Tentamen januari 2010, vragen PDF

Preview

Summary

Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, DelftTentamen Differentiaalvergelijkingen (WI2140TN) Maandag 25 januari 2010, 14:00-17:00 uur.N.B antwoorden moeten worden beargumenteerd. Gegeven de differentiaalvergelijkingy′=y 2 (y 2 −4) en de beginvoorw...

Description

Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, Delft

Tentamen Differentiaalvergelijkingen (WI2140TN) Maandag 25 januari 2010, 14:00-17:00 uur. N.B. Alle antwoorden moeten worden beargumenteerd.

1. Gegeven de differentiaalvergelijking y ′ = y 2 (y 2 − 4) en de beginvoorwaarde y(0) = 12 . (a) Is deze differentiaalvergelijking autonoom? (b) Bepaal de evenwichtsoplossingen van de differentiaalvergelijking. (c) Onderzoek de evenwichtsoplossingen op stabiliteit. (d) Leg uit hoe we kunnen weten dat dit beginwaardeprobleem een oplossing heeft en dat deze oplossing uniek is. (e) Laat y = φ(t) de oplossing van het beginwaardeprobleem zijn. Beantwoord de volgende twee vragen zonder φ(t) te bepalen: i. Bepaal lim φ(t) en lim φ(t). t→−∞

t→∞

ii. Schets de grafiek van φ(t). 2. (a) Ga na dat y1 (t) = 1 + t en y2 (t) = et oplossingen zijn van de differentiaalvergelijking   1 1 ′′ y ′ + y = 0. y − 1+ t t (b) Bepaal de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking   1 1 ′′ y ′ + y = t2 . y − 1+ t t 3. Beschouw de Besselvergelijking van orde 13 : x2 y ′′ + x y ′ + (x2 − 19 )y = 0 (x > 0). (a) Ga na dat de oplossingen van de indexvergelijking niet een geheel getal van elkaar verschillen. Wat heeft dit voor gevolgen voor het vinden van basisoplossingen van de differentiaalvergelijking? (b) Bepaal twee lineair onafhankelijke oplossingen van de differentiaalvergelijking in de vorm van een gegeneraliseerde machtreeks, waarbij de co¨effici¨enten door middel van een recurrente betrekking worden gedefinieerd. 4. (a) Laat Ψ(t) een fundamentaalmatrix zijn van het lineaire stelsel x′ = Px. Toon aan dat x = Ψ(t)Ψ−1 (t0 )x0 de oplossing is van het beginwaardeprobleem x′ = Px, x(t0 ) = x0 . (b) Bepaal de oplossing van het beginwaardeprobleem x′ = 7x + y, y ′ = −25x − 3y , x(0) = 2, y(0) = −5.

Z.O.Z. voor de volgende opgave

5. Gegeven het beginwaardeprobleem  ′ x = −2y + x(x2 + y 2 − 9) y ′ = 2x + y(x2 + y 2 − 9) met x(0) = x0 en y (0) = y0 . (a) Laat zien dat het stelsel differentiaalvergelijkingen in poolco¨ordinaten gegeven wordt door  ′ r = r(r 2 − 9) θ′ = 2 (b) Ga na dat r = 3 een cykel is. (c) Beschrijf het gedrag van de baan (orbit) van de oplossing van het beginwaardeprobleem als: i. (x0 , y0 ) binnen de cykel r = 3 ligt. ii. (x0 , y0 ) op de cykel r = 3 ligt. iii. (x0 , y0 ) buiten de cykel r = 3 ligt. (d) Bepaal de oplossing van het beginwaardeprobleem als x0 = 0 en y0 = 3. 6. (a) Los het Sturm-Liouville probleem y ′′ + λy = 0 met y(0) = 0 en y (3) = 0 op. (b) Bepaal met behulp van scheiden van variabelen de oplossing van de Laplace-vergelijking uxx + uyy = 0 op de rechthoek 0 < x < 3 en 0 < y < 6 met randvoorwaarden u(0, y ) = 0, u(3, y ) = 0, u(x, 0) = 0 en u(x, 6) = x.

Normering: vraag 1: 16 punten, vraag 2: 10 punten, vraag 3: 13 punten, vraag 4: 15 punten, vraag 5: 16 punten, vraag 6: 20 punten. 1 (10 + aantal behaalde punten). Tentamencijfer = de afronding van 10...