TD 6 - Corrigé - Mathématiques 1 PDF

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Mathématiques 1 ...

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L1 S1 – Mathématiques 1 - Correction du TD 6 : Optimisation à deux variables sous contrainte affine Rappels de cours : Méthode pour trouver le maximum ou le minimum d’une fonction f ( x, y) de classe C² sous la contrainte g ( x, y)  0 où g est une fonction affine : •

On calcule le lagrangien L  x, y,    f  x, y    g  x , y 

•

On résout l’équation grad ( x , y ,  ) L  0 (points critiques du lagrangien)

•

Si x 0 ; y 0 ; 0  est une solution de cette équation et que f est convexe, alors  x0 ; y0  est un minimum de f sous la contrainte g ( x, y)  0

•

Si x 0 ; y 0 ; 0  est une solution de cette équation et que f est concave, alors

 x0 ; y0  est un minimum de f

sous la contrainte g ( x, y)  0 Exercice 1 : Optimiser la fonction f ( x, y)  5x2  6 y2  x y sous la contrainte x  2 y  24 •

On calcule le lagrangien : L  x, y,    f  x, y    g  x , y 

x 2 y  24  x  2 y  24  0 donc g( x, y)  x  2 y  24 L( x, y, )  5 x 2  6 y 2  x y    x  2 y  24  •

Points critiques du Lagrangien :

   L (x , y )  10x  y   ; L (x , y )  12y  x  2  ; L (x , y )  x  2y  24 x y 

10 x  y    0  grad ( x , y ,  ) L  0    x  12 y  2  0  x  2 y  24  0  Dans L3 : x  2 y  24 Dans L1 :   10 x  y  10(2 y  24)  y  21 y  240 Dans L2, on obtient alors :

 ( 2 y  24)  12 y  2( 21y  24)  0 2 y  24  12 y  42 y  48  0 56 y  504 y 9 On a donc : x  2 9  24  6 et   60  9  51 Le lagrangien n’a qu’un seul point critique : 6;9;51  . •

Convexité (ou concavité) de f :

Pour étudier la convexité de f ; on est amené à calculer la matrice Hessienne de f en tout point ( x, y) 

:

  f (x , y )  10x  y ; f (x , y )  12y  x x y 2  2 f  f   2  x y x  10 1  H x , y  f   2   ; on applique alors les critères de convexités (revus dans le TD précédent) :  f  2 f    1 12   2   xy y  Pour tout  x, y   , on a : r t  s² 120 1 119  0 et r  10  0 donc f est convexe sur . Conclusion : le point critique 6,9  est un minimum global pour f. L1S1 – Mathématiques 1 - Corrigé du TD 6 : Optimisation à 2 variables sous contrainte

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Exercice 2 : Un consommateur possède un budget de 58 euros pour l'achat de deux biens A et B. Les prix de A et B sont respectivement de 2 et 3 euros. On note x et y les quantités respectives des biens A et B acquises. La fonction d'utilité du consommateur est donnée par : U ( x, y)   x 2 

3 2 y  18 x  15 y 2

En supposant que le consommateur dépense la totalité de son budget, combien d'unités des biens A et B le consommateur doit-il acheter pour maximiser son utilité ? • Compréhension du problème : La contrainte de dépense du consommateur est 2 x  3 y  58 ; autrement dit 2 x  3 y  58  0 . On doit donc maximiser la fonction U (x , y )   x 2  •

3 2 y  18x  15y sous la contrainte g ( x, y)  0 ; g( x, y)  2 x  3 y 58 . 2

On calcule le lagrangien :

L  x, y,    U  x, y    g  x, y    x 2  •

3 2 y  18x  15y    2x  3y  58 2

Points critiques du Lagrangien :

   L (x , y )  2x 18  2  ; L (x , y )  3y  15  3  ; L (x , y )   2x  3y  58 x y 

 2x  18  2  0  2  x  9    0   grad ( x , y ,  ) L  0  3 y  15  3  0 3   y  5    0  2x  3y  58  0  2 x  3 y  58  0   L1 donne x  9   et L2 donne : y  5   Donc, L3 : 2(9  ) 3(5  ) 58  0 ; 5  25  0 et donc    5. Alors : x  9  5  14 et y  5  5  10 Le lagrangien n’a qu’un seul point critique : 14;10;  5  . •

Convexité (ou concavité) de U :

Pour étudier la convexité de U ; on est amené à calculer la matrice Hessienne de U en tout point ( x, y) 

:

  U ( x, y )  2 x 18 ; U (x , y )  3y  15 x y  2 f  x2  H x , y U   2  f   xy

2 f   yx   2 0    ; on applique alors les critères de convexités (revus dans le TD précédent) : 2  f   0 3  y 2  Pour tout  x, y  , on a : r t  s²  6  0 et r  2  0 donc U est concave sur . Conclusion : le point critique 14,10  est un maximum global pour U. Le consommateur doit donc acheter 14 biens de type A et 10 biens de type B pour maximiser son utilité.

