TEMA 7 Estudio de la estabilidad mediante el Lugar de las Raíces PDF

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“Estudio de la estabilidad de un sistema realimentado mediante el Lugar de las Raíces”

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TEMA 7: “Estudio de la estabilidad con el lugar de las raíces”

7.1.- Lugar geométrico de las raíces 7.2.- Condiciones básicas del Lugar de las Raíces 7.3.- Reglas de construcción del Lugar de las Raíces 7.4.- El contorno de las raíces

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TEMA 7: “Estudio de la estabilidad con el lugar de las raíces”

7.1.- Lugar geométrico de las raíces

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7.1.- Lugar geométrico de las raíces Introducción •

El método del “lugar de las raíces” (Evans,1948) es un procedimiento gráfico para realizar el análisis y la síntesis de sistemas de regulación lineales.

•

La respuesta transitoria de un sistema de regulación en B.C. viene determinada por la localización de los polos en B.C.

•

Si el sistema tiene una ganancia de lazo ( contenida en G(s)∙H(s) ) variable, entonces la localización de estos polos dependerá del valor de ganancia.

•

Así, será importante conocer cómo varía la localización de los polos de B.C. en el plano s conforme varía la ganancia del lazo.

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7.1.- Lugar geométrico de las raíces Introducción •

El método del lugar de las raíces consiste en una serie de reglas de aplicación directa mediante las cuales se puede determinar la posición de las raíces de la E.C. para todos los valores de un parámetro del sistema.

•

Normalmente, el parámetro que toma distintos valores es la ganancia de B.A.

•

El lugar de las raíces proporciona información acerca de la estabilidad y la precisión del sistema, además de cómo puede mejorarse una inadecuada respuesta transitoria.

•

El método del lugar de las raíces determina la posición sobre el plano complejo de las raíces de la E.C. del sistema 1 + ฀ ฀ ฀฀ � ฀฀ ฀฀ = 0, cuando varía algún parámetro de su F.T. en B.A.: ฀ ฀ ฀฀ � ฀฀ ฀฀

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7.1.- Lugar geométrico de las raíces Introducción •

•

Para ello, partimos de los polos y ceros de ฀฀ ฀฀ � ฀฀ ฀฀ y mediante relaciones gráfico-matemáticas, se determinan las líneas o trayectorias sobre las que se encuentran las raíces de la E.C. cuando varía el parámetro seleccionado. Es importante porque permite ajustar el punto de funcionamiento del sistema mediante la variación del parámetro, generalmente la ganancia.

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7.1.- Lugar geométrico de las raíces Lugar de las raíces •

El parámetro es la ganancia K de B.A. y su variación: 0 → ∞

Lugar inverso de las raíces •

El parámetro es la ganancia K de B.A. y su variación: 0 → −∞

Contorno de las raíces •

El parámetro es otro cualquiera

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TEMA 7: “Estudio de la estabilidad con el lugar de las raíces”

7.2.- Condiciones básicas del Lugar de las Raíces

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7.2.- Condiciones básicas del lugar de las raíces Consideremos: E(s)

R(s)

G(s)

C(s)

H(s) E.C.≡ 1 + ฀฀ ฀฀ � ฀฀ ฀฀ = 0 𝑟𝑟:

𝑟𝑟𝑟𝑟฀฀𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑟𝑟฀฀฀฀𝑟𝑟฀฀𝑟𝑟฀฀𝑟𝑟𝑟𝑟

฀ ฀ ฀฀ � ฀฀ ฀฀ = −1 = −1 + 0฀฀ = 1�180°

฀฀(฀฀) � ฀฀(฀฀) es una cantidad compleja, por tanto, podemos dividirla en 2 ecuaciones igualando magnitudes y ángulos:

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7.2.- Condiciones básicas del lugar de las raíces Criterio de módulos: |฀ ฀ ฀฀ ฀฀� ฀฀ |= 1 Criterio de argumentos: �฀฀(฀฀) � ฀฀(฀฀) = 2𝑟𝑟 + 1 � 180°, 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑟 𝑟 = 0,1,2 ⋯ •

Los valores de “s” que cumplen los dos criterios, son las raíces de la E.C.

•

El lugar de las raíces es una gráfica de los puntos del plano complejo que satisfacen el criterio de argumentos.

•

Las raíces de la E.C. correspondientes a un valor de ganancia se determinan por el criterio de módulos.

