Teoria das Filas - Nota: 9 PDF

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Artigo referente a teoria das filas....

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Teoria das Filas Autor Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul (UNIJUÍ) [email protected]

Resumo. Este artigo busca descrever o funcionamento da Teoria das Filas, mostrando o seu funcionamento e explicando conceitos que são utilizados na área, bem como as aplicações da Teoria das Filas na prática em nosso dia a dia. Abstract. This article seeks to describe the functioning of Queuing Theory, showing its functioning and explaining concepts that are used in the area, as well as the applications of Queuing Theory in practice in our day to day.

1. Introdução As filas estão presentes em nosso cotidiano, no supermercado, no banco, no trânsito, em qualquer situação em que precisamos esperar por um serviço ou oportunidade. Um sistema de filas pode ser descrito como clientes que chegam para um determinado serviço em que são atendidos imediatamente ou esperam, saindo após o atendimento. Segundo Nogueira (2009) “O estudo de Teoria de Filas trata com o fenômeno de aguardar em fila usando medidas representativas da performance do sistema, tais como comprimento médio da fila, tempo médio de espera na fila, utilização média do sistema, entre outros”. Costa (2018) cita que “As formações de filas ocorrem porque a procura pelo serviço é maior do que a capacidade do sistema de atender a esta procura. A razão pelo qual os gerentes dos estabelecimentos e o poder público não aumentam suas capacidades de atendimento podem ser resumidas basicamente por dois motivos: inviabilidade econômica e limitação de espaço”. A Teoria das Filas tenta criar modelos que mostrem previamente o comportamento de um sistema que forneça serviços com demandas que aumentem de forma aleatória, além de criar análises matemáticas detalhadas para encontrar um ponto de equilíbrio que satisfaça o cliente e seja viável economicamente para o provedor do serviço. O principal motivo de se estudar Teoria de Filas é otimizar o sistema, que se caracteriza por: - Melhor alocação dos recursos disponíveis; - Menor tempo de espera; - Maior rapidez no atendimento; - Economia de custos. “Existem muitas aplicações respeitáveis da teoria, a maioria das quais têm sido documentadas na literatura de probabilidade, pesquisa operacional e engenharia industrial. Alguns exemplos são fluxo de Tráfego (veículos, aeronaves, pessoas, comunicações), escalonamento (pacientes em hospitais, trabalhos em máquinas, programas em computadores) e projetos de atendimentos à serviços (bancos, correios, parques de diversão, restaurantes fast-food)” (COSTA, 2018).

2. História A abordagem matemática das filas se iniciou em 1908, na cidade de Copenhague, Dinamarca. O pioneiro da investigação foi o matemático Agner Krarup Erlang (1909), quando trabalhava numa companhia telefônica, estudando o problema de redimensionamento de centrais telefônicas. Somente a partir da Segunda Guerra Mundial que a teoria foi aplicada a outros problemas de filas. Seu trabalho foi difundido por outros pesquisadores em diversos países europeus. Na década de 30, dentre as pesquisas nesta área, Andrey Kolmogorov, na Rússia, estudava um sistema com entrada de probabilidade de Poisson (Siméon Denis Poisson) e saída arbitrária em único ou múltiplo atendente.

3. Balanço entre Atender e Não Atender

Segundo Belísio: ● Quanto maior o nível de serviço, melhor o atendimento, maior o custo total; ● O custo da fila se refere principalmente à:(a) receita direta perdida devido aos clientes que não vão embora por causa das filas, ou da relativa incapacidade de atendimento; (b) receita indireta perdida por causa de desgaste da boa imagem da instituição ou sua associação com ineficiência ou maus atendimento. Na Figura 1 pode ser vista essa relação de custo benefício entre o atender e não atender. Figura 1 - Relação Custo Benefício

Fonte: Belísio

3.

Características

Estruturais

dos

Sistemas

de

Fila

Existem muitos tipos diferentes de filas. Segundo Moreira (2007), as filas são estruturadas em quatro partes principais (como mostra a figura 5): a fonte de clientes; a chegada de clientes; o processo de seleção; e o posto de atendimento. Os clientes são indivíduos de uma população que chegam ao local da prestação do serviço de acordo com determinado comportamento estatístico, para serem atendidos de acordo com um critério de seleção preestabelecido e serão atendidos de acordo com características próprias, conforme pode ser visto a Figura 2.

Figura 2 - Estrutura de uma Fila

Fonte: Moreira (2007) Quando essas filas ultrapassam o valor estimado ou normal, pode-se concluir que o sistema está na fase de congestionamento. Nesta fase a qualidade e a produtividade do sistema decresce e o custo operacional tende a subir. Existem diversos fatores que podem interferir no desempenho de um sistema, tais como: ● Forma de atendimento aos clientes; ● Forma da chegada dos clientes; ● Disciplina da fila e a estrutura do sistema.

