TD n°2 : Polynômes et fractions rationnelles PDF

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TD Fiche 2 : Polynômes et fractions rationnelles...

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Université Savoie-Mont Blanc

Math201 - 2017-2018

TD Fiche 2 : Polynômes et fractions rationnelles Exercice 1 Questions de cours 1. Donner la définition du PGCD de deux polynômes. 2. Énoncer le théorème de Bézout 3. Donner la forme de la décomposition en produit de polynômes irréductibles d’un polynôme P de R[X] 4. Soit P un polynôme de C[X] de degré n > 1 . Que peut-on dire du nombre de racines de P ? 5. Donner la définition d’un pôle d’une fraction rationnelle.

Exercice 2 1. Effectuer la division euclidienne de P = 4X 3 − 8X 2 − 11X + 11 par Q = 2X − 5. En déduire une autre écriture de P . 2. Soit P = i X 2 + (1 − i )X − 2 + 2 i . (a) Calculer P (2 i ). (b) En déduire une factorisation de P .

Exercice 3 Soit α ∈ R \ πZ. 1. Soit Q = X 2 − 2X cos α + 1. Factoriser Q sur C. En déduire que Q peut s’écrire sous la forme Q = (X − e i θ )(X − e− i θ ) où vous préciserez θ . 2. Éffectuer la division euclidienne de P = X 3 sin α−X sin(3α)+sin(2α) par Q = X 2 − 2X cos α + 1. Montrer que le reste de cette division est nul. 3. En déduire les racines de P sur C.

Exercice 4 1. Soit α un réel, on note a = e i α. Soit Q = (X − a)(X − a ¯). Développer Q et l’exprimer en fonction de X et de α 2. Soit P = X 5 + 1. (a) Factoriser P dans C. (b) Déduire du 1. et du 2.(a) une factorisation de P dans R avec trois facteurs.

Exercice 5 (Décomposition en éléments simples) 1. Décomposer en produit de polynômes irréductibles dans R[X] les polynômes suivants : (a) X 4 − 4

(c) X 6 − X 2

(b) X 3 − 4X 2 + 5X − 2

(d) X 3 + 1

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2. Décomposer en éléments simples les fractions rationnelles réelles suivantes : 2X 3 − X 2 + X − 1 (X − 1)3 X4 + 4 1 B= C= D= 4 . 3 4 2 2 X(X − 1) X +X X −4 X −4 3. Donner la forme de la décomposition en éléments simples sur R des fractions rationnelles suivantes (les valeurs des coefficients ne sont pas demandées) : A=

A=

1

B=

X 3 − 4X 2 + 5X − 2 C=

1 X(X 3 + 1)

11X 2 + 66X + 3 (X 2 + 2X + 3)(X 2 − 2X − 15) X . D= 4 X −4

4. Décomposer en éléments simples sur R avec X 4 + 6X 2 − 2X + 5 (X 2 + 4)(X − 1)

Exercice 6 Polynôme à coefficients symétriques On considère le polynôme P = X 4 − 3X 3 + 4X 2 − 3X + 1. 1. Justifier que 0 n’est pas racine de P . 2. Écrire P sous la forme P = X 2 Q où Q est une fraction rationnelle. 1 et factoriser Q(Y ). 3. Dans Q, poser alors Y = X + X 4. En déduire la factorisation de P

Exercice 7 (Corrigé sur Moodle) 4X 2 − 3X + 5 . X 3 − 3X + 2 2. Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de A = X 8 + X 6 + 3X 4 − 1 par B = X 6 − X 2. 4X 4 + X 2 − 1 et en déduire Puis décomposer en éléments simples la fraction rationnelle réelle X6 − X2 X 8 + X 6 + 3X 4 − 1 . la décomposition de X6 − X2 1. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle réelle

Exercice 8 1. On considère les polynomes A = X 5 + 1 et B = X 2 + 1 (a) À l’aide de l’algorithme d’Euclide, déterminer D = PGCD (A, B). (b) Trouver deux polynomes U et V tels que D = AU + BV . 1 3 1 2. Même question avec A = X 2 + X + et B = 4X + 1 (corrigé sur Moodle). 3 5 2

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Pour réviser ou approfondir Exercice 9 Décomposer en éléments simples sur C : X 4 + 6X 2 − 2X + 5 (X 2 + 4)(X − 1) Retouver alors le résultat de l’exercice 5, question 4 Exercice 10 (Division suivant les puissances croissantes) 2 . Soit F la fraction rationnelle définie par F = 2 (X + 1)(X − 1)4 Effectuer le changement d’indeterminée Y = X −1, puis la division suivant les puissances croissantes du numérateur par 2 + 2Y + Y 2 à l’ordre 4 et en déduire la décomposition en éléments simples de F sur R. Exercice 11 Soient θ un réel, n ≥ 2 un entier et P = (X sin θ + cos θ)n . On souhaite déterminer le reste de la division euclidienne de P par Q = X 2 + 1. 1. On appelle B le quotient de la division euclidienne de P par Q et R le reste. (a) Quelle égalité peut-on écrire ? (b) Que peut-on dire du degré de R ? En déduire sa forme. 2. (a) Préciser les racines complexes de Q. (b) En évaluant P pour une valeur bien choisie, déterminer R.

Exercice 12 (Racine multiple) 1. Soient P un polynôme et k un entier strictement supérieur à 1. (a) Rappeler la définition de « α est racine d’ordre k de P ». (b) Montrer que si α est racine d’ordre k de P alors P ′ (α) = 0. 2. Soit n un entier naturel non nul, le but de cette question est de déterminer a et b pour que, P = aX n+1 + bX n + 1 soit divisible par A = X 2 − 2X + 1 (a) A admet-il des racines simples ? des racines multiples ? (b) Si P est divisible par A, que peut-on en déduire sur les racines de P ? En déduire alors les valeurs de a et b (en fonction de n).(Indication utiliser 1b )

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