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7.2.- Condiciones básicas del lugar de las raíces Normalmente: ฀฀ ฀฀ � ฀฀ ฀฀ =

฀฀ � ฀฀ + ฀฀1 � ฀฀ + ฀฀2 � ⋯ � ฀฀ + ฀฀฀฀ ฀ ฀ + ฀฀1 � ฀฀ + ฀฀2 � ⋯ � ฀฀ + ฀฀฀ ฀

=

฀ ฀฀ � ∏฀฀฀=1 (฀ ฀ + ฀฀฀฀ ) = ฀ ฀ ∏฀฀=1 (฀ ฀ + ฀฀฀฀ )

donde: K es la ganancia zi son los ceros pi son los polos Aplicando esta expresión a los criterios:

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7.2.- Condiciones básicas del lugar de las raíces ฀ ฀ |฀฀|�∏ | (฀ ฀ + ฀฀฀฀ ) | ฀฀=1 |฀฀(฀฀) �฀฀(฀฀) | = =1 ∏฀฀฀=1฀ | (฀ ฀ + ฀฀฀฀ ) | ฀ ฀

฀ ฀

฀฀=1

฀฀=1

�฀฀(฀฀) � ฀฀(฀฀) = �฀฀ + � �฀฀ + ฀฀฀ ฀ − � �฀฀ + ฀฀฀ ฀ = (2𝑟 𝑟 + 1) � 180°

El lugar de las raíces está formado por puntos si del plano complejo que satisfacen el Criterio del Argumento. Después, se puede obtener el valor de K correspondiente a ese punto aplicando el Criterio del Módulo.

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7.2.- Condiciones básicas del lugar de las raíces Es decir: •

Determinación de puntos Si (aplicación C.A.)

•

Determinación de ganancia K (aplicación C.M.)

Afortunadamente, en la práctica el lugar de las raíces no requiere la búsqueda de un número infinito de puntos Si , sino la aplicación de una serie de reglas que controlan su trazado.

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TEMA 7: “Estudio de la estabilidad con el lugar de las raíces”

7.3.- Reglas de construcción del Lugar de las Raíces

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7.3.- Reglas de construcción del lugar de las raíces 1) Número de ramas del lugar Rama del lugar Cada trayectoria que describen las raíces de la E.C. al variar K •

nº de polos de B.A.

2) Puntos iniciales de las ramas K=0

฀฀ ฀฀ = 0 ⇒ ฀฀ ฀ ฀ + ฀฀ � ฀฀ ฀฀ = 0 1 + ฀฀ � ฀฀ ฀฀ � ฀฀ ฀฀ = 1 + ฀฀ � ฀ ฀ ฀ ฀ 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑟𝑟𝑃𝑃 ฀ ฀ = 0 ⇒ ฀฀ ฀ ฀ = 0 ⇒ 𝑟𝑟𝑃𝑃฀฀ 𝑟𝑟𝑃𝑃𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟฀฀ 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟฀฀𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑟𝑟฀฀ ฀฀𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟

•

los polos de B.A.

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7.3.- Reglas de construcción del lugar de las raíces 3) Puntos finales de las ramas K=∞

฀฀ ฀฀ 1 + ฀฀ ฀฀ � ฀฀ ฀฀ = 1 + ฀฀ � =0 ฀ ฀ ฀ ฀ ⇒

1 � ฀฀ ฀ ฀ + ฀฀ ฀฀ = 0 ฀฀

𝑃𝑃𝑃𝑃𝑟𝑟𝑃𝑃 ฀ ฀ = ∞ ⇒ ฀฀ ฀ ฀ = 0 ⇒ 𝑟𝑟𝑃𝑃฀฀ 𝑟𝑟𝑃𝑃𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟฀฀ 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟฀฀𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑟𝑟฀฀ 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 •

los ceros de B.A. Si no hay ceros suficientes, alguna rama irá al infinito.

4) Simetría •

el diagrama del lugar de las raíces es simétrico respecto al eje real.

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7.3.- Reglas de construcción del lugar de las raíces 5) Tramos del eje real que pertenecen al lugar de las raíces •

aquellos que tengan a su derecha un número impar de polos y ceros (sin contar los polos ni los ceros complejos conjugados).

6) Asíntotas • •

el número de asíntotas: ฀฀฀ ฀ = ฀฀𝑃 𝑃 − ฀฀฀ ángulo de las asíntotas con el eje real: ฀฀=

•

(2𝑟𝑟 + 1) � 180° ฀฀฀ ฀

฀

฀฀𝑟𝑟 ฀฀(฀฀) � ฀฀(฀฀). ; 𝑟 𝑟 = 0,1 ⋯ ฀฀฀ ฀ − 1

corte de las asíntotas con el eje real o centroide: ฀฀=

∑ ฀฀𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟฀฀ ฀฀𝑟𝑟 ฀ ฀ ฀฀ � ฀฀ ฀฀ − ∑ 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟฀฀ ฀฀𝑟𝑟 ฀฀(฀฀) � ฀฀(฀฀) ฀฀฀฀

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7.3.- Reglas de construcción del lugar de las raíces 7) Puntos del eje real de separación o encuentro de ramas •

