En la parte imaginaria se encuentra un elemento no conocido, el cual es una incógnita y generalmente se representa con el símbolo i. Ejemplo: 5i – 7 Número complejo: 5i – 7 Número real: – 7 Número imaginario: 5i

l) Enumere las propiedades de los números reales.

1) El conjunto de los números reales es infinito. 2) No existe un primer número real, ni un último número real. 3) El conjunto de los números reales es ordenado.

Ing. Jose B. Ventura Garcia

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4) El conjunto de los números reales se puede representar en la recta numérica. -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5) El conjunto de los números reales posee propiedades algebraicas definidas con los Criterios de entorno y vecindad. 6) El conjunto de los números reales posee la propiedad de densidad. 7) El conjunto de los números reales posee la propiedad de Arquímedes. 8) El conjunto de los números reales posee propiedades topológicas definidas con los con los criterios de entorno y vecindad.

m)Enumere las propiedades algebraicas de los números reales en la suma y en cada propiedad realice dos ejemplos. En la suma o adición: a) Clausura o cerradura Ej.

1- (5) + (3) = 8 2- (-7) + (2) = -5

b) Conmutativa. Ej.

1- 30 + 25 = 25 + 30= 55 2- 2 + 3 = 3 + 2 = 5

c) Asociativa. Ej.

1- (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) 5+5=2+8 10 = 10 2- (8 + 5) + 4 = 8 + (5 + 4)

Ing. Jose B. Ventura Garcia

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13 + 4 = 8 + 9 17 = 17

d) Elemento neutro. Ej.

1- 7 + 0 = 7 2- 0 + 15 = 15

e) Inverso aditivo u opuesto. Ej.

1- 3 + (-3) = 0 2- 8 + (-8) = 0

n) Enumere las propiedades algebraicas de los números reales en la multiplicación y en cada propiedad realice dos ejemplos. En la multiplicación o producto:

a) Clausura o cerradura. Ej.

1- (12) * (5) = 60 clausura 2- 3 x 2 = 6 ∈ R cerradura

b) Conmutativa. Ej. 1- 3 x 5 = 5 x 3

15 = 15 2- 36 x 4 = 4 x 36

144 = 144 Ing. Jose B. Ventura Garcia

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c) Asociativa. Ej.

1- (3 x 2) x 4 =

3 x (2 x 4)

6 x 4

=

3 x 8

24

=

24

2- (12 x 7) x 6

=

12 x (7 x 6)

84 x 6

=

12 x 42

504

=

504

d) Elemento neutro. Ej.

1-

25 x 1 = 25

2- 154 x 1 = 154 e) Elemento absorbente. Ej.

1-

23 x 0 = 0

2- 67 x 0 = 0 f) Inverso multiplicativo o reciproco. Ej.

1-

3 5 15 =1 • = 5 3 15

2- -

4 8 32 • = =1 8 4 32

g) Distributiva de la multiplicación con respecto a la suma. Ej.

1- 3 x (2 + 5) = 3(2) + 3(5) 3 x (7)

=

6 + 15

21

=

21

2- 8 x (12 + 17 + 10) = 8(12) + 8(17) + 8(10) Ing. Jose B. Ventura Garcia

12

8

x

(39)

312

=

96 + 136 + 80

=

312

o) Valor absoluto de un número real. El valor absoluto de un número real a, simbolizado por ‫׀‬a‫׀‬, viene definido por:

Valor absoluto de a =

así a es mayor que cero 0 si a es igual a cero -así a es menor que cero

El valor absoluto o módulo de un número real cualquiera es el mismo número pero con signo positivo. En otras palabras, es el valor numérico sin tener en cuenta su signo, ya sea positivo o negativo. Por ejemplo, el valor absoluto del número −6 se representa como |−6| y equivale a 6, y el valor absoluto de 6 se representa como |6|, lo cual también equivale a 6.

p) Distancia entre dos puntos de la recta real. La distancia entre dos puntos en la recta real, simbolizada por d, es el segmento que viene definido por:

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d = x2 – x1

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Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas. Ahora, si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

11) Realice las siguientes operaciones: a) 2/3 – 10/3 + 12/3 - 4/3 = 0

b) 10/7 -20/7 + 4/7 – 10/7 -16/7 = -32/7

c) a/b + 2a /b -10a/b –a/b -8a/b = -16a/

d) 2/3 -5/2 +10/4 = (16- 60 + 60 ) / 24 = 16/24

e) a/b -2a /3b + 4a /2b = (6a – 4a + 12 a) / 6b = 14a /6b

f) (2/3) (5/4) (2/10) ( 2/12) = 1/36

g) (3) (1/2) (1/4) (3/8) = 9/64

h) (a/b) (b/a) (2a /2b) ( a/b) = a2/b2 Ing. Jose B. Ventura Garcia

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i) 4/3 / 5/3 = 20/9

ii) 4 / (1/4) = 16

iii) (5/3) / 12) = 5/36

a) (-10) 3 = -1000

b) (-2/3) 2 = 4/9

c) (5a /3b) 3 = 125 a 3 / 27 b 3

a)

√

b)

81 9 = 27 3 ¿ √3 ¿

c) 2

d) 10

125 5 = 16 4

√ 2−5√ 2+ 10 √2 -7 √ 2 = 0

√ 2−25√ 2+ 10 √2

Ing. Jose B. Ventura Garcia

-25

√2 =

−30 √ 2

15

e) 2

√ ab−5 √ ab +10 √ ab - 7 √ ab = 0

2 2 f) (2

5√ ¿ -100 ¿ 2 10 √ ¿ √ ¿¿¿

√8 = 0

2 3 g) (2

5√ ¿ -100 ¿ 6 10 √ ¿ √ ¿¿¿

√ 36 = 0

2 12 √ ¿ h) (2 √ 2+ 5 √2 ¿ ¿

= 24

√ 4 +60 √ 4 = 24(2) + 60(2) = 48 + 120 = 168

a √¿ 16 i) (2 √ a+4√ a ¿¿

= 32

√ a 2 +64 √ a 2 = 32(a) + 64(a) = 32a + 64a = 96a

j) (2 k) 10

3 2 √¿ √ 3+4 √3 ¿¿

-8

√3 =

4 √ 9−16 √ 9+8 √ 9−32 √ 9=4 ( 3 ) −16 ( 3 )=−36

√ 5 / 6 √2

¿ 10 √ 5 /6 √2∗( 6 √ 26 √ 2 ) =60 √10 / 36 √4=60 √ 10 / 72

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l) (10

√ 5 + 6 √ 2 ) / (5 √ 5 - 3 √ 2 ) * [5 √ 5 + 3 √ 2 ) / (5 √ 5 + 3

√2 ) ]

¿ ( 50 √25 + 30 √10 ) +30 √ 10 + 18 √ 4 / [ 25 √ 25 + 15 √ 10−15 √ 10− 9 √ 4 ) =50 (5 )+60 √ 10 + 18 ( 2 ) /25 ( 5 )−9 (

a) -11 = 11

b) 0 = 0

c) Determine la distancia entre los puntos -10 y 60 sobre la recta real D = 60 – (-10) = 60 + 10 = 70.

d) Determine la distancia entre los puntos -100 y – 90 sobre la recta real D = -90 – (-100) = -90 + 100 = 10

e) Determine la distancia del punto -10/3 al punto – 2/3 D = -10/3 – (-2/3) = -10/3 + 2/3 = -8/3= -2

Gracias.

Ing. Jose B. Ventura Garcia

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