3.1 Fontes de Clientes: Os clientes pertencem à população em que todos são clientes em potencial, e essa fonte pode ser tanto finita quanto infinita. As infinitas são aquelas em que a quantidade não é afetada pelo fato de que alguns clientes já estão esperando na fila.

3.2 Modelos de Chegadas: O modelo é determinado pelo forma em que o fluxo de chegada dos clientes acontece, se for conhecido o número de chegadas e quando essas chegadas acontecem, este é um processo determinístico, senão, o processo será considerado aleatório, constituído de uma distribuição de probabilidades. A distribuição mais comum é a de Poisson, ou seja, os tempos entre as chegadas são exponencialmente distribuídos. Entre outras distribuições, estão a de Erlang, hiperexponencial e arbitrária. Clientes podem chegar simultaneamente (chegada em batch). Se for possível, é necessário também saber a distribuição de probabilidade do tamanho do batch. A reação do cliente na fila pode variar. Ele pode esperar independentemente do tamanho da fila, também pode decidir não entrar no sistema caso a fila esteja muito grande (cliente decepcionado), ele pode esperar na fila mas depois de um tempo desistir e sair do sistema, e também pode mudar de uma fila para outra em sistemas com servidores paralelos.

3.2.1 Distribuição de Poisson Na teoria da probabilidade e na estatística, a distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade de variável aleatória discreta que expressa a probabilidade de uma série de eventos ocorrer num certo período de tempo se estes eventos ocorrem independentemente de quando ocorreu o último evento. A distribuição foi descoberta por Siméon Denis Poisson (1781–1840) e publicada, conjuntamente com a sua teoria da probabilidade, em 1838 no seu trabalho Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile ("Inquérito sobre a probabilidade em julgamentos sobre matérias criminais e civis"). O trabalho focava-se em certas variáveis aleatórias N que contavam, entre outras coisas, o número de ocorrências discretas de um certo fenômeno durante um intervalo de tempo de determinada duração. A probabilidade de que existam exactamente k ocorrências (k sendo um inteiro não negativo, k = 0, 1, 2, ...) é

● e é base do logaritmo natural (e = 2.71828...), ● k! é o fatorial de k, ● λ é um número real, igual ao número esperado de ocorrências que ocorrem num dado intervalo de tempo. Por exemplo, se o evento ocorre a uma média de 4 minutos, e estamos interessados no número de eventos que ocorrem num intervalo de 10 minutos, usamos como modelo a distribuição de Poisson com λ = 10/4 = 2.5. Como função de k, esta é a função de probabilidade. A distribuição de Poisson pode ser derivada como um caso limite da distribuição binomial. Na Figura 3 pode ser visualizado um exemplo de aplicação da distribuição de Poisson.

Figura 3 - Gráfico da Distribuição de Poisson

Fonte: Sites Google

3.2.1 Distribuição de Erlang A distribuição Erlang é uma distribuição de probabilidade contínua com uma ampla aplicabilidade, principalmente devido à sua relação com a distribuição exponencial e a distribuição gama. A distribuição Erlang foi desenvolvida por Agner Krarup Erlang para analisar o número de chamadas telefônicas que poderiam ser feitas simultaneamente aos operadores das estações de comutação. Atualmente esta distribuição é utilizada em várias áreas que aplicam processos estocásticos. Na figura 4 pode ser visualizado o gráfico mostrando alguns exemplos aplicando a distribuição de Erlang. Figura 4 - Gráfico da Distribuição de Erlang

Fonte: Wikipedia

3.3 Modelos de Atendimento: Os modelos de atendimento podem apresentar diversas configurações: canal único, canal múltiplo, atendimento único, atendimento múltiplo. O canal único se configura por ter apenas uma instalação de atendimento, podendo ter um ou mais postos de atendimento, porém em série. O canal múltiplo apresenta mais de um canal de atendimento em paralelo, atuando de forma independente. O atendimento múltiplo é realizado por mais de uma instalação de atendimento em série, dependente uma da outra. Já o atendimento único consiste na realização do atendimento feita integralmente em um posto, independente de qualquer outro posto. Os canais heterogêneos modelam canais múltiplos com diferentes distribuições de tempo de atendimento. Porém por mais que este tipo de abordagem consiga modelar casos reais com menor distorção da realidade que o canal único, este tema não é amplamente abordado na literatura de Teoria das Filas. Estes modelos são matematicamente complexos na medida em que há mais canais de atendimentos e suas características se distanciam da abordagem clássica de canal único.

