Teorema de chebyshev - Apuntes 1 PDF

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Teorema Chevishev...

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Universidad técnica de Machala Integrantes: Jhonatan Castro – Carlos Paz Curso: Segundo Semestre de Ingeniería en Alimentos Fecha: 15/10/20200 OBJETIVOS:  

Comprender la diferencia entre valor esperado, varianza y desviación estándar. Analizar el teorema de CHEVISHEV de acuerdo a su contexto estadístico y su aplicación como nuevo conocimiento en temas relacionados con esta asignatura como la Estadística.

Introducción TEOREMA DE CHEBYSHEV El Teorema de Chebyshev es considerado una desigualdad probabilística, proporciona un límite superior a la probabilidad de que la desviación absoluta de una variable correspondiente o aleatoria, de su medida, excede un umbral dado. En general, el Teorema de Chebyshev se usa para medir la dispersión de los datos para cualquier distribución. El Teorema de Chebyshev explica que al menos 1-1/k2 de datos de una muestra deben caer dentro de K, que es las desviaciones estándar de estándar de la media. En cualquier ejercicio o prueba, el K es un número real positivo mayor que uno. En un conjunto de datos que se distribuye, o se encuentra en forma de curva de campana, este posee unas ciertas características interesantes que vale la pena resaltar. Uno de ellos se ocupa de la propagación de los datos, cuando se encuentra en relación con el número de la desviación estándar de la media. Cuando sucede una distribución normal, se sabe que al menos un 68% de los datos es una desviación estándar de la media. Por otro lado, el 95% son dos desviaciones están de la media, y el 99% aproximadamente se encuentra dentro de las tres desviaciones estándar de la media.

Sin embargo, si el conjunto de estos datos no se logra distribuir adecuadamente, en forma de curva de campana, entonces la cantidad diferente podría encontrarse dentro de una desviación estándar. El Teorema de Chebyshev es el encargado de explicar una manera de saber qué fracción de datos se encuentra dentro de las desviaciones estándar K de la media para cualquier conjunto de datos en específico.

¿En qué consiste? En el estudio de la teoría de la probabilidad ocurre que si se conoce la función de distribución de una variable aleatoria X, se puede calcular su valor esperado o esperanza matemática E(X) y su varianza Var(X), siempre y cuando dichas cantidades existan. Sin embargo, el recíproco no es necesariamente cierto. Es decir, conociendo E(X) y Var(X) no necesariamente se puede obtener la función de distribución de X, por lo cual cantidades como P(|X|>k) para algún k>0, son muy difíciles de obtener. Pero gracias a la desigualdad de Chebyshov es posible hacer una estimación de la probabilidad de la variable aleatoria. El teorema de Chebyshov nos dice que, si tenemos una variable aleatoria X sobre un espacio muestral S con una función de probabilidad p, y si k>0, entonces:

Características importantes del Teorema de Chebyshev La desigualdad también se puede emplear con la frase de ‘datos de una muestra’ cuando se encuentra en una distribución de probabilidad. Lo anterior ocurre porque la desigualdad de Chebyshev es el resultado de la probabilidad, que luego se aplica en la estadística. Se hace importante aclarar que esta desigualdad o Teorema de Chebyshev es un resultado que se ha aclarado y demostrado matemáticamente. Por lo que cada una de sus aplicaciones es completamente fidedigna, así como los resultados. No es como la relación empírica entre la media y el modo, o la regla general que conecta el rango y la desviación estándar.

Científico Historia: Es una teoría que se formó por Pafnuty Chebyshev a pesar de que fue formulada por primera vez por su amigo y colega Irénée-JulesBienaymé. El teorema fue enunciado primero sin pruebas por Bienaymé en 1853y posteriormente probado por Chebyshev en 1867.Su estudiante Andrey Markov proporcionó otra prueba más en 1884 en su tesis doctoral. Para demostrar cómo la desviación estándar es indicadora de la dispersión de la distribución de una variable aleatoria, el matemático ruso Pafnuty LvovichChébyshev desarrolló un teorema en el que ofrece una garantía mínima acerca de la probabilidad de que una variable aleatoria asuma un valor dentro de k desviaciones estándar alrededor de la media. La desigualdad de Chébyshev es muy importante, ya que permite determinar los límites de las probabilidades de variables aleatorias discretas o continuas sin tener que especificar sus funciones de probabilidad. Este teorema asegura que la probabilidad de que una variable aleatoria se aleje de la media no más de k desviaciones estándar, es menor o igual a 1/k2 para algún valor de k >1. Aunque la garantía no siempre es muy precisa, la ventaja sobre este teorema es su gran generalidad por cuanto es aplicable a cualquier variable aleatoria con cualquier distribución de probabilidad, ya sea discreta o continua.

VARIANZA La varianza es una medida de dispersión que representa la variabilidad de una serie de datos respecto a su media. Formalmente se calcula como la suma de los residuos al cuadrado divididos entre el total de observaciones. Su fórmula es la siguiente:

X → Variable sobre la que se pretenden calcular la varianza xi → Observación número i de la variable X. i puede tomará valores entre 1

  y n.  

N → Número de observaciones. x → Es la media de la variable X.

DESVIACIÓN TÍPICA La desviación típica es otra medida que ofrece información de la dispersión respecto a la media. Su cálculo es exactamente el mismo que la varianza, pero realizando la raíz cuadrada de su resultado. Es decir, la desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.

X → Variable sobre la que se pretenden calcular la varianza xi → Observación número i de la variable X. i puede tomará valores entre 1 y n. N → Número de observaciones. x → Es la media de la variable X.

   

Dado que la desviación típica es una medida que está expresada en las mismas unidades que la variable, si queremos comparar dispersiones a escalas distintas necesitamos un parámetro adimensional.

DESVIACION TIPICA Desviación típica o estándar Es la medida de dispersión más utilizada en las investigaciones por ser la más estable de todas, ya que para su cálculo se utilizan todos los desvíos con respecto a la media aritmética de las observaciones, y además, se toman en cuenta los signos de esos desvíos. Se le designa con la letra castellana S. desviación típica (σ) es una medida de centralización o dispersión para variables de razón (ratio o cociente) y de intervalo, de gran utilidad en la estadística descriptiva. Se define como la raíz cuadrada de la varianza. Junto con este valor, la desviación típica es una medida (cuadrática) que informa de la media de distancias que tienen los datos respecto de su media aritmética, expresada en las mismas unidades que la variable. Se caracteriza por ser el estadígrafo de mayor uso en la actualidad. Usos de la desviación estándar.

La desviación estándar nos permite determinar, con un buen grado de precisión, dónde están localizados los valores de una distribución de frecuencias con relación a la media. El teorema de Chebyshev dice que no importa qué forma tenga la distribución, al menos 75% de los valores caen dentro de + 2 desviaciones estándar a partir de la media de la distribución, y al menos 89% de los valores caen dentro de + 3 desviaciones estándar a partir de la media. Con más precisión: •

Aproximadamente 68% de los valores de la población cae dentro de + 1 desviación estándar a partir de la media.

•

Aproximadamente 95% de los valores estará dentro de + 2 desviaciones estándar a partir de la media.

•

Aproximadamente 99% de los valores estará en el intervalo que va desde tres desviaciones estándar por debajo de la media hasta tres desviaciones estándar por arriba de la media.

EJEMPLO: Calcule la varianza para una población de N = 5 valores: 2, 2, 4, 7 y 15. SOLUCION La tabla que muestra la forma en que la varianza se calcula para datos poblacionales, procedimiento por demás tedioso cuando el número de observaciones es grande. Los programas modernos para computadora efectúan con suma rapidez este tipo de operación.

EJEMPLOS CHEBYSHEV Supongamos que somos gestores de un fondo de inversión. La cartera que estamos gestionando tiene una rentabilidad media del 8,14% y una desviación típica del 5,12%. Para saber, por ejemplo, qué porcentaje de nuestros retornos se encuentran al menos a 3 desviaciones típicas de nuestra rentabilidad media simplemente aplicaríamos la formula anterior de la expresión 2. k = 1,96 Sustituyendo el valor de k: 1-(1/(1,96^2)) = 0,739 = 73,9% Esto quiere decir que hay un 73,9% de los resultados que están en el intervalo de confianza situado a 1,96 desviaciones típcas de la media. Realicemos el ejemplo anterior para valores distintos de k. k = 2,46 k=3 Sustituyendo el valor de k: 1-(1/(2,46^2) )= 0,835 = 83,5% Sustituyendo el valor de k: 1-(1/(3^2)) = 0,889 = 88,9% Hay un 83,5% de los datos que están a una distancia de 2,46 desviaciones típicas de la media y un 88,9% que están a 3 desviaciones típicas de la media. Utilizando la desigualdad de Chebyshev, es sencillo deducir que a mayor valor de K (mayor desviación del valor estimado sobre su media) mayor probabilidad de que la variable aleatoria se encuentro dentro del intervalo acotado.

Bibliografías 1. Kai Lai Chung. Elementary Proability Theory with Stochastic Processes. Springer-Verlag New York Inc

https://sites.google.com/site/01robabilidadyestadistica/extra-credit 2. Kenneth.H. Rosen teorema de chevishev

y sus Aplicaciones .

S.A.MCGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE ESPAÑA.

https://www.lifeder.com/teorema-chebyshov/ 3. Paul L. Meyer. Probabilidad y Aplicaciones Estadisticas. S.A. ALHAMBRA MEXICANA. 4. Seymour

Lipschutz

Ph.D.

2000

Matemática Discretas. McGRAW-HILL.

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