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Exercice 3 : Une firme produit des appareils électroménagers dans deux usines différentes. Les coûts totaux de production (en milliers d'euros) dans chaque usine sont respectivement :

f1 (x ) 

3 2 1 2 x  6x  200 et f 2 ( y )  y  10 y  150 100 50

où x et y représentent le nombre d'appareils produits dans chaque usine. La firme s'est engagée à livrer 100 appareils à un distributeur. Les frais de transport par appareil sont respectivement de 4 euros depuis la première usine et 2 euros depuis la seconde usine. Ces frais sont supportés par la firme productive. Calculer le nombre d'appareils devant être produit dans chaque usine pour assurer un coût minimal de revient à l'entreprise. • Compréhension du problème : Le coût global de production est : C  x, y   f1 x   f 2  y  Les frais de transport s'élèvent à : T  x, y   4 x  2 y La fonction f donnant les frais totaux supportés par l'entreprise est alors définie par :

f (x , y )  C (x ,y )  T (x ,y ) 

3 2 1 2 x  y  10x  12y  350. 100 50

La contrainte de livraison au distributeur est x + y - 100 = 0. On doit donc minimiser la fonction f sous la contrainte g ( x, y)  0 avec g ( x, y)  x  y 100 •

On calcule le lagrangien : L(x, y, )  f ( x, y)  ( x  y 100).

•

Points critiques du Lagrangien :

3 1 L L L ( x, y, )  x  10  , ( x, y, )  y  12   et ( x, y, )  ( x  y  100). 50 25 x y  3x  50  10    0   y grad ( x , y , ) L  0    12    0 .  25  x  y  100   50 Dans L1, on obtient : x  (  10) et dans L2 : y 25( 12) 3 50 500 125 1700 68  25  300  100 ;  et donc   . Donc L3 donne :  3 3 3 3 5 50  68  68   12   40    10   60 et y  25  On trouve alors : x  3  5  5   Le lagrangien n’a qu’un seul point critique : 60; 40 ; 68 / 5  . •

Convexité (ou concavité) de f ( x, y ) 

3 2 1 2 x  y  10x  12 y  350. 100 50

Pour étudier la convexité de f ; on est amené à calculer la matrice Hessienne de f en tout point ( x, y) 

 f  f   3  0   2      x y x 3 1      50 . f ( x, y )  x 10 ; f ( x, y )  y 12 ; H x , y  f   2 2  f 1  50 25 x y  f   0    2  25   xy y   Pour tout  x, y  , on a : r t  s²  3 /1250  0 et r  3 / 50  0 donc f est convexe sur 2

:

2

.

Conclusion : le point critique 60, 40  est un minimum global pour f. L'entreprise doit donc produire 60 biens dans sa première usine et 40 dans la 2e pour s'assurer des frais minimaux. L1S1 – Mathématiques 1 - Corrigé du TD 6 : Optimisation à 2 variables sous contrainte

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Exercice supplémentaire : Une entreprise fabrique deux modèles de vélos : le modèle X se vend 500€ l’unité, tandis que le modèle Y se vend 1000€ l’unité. Les coûts totaux de fabrication, en euros, sont exprimés par la fonction C (x , y )  5x 2  5y 2  2,5xy  10000 où x est le nombre de vélos du modèle X et y est le nombre de vélos du modèle Y produits mensuellement. On suppose que chaque vélo produit est vendu. La capacité de production de l’entreprise est de 150 vélos par mois. En supposant que l’entreprise désire utiliser à pleine capacité son usine, trouver la répartition de la production mensuelle permettant de maximiser les profits et donner la valeur du profit mensuel maximal. Correction : Le problème est de maximiser le profit mensuel P( x, y) sous la contrainte de production de 150 vélos par mois. Le profit est la différence entre la recette et le cout de production donc :

P( x, y)  500 x 1000 y  C( x, y)



 500x  1000 y  5x 2  5y 2  2,5xy  10 000



  5 x2  5 y2  2,5 xy  500 x  1000 y  10 000 La contrainte de production s’écrit x  y  150 On doit donc maximiser la fonction P sous la contrainte g ( x, y)  0 avec g( x, y)  x  y 150 •

On calcule le lagrangien : L(x, y, )  P(x, y)  ( x  y 150).

•

Points critiques du Lagrangien :

L L L ( x, y, )  10 x  2,5 y  500  , ( x, y, )  10 y  2,5 x  1000   et ( x, y, )   ( x  y  150). x y 

 10 x  2,5 y  500    0  grad ( x , y , )L  0  10 y  2,5x  1000    0 .  x  y  150  L2 :   1000  10(150  x)  2,5 x  12,5 x 500 Dans L3 : y  150  x et dans Puis L1 : 500 10 x 2,5(150  x) (12,5 x 500)  0 donc 25 x 1375  0 1375  55 ; y  150  55  95 et   12,5  55  500  187,5 25 Le lagrangien n’a qu’un seul point critique : 55; 95 ; 187,5 . On trouve x 

•

Convexité (ou concavité) de P( x, y)  5 x2 5 y2 2,5 xy 500 x 1000 y 10000

Pour étudier la convexité de P ; on est amené à calculer la matrice Hessienne de P en tout point ( x, y) 

:

  2P  2P   2  x  y x   10 2,5     .  P (x , y )  10x  2,5 y  500 ; P (x , y )  10y  2, 5 x 1000 ; H x , y  P  2   P  2 P   2,5  10  x y  2   x y y  , on a : r t  s² 100 2,5²  93,75  0 et r  10  0 donc P est concave sur . Pour tout  x, y  Conclusion : le point critique 55,95  est un maximum global pour P. L'entreprise doit donc produire et vendre 55 vélos X et 95 vélos Y pour maximiser son profit.

L1S1 – Mathématiques 1 - Corrigé du TD 6 : Optimisation à 2 variables sous contrainte

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