Teoria de Analisis Matemático 1 - Funciones PDF

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Dados dos conjuntos A y B, una función (también aplicación o mapeo) entre ellos es una asociación6 f que a cada elemento de A le asigna un único elemento de B.
Se dice entonces que A es el dominio (también conjunto de partida o conjunto inicial) de f y que B es su codominio (también conjunto d...

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Funciones

Dados dos conjuntos A y B, una función (también aplicación o mapeo) entre ellos es una asociación6 f que a cada elemento de A le asigna un único elemento de B. Se dice entonces que A es el dominio (también conjunto de partida o conjunto inicial) de f y que B es su codominio (también conjunto de llegada o conjunto final).

Es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. La función, aplicación o mapeo se refiere en matemáticas a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto. Por ejemplo, cada número entero posee un único cuadrado, que resulta ser un número natural (incluyendo el cero): La manera habitual de denotar una función f es: f: A → B a → f(a), Donde A es el dominio de la función f, su primer conjunto o conjunto de partida; e B es el codominio de f, su segundo conjunto o conjunto de llegada. Por f(a) se denota la regla o algoritmo para obtener la imagen de un cierto objeto arbitrario a del dominio A, es decir, el (único) objeto de B que le corresponde. En ocasiones esta expresión es suficiente para especificar la función por completo, infiriendo el dominio y codominio por el contexto. Reglas para determinar el dominio de una función 1) Si la función es polinómica, el dominio es el conjunto de números reales, salvo que el mismo este especificando en la definición de la función

2) Si la función es fraccionaria, el dominio es el conjunto de todos los números reales menos el conjunto de valores que anulan el denominador.

3) Si la función es irracional cuadrática, el dominio es el conjunto de todos los números reales para los cuales el radicando es mayor o igual que cero.

Operaciones con funciones Antes de definir operaciones es importante introducir el concepto de igualdad de funciones

En esta sección estudiaremos sólo funciones reales (a valores reales), es decir, funciones de A en B (dominio y codominio) con Suma y diferencia de funciones reales

Esto es, el valor de f + g en x es la suma del valor de f en x y del valor de g en x.

Para definir diferencia de dos funciones reales, necesitamos una definición previa:

Ahora sí podemos definir la diferencia de dos funciones reales:

Esto es equivalente a decir que el valor de f – g en x es el resultado de restar el valor de fen x, el valor de g en x.

Multiplicación y cociente de funciones

Esto es, el valor de f.g en x es la multiplicación del valor de f en x y del valor de g en x.

Para definir el cociente de dos funciones reales, necesitamos una definición previa:

Ahora si podemos definir el cociente de dos funciones reales:

Esto es equivalente a decir que el valor de f/g en x es el resultado de dividir el valor de f en x entre el valor de g en x.

Clasificación de funciones

Funciones Algebraicas Las funciones algebraicas son aquellas cuya regla de correspondencia es una expresión algebraica, siendo a la vez una función que satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios. Una función algebraica explícita es aquella cuya variable y se adquiere combinando un número finito de veces la variable x y constantes reales a partir de operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces. Entonces en las funciones explicitas es posible obtener las imágenes de x por sustitución: f(x) = 5x – 2 Por otro lado en las funciones implícitas no es posible obtener las imágenes de x por simple sustitución, por lo cual es necesario efectuar operaciones:

5x – y – 2 = 0 Funciones Racionales o Fraccionarias Las funciones racionales son aquellas que se expresan mediante una fracción, donde tanto el numerador como el denominador son polinomios. Concretamente, las funciones racionales formadas por polinomios de primer grado se pueden expresar de la siguiente manera:

La representación de este tipo de funciones viene dada por medio de una hipérbola. Por tanto las características más representativas serán sus asíntotas: la vertical y la horizontal, como podemos ver en la siguiente imagen. Además, se define el centro de la hipérbola como el punto donde se cortan ambas asíntotas:

Funciones Radicales o Irracionales Cuando además de las cuatro operaciones racionales: suma, resta, producto (y como caso particular potenciación) y cociente, aparecen las raíces, se tiene una expresión irracional. Ejemplos: 1) 2)

y= √ x−1 y= √3 x−1

En 1), como la raíz cuadrada puede tomar el signo + o el signo -, habrá que aclarar cuál de las 2 determinaciones se adopte, de lo contrario, se tendrá una función multiforme. Además, para tener valores reales debe ser X > 1.

En 2), como la raíz cúbica solo tiene una determinación en el campo de los números reales, no se plantee la cuestión anterior. Además, como siempre existe la raíz cubica de un número real (positivo o negativo), la función está definida para todo el eje de las x. 1)

2)

Funciones polinomicas Las funciones polinómicas son, como su nombre lo dice, funciones que constan de un polinomio.

en donde n es un entero positivo, llamado, grado del polinomio. Resulta evidente, que el coeficiente del grado mayor, no puede ser cero, o sea, a tiene que ser diferente de cero, para que el grado del polinomio se n. Cualquiera de los otros coeficientes puede ser cero. Ejemplos de funciones polinómicas son:

, la cual es de grado 3, ya que el exponente mayor es 3. Una función cuya imagen consta de un solo número recibe el nombre de función constante. De este modo, si f(x) = c, y c es cualquier número real, entonces f es una función constante y su frafica es una recta horizontal a una distancia dirigida de c unidades a partir del eje x.

F(x)= 5 Es una función constante, y su gráfica es una recta horizontal situada a 5 unidades sobre el eje de las x.