Corresponden a máximos o mínimos de la ganancia K sobre el eje real: �

฀

฀฀=1

฀

฀

฀

1 1 =� ฀ ฀ + ฀฀฀ ฀ ฀ ฀ + ฀฀฀฀ ฀฀=1

8) Ángulos de salida de los polos y de llegada a los ceros •

son los que forma la tangente a la correspondiente rama del lugar en el polo o cero considerado, con el eje real. Pueden hallarse aplicando el criterio del argumento en la proximidad del punto considerado. �฀฀(฀฀) � ฀฀(฀฀) = (2𝑟𝑟 + 1) � 180°

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7.3.- Reglas de construcción del lugar de las raíces 9) Intersección del lugar de raíces con el eje Imaginario •

aplicando Routh

10) Determinación de la ganancia K •

El valor de la ganancia K para un punto cualquiera S1 del lugar, puede calcularse aplicando el criterio del módulo: ฀ | ฀ ฀ | � ∏฀฀฀=1 | (฀฀1 + ฀฀฀฀ ) | =1 ∏฀฀฀=1฀ | (฀฀1 + ฀฀฀฀ ) | ฀ ∏฀฀฀=1 | (฀฀1 + ฀฀฀฀ ) | ⇒|฀฀|= ฀ ฀ ∏฀฀=1 | (฀฀1 + ฀฀฀฀ ) |

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7.3.- Reglas de construcción del lugar de las raíces Propiedad de la Suma de las raíces •

฀฀𝑟𝑟 ฀฀฀ ฀ ≥ 2 ⇒ ∑ 𝑟𝑟𝑃𝑃𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟฀฀ = 𝑟𝑟฀฀𝑟𝑟 ฀฀𝑃𝑃𝑟𝑟𝑃𝑃 𝑟𝑟𝑃𝑃฀฀𝑃𝑃 ฀฀: 𝑃𝑃฀฀−1 = − � 𝑟𝑟𝑃𝑃𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟฀฀ = 𝑟𝑟฀฀𝑟𝑟 ฀฀𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟฀฀𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑃𝑃 ฀฀. ฀฀. : ฀฀ ฀ ฀ + 𝑃𝑃฀฀−1 � ฀฀ ฀฀−1 + ⋯ = 0

Sirve para calcular una raíz cuando se conoce la suma de las restantes.

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TEMA 7: “Estudio de la estabilidad con el lugar de las raíces”

7.4.- El contorno de las raíces

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7.4.- El contorno de las raíces A veces es necesario estudiar el efecto que produce la variación de un parámetro distinto de la ganancia K, el contorno es el lugar de las raíces cuando varía ese otro parámetro: ฀฀(฀฀) 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑟𝑟𝑃฀฀𝑟𝑟฀฀𝑟𝑟𝑟𝑟 ฀฀฀ ฀ 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟฀฀𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟฀฀𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑟𝑟 ฀฀𝑃𝑃𝑟𝑟𝑟𝑃𝑃 ฀฀𝑟𝑟 − ∞ 𝑃 𝑃 + ∞: ฀฀(฀฀) ฀฀ ฀฀ 1 + ฀฀ � ฀฀ ฀฀ � ฀฀ ฀฀ = 1 + ฀฀ � =0 ฀ ฀ ฀ ฀ ⇒ ฀฀ ฀ ฀ + ฀฀ � ฀฀ ฀฀ = 0 𝑟𝑟𝑟𝑟฀฀𝑟𝑟𝑟𝑟𝑃𝑃฀฀𝑟𝑟฀฀ ฀฀𝑃𝑃𝑟𝑟𝑃𝑃 ฀฀𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑃𝑃฀฀𝑃𝑃𝑟𝑟𝑟𝑟฀฀𝑟𝑟𝑃𝑃 ฀฀฀฀ : ฀฀1 ฀ ฀ + ฀฀฀ ฀ � ฀฀1 ฀ ฀ = 0

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7.4.- El contorno de las raíces Dividimos de ฀฀1 ฀฀ : ฀฀1 ฀฀ 1 + ฀฀฀ ฀ � = 0, ฀฀1 ฀ ฀ 𝑟𝑟฀฀฀฀𝑟𝑟𝑟𝑟฀฀𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑟𝑟฀฀𝑟𝑟𝑟𝑟฀฀𝑃𝑃𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟฀฀𝑟𝑟 𝑃𝑃: 1 + ฀฀1 ฀฀ � ฀฀1 ฀ ฀ = 0 ฀฀1 (฀฀) 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 ฀฀1 ฀฀ � ฀฀1 ฀ ฀ = ฀฀฀ ฀ � ฀฀1 (฀฀) A partir de aquí, aplicaremos las reglas de construcción del lugar de las raíces sobre: ฀฀1 ฀฀ � ฀฀1 ฀฀

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