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Teorema de RoucheFrobenius

Herramientas Matemáticas I Álgebra

Teorema de Rouche - Frobenius Antes de enunciar el teorema, recordemos cómo se clasificaban los sistemas de ecuaciones lineales según sus soluciones. Figura 1: Clasificación de los sistemas de acuerdo con el tipo de solución

Fuente: elaboración propia.

Teorema Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas será compatible si -y solo si- el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada correspondiente. En símbolos, se expresa:

Corolario

𝑟(𝐴) = 𝑟(𝐴 ⋮ 𝐵) ↔ 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒

Si un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es compatible, este tendrá solución única si -y solo si- el rango de la matriz de coeficientes del sistema es igual al número de incógnitas. En símbolos, se expresa:

𝑟(𝐴) = 𝑟(𝐴 ⋮ 𝐵 ) = 𝑛 ↔ 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜

Cuando el rango de la matriz de coeficientes es distinto del rango de la matriz ampliada, no existe solución y el sistema de ecuaciones lineales resulta incompatible o inconsistente.

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Estas conclusiones se pueden esquematizar tal como se observan en la siguiente imagen: Figura 2: Esquema del teorema de Rouche-Frobenius y corolario

Fuente: elaboración propia.

Sistemas homogéneos de ecuaciones lineales Se llama homogénea a toda ecuación lineal que está igualada a cero. En símbolos: 𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ … … … … … + 𝑎2 𝑥2 = 0

Un sistema de ecuaciones lineales se llama homogéneo cuando el vector de términos independientes es el vector nulo. En símbolos:

En símbolos:

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ … … . +𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 0 21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ … … . +𝑎 2𝑛 𝑥𝑛 = 0 { 𝑎… ………………………………………. 𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ … … . +𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 0 𝐴. 𝑋 = ∅

Ejemplo 1:

{

𝑎 + 𝑏 − 2𝑐 − 𝑑 = 0 𝑎 +𝑏+𝑐+𝑑 = 0

3𝑎 − 2𝑏 + 5𝑐 + 3𝑑 = 0

3

Expresado en forma matricial: 3 −2 [1 1 Ejemplo 2:

1

1

0 5 𝑎𝑏 3 0 −2 −1 𝑐 ] = [ ] 0 ] . [𝑑 0 1 1

2𝑥 − 3𝑦 = 0 −𝑥 − 𝑦 = 0 { 5𝑥 + 4𝑦 = 0 −2𝑥 + 6𝑦 = 0

Expresado en forma matricial:

0 2 −3 −1 𝑥 −1 0 [ ] . [ 𝑦] = [ ] 5 4 0 −2 6 0 Los sistemas homogéneos son siempre compatibles, ya que en un sistema homogéneo 𝑟(𝐴) = 𝑟(𝐴 ⋮ ∅) el vector nulo que se agrega a la matriz de los coeficientes para formar la matriz ampliada no se considera para el cálculo del rango [𝐴 ⋮ ∅], o, mejor dicho, el vector nulo es linealmente dependiente por teorema de independencia y dependencia lineal de vectores. En consecuencia, un sistema homogéneo es siempre compatible.

Solución trivial de los sistemas homogéneos Los sistemas homogéneos de la forma: 𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ … … . +𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 0 21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ … … . +𝑎 2𝑛 𝑥𝑛 = 0 { 𝑎… ………………………………………. 𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ … … . +𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 0 En caso de ser compatibles determinados, la única solución es el vector nulo:

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𝑋 = ∅ = [0,0,0,0 … … . .0]

Esta solución se denomina solución trivial. Así, entonces, cuando 𝑟(𝐴) = 𝑟(𝐴 ⋮ ∅) = 𝑟 = 𝑛, el sistema es compatible determinado y presenta como única solución la solución trivial.

Soluciones propias de los sistemas homogéneos

Cuando 𝑟(𝐴) = 𝑟(𝐴 ⋮ ∅) = 𝑟 < 𝑛 , donde n es el número de incógnitas, entonces el sistema es compatible indeterminado y presenta infinitas soluciones distintas a la trivial y a las cuales se denominan soluciones propias.

Cuando la matriz A de los coeficientes es cuadrada, la condición necesaria y suficiente para que el sistema homogéneo tenga solución distinta de la trivial es que |𝐴| = 0

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Referencias Checa, J. C. (2009). Sistemas de ecuaciones lineales. En Checa, J.C Algebra lineal para economía y administración (pp.239-240). Córdoba: Ediciones Eudecor.

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