La función lineal se define por f ( x )=2 x−6

Donde m y b son constantes y m ≠0. Su gráfica es una recta cuya pendiente es m y su intercepción y/u ordenada al origen es b. La función lineal particular definida por: f ( x )=x

Se denomina función identidad. Su gráfica es la recta que bisecta los cuadrantes primero y tercero.

Si una función f se define por

Donde a0 a1… anson números reales (an≠ 0) y n es un numero entero no negativo, entonces recibe el nombre de función polinominal de grado n. Así, la función definida por

Es una función polinominal de grado 5. Una función lineal es una función polinominal de grado 1. Si el grado de una función es 2, entonces se llama función cuadrática, y si el grado es 3, entonces recibe el nombre de función cúbica.

Función cuadratica

Función cúbica

Funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad).

1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa: sin α=

C . Opuesto Hipotenusa

Esta función está definida como f(x)= sen x. La grafica de y=sen x intercepta al eje x en los puntos cuyas abscisas son: c=n π para todo numero entero n

2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa: cos α=

C . Adyacente Hipotenusa

Esta función se define como: f(x)=senx. El valor máximo de senx es 1, y el mínimo valor es -1.La amplitud de la función y=sen x es 1

3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

tan α=

C .Opuesto C . Adyacente

La fución está definida por f(x)=tan x. Es una función periódica y su periodo es π. La grafica de y=tan x intercepta al eje x en los puntos cuyas abscisas son: x=n π, para todo numero entero n

4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto: cot α=

C . Adyacente C . Opuesto

Esta función se expresa como f(x)=cot x. Es inversa a la función tangente

5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:

Sec α=

Hipotenusa C . Adyacente

Esta función se expresa como f(x)= sec x. Es la inversa a la función seno

6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto: Csc α=

Hipotenusa C . Opuesto

Funciones logarítmicas: Las inversas de lasfuncionesexponenciales se llamanfuncioneslogarítmicas. Como la notación f-1 seutilizaparadenotarunafuncióninversa, entonces se utilizaotranotaciónparaestetipo de inversas. Si f(x) = bx, en lugar de usar la notación f-1(x), se escribelogb(x)para la inversa de la función con base b. Leemos la notaciónlogb(x) como el “logaritmo de x con base b”, y llamamos a la expresiónlogb(x) un logaritmo. La gráfica y = logb x tiene al eje de y comoasíntota vertical:

Funciónhiperbolica La función hiperbólica, surge de la comparación del área de una superficie con forma semicircular, con el área de una superficie con límites dentro de una hipérbola. Estas son funciones correlativas las trigonométricas ordinarias. Son dependientes de la función exponencial

Seno hiperbólico

Cosecante hiperbólica (inverso de seno hiperbólico)

Coseno hiperbólico

secante hiperbólica (inverso de coseno hiperbólico)

Tangente hiperbólica

Cotangente hiperbólica (inverso de Tangente hiperbólica)

Función compuesta Dadas las dos funciones f y g, la función compuesta, denotada por f o g, está definida por

( f o g )( x )=f ( g ( x ) ) Y el dominio de f o g es el conjunto de todos los números de x del dominio de g tales que g(x) está en el dominio de f. Esta definición indica que cuando se calcula (f o g) (x), primero se aplica g a x y después se aplica f a g(x). Para visualizar este cálculo consulte la figura 1. La función g asigna el valor g(x) al número de x del dominio de g. La función f asigna el valor f(g(x)) al numero g(x) del dominio de f. Observamos que en la figura 1 el contradominio de g es un subconjunto del dominio de f y que el contradominio de f o g es un subconjunto del contradominio de f.

Función inversa Se llama función inversa o recíproca de una función f a una nueva función cuyo dominio es la imagen de la función inicial, y su imagen es el dominio de la función inicial.

Es decir, si la función g es la función inversa de f, entonces se cumple que si f (b) = a, entonces g(a)=b. PROPIEDADES 1. La primera propiedad coincide con la que habíamos visto anteriormente en la función compuesta. Si realizamos la función inversa de una composición de funciones obtenemos la composición de sus inversas permutando el orden de la composición: 2. Si hacemos la inversa de la inversa de una función, obtenemos la función inicial.

3. La composición de una función y su inversa nos da la función identidad. 4. La función inversa no siempre existe. 5. Si una función es continua también lo es su inversa y viceversa, si la inversa es derivable también lo será la función inicial. 6. Análogamente, si una función es derivable su inversa también lo es y viceversa. GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN INVERSA La gráfica de una función f, y la de su inversa g, son simétricas respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante, es decir la recta y = x, como podemos ver en la siguiente imagen:

Por tanto si M(b,a) es un punto de f, y por tantosabemos que M´(a,b) será un punto de g, entonces las pendientes de las tangentes en M y en M´son inversas. Es decir si la pendiente de la tangente en M es m, entonces la pendiente de la tangente en M´ será 1/m. Observación: Recordad que no es lo mismo la función inversa, que la inversa de una función.

El ejemplo más conocido e importante de funciones inversas es la función exponencial y la función logarítmica. Y como podemos ver sus representaciones gráficas son simétricos respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante:

PASOS PARA CALCULAR LA FUNCIÓN INVERSA Para poder calcular la función inversa de una dada debemos seguir unos pasos: 1º. Realizamos un cambio de variable, cambiando y por x, y viceversa. Recordad que y=f(x). 2º. Una vez que ya hemos cambiado las variables, tenemos que despejar la variable y en función de x. 3º. El resultado final, es la función inversa que hemos buscado. Por último vamos