Figura 5 - Canal Único, Atendimento Único

Fonte: Moreira (2007)

Figura 6 - Canal Único, Atendimento Múltiplo

Fonte: Moreira (2007)

Figura 7 - Canal Múltiplo, Atendimento Único

Fonte: Moreira (2007) Figura 8 - Canal Múltiplo, Atendimento Múltiplo

Fonte: Moreira (2007)

4. Tipos de Filas 4.1 FIFO (First In, First Out) ou FCFS (First Come, First Served) Primeiro a Entrar, Primeiro a Sair. O mais comum inclusive na vida diária. Como exemplo, tem-se a venda de ingressos num cinema, atendimento bancário, etc. 4.2 LIFO (Last In, First Out) ou LCFS (Last Come, First Served) Último a Chegar, Primeiro a Sair. Aplicável em sistemas em que o item mais recente é mais fácil de ser recuperado. Como por exemplo, em sistemas de controle de estoque. 4.3 PRI (Priority Service) O atendimento aos usuários segue uma ou mais prioridades preestabelecidas pela gerência do sistema. Como exemplo, pode ser mencionando a internação hospitalar ou cirurgias, a exploração de poços petrolíferos e tarefas a serem processadas por um computador. 4.4 SIRO (Service In Random Mode)

Atendimento em ordem aleatória. Como exemplo, tem-se a contemplação de consórcios e a seleção de ganhadores em concursos populares. 4.5 SPT (Shortest-Processing-Time first) O cliente a ser atendido em primeiro lugar será aquele cujo tempo de atendimento é menor.

5. Sistemas Ergódicos Segundo Tôrres (1966), a fila é um processo estocástico, isto é, seu estado num instante t (número de clientes presentes, tamanho da fila, tempo de espera etc.) é variável aleatória. O estado do sistema é, realmente, um evento condicionado, cuja probabilidade no instante t depende do valor da probabilidade no instante inicial t0. Em muitos casos, essa dependência do estado inicial desaparece depois de certo tempo (mais precisamente quando t tende ao ∞) isto é, o sistema atinge posição de equilíbrio (regime permanente), em que as probabilidades não dependem mais do estado inicial, nem do tempo decorrido, se a convergência ao limite é rápida, então, torna-se possível usar essa soluçãolimite como aproximação para calcular a probabilidade dos diversos estados. Os sistemas que gozam dessa propriedade de as probabilidades tenderem para uma situação de equilíbrio são denominados sistemas ergódicos. 4.3 Critérios de Avaliação Dependendo das circunstâncias, podemos avaliar o funcionamento de um sistema por diversos critérios: 4.3.1 Probabilidade de espera P(D) = P(T>O) Quando o custo de uma demora no atendimento é grande, a escolha de um valor pequeno para P(D) pode ser o critério adequado. Exemplo: problemas de estoque. 4.3.2 Probabilidade de espera maior que t, P(T>t) Esse é o critério adequado se os clientes não toleram a espera por mais do que certo tempo. Exemplo: aviões esperando para aterrissar. 4.3.3 Tempo médio de espera E[T] Esse interessa quando o conjunto de demoras - e não uma demora individual - é importante. Exemplo: tempo perdido numa fábrica por máquinas paradas aguardando serviço. 4.3.4 Probabilidade de a fila ser maior do que um certo valor m: P(M>m) É importante quando devemos determinar a dimensão do espaço para acomodar a fila. Exemplo: número de cadeiras na sala de espera de um consultório médico.

4.3.5 Tamanho médio da fila E[M] Como o tempo total gasto em espera por todos os clientes em conjunto é igual ao produto do número médio de clientes na fila pelo tempo em que a fila existe, segue-se que o tamanho

médio da fila dá também a perda de tempo por unidade de tempo e, portanto; pode ser usado para avaliar o tempo total perdido na fila. Exemplo: tempo total perdido por empregados esperando na fila para serem atendidos no almoxarifado da empresa. 4.3.6 Perda de tempo relativa Em muitos casos, o critério de avaliação é a perda de tempo relativa, definida como a relação entre o tempo de espera e o tempo de serviço.

Referências Bibliográficas BELÍSIO, Adriano Silva. Introdução a Teoria das Filas - Aula 2. Disponível em: . Acesso em: 18 Jun. 2018. COSTA, Luciano Cajado. Teoria das Filas. 2018. Disponível em: . Acesso em: 08 Maio 2018. FILAS, Teoria das. PUC-Rio. Rio de Janeiro. Disponível em: . Acesso em: 08 Maio 2018. NOGUEIRA, Fernando. Teoria de Filas. 2009. Disponível em: . Acesso em: 08 Maio 2018. TÔRRES, Oswaldo Fadigas. Elementos da teoria das filas. Revista de Administração de Empresas, v. 6, n. 20, p. 111-127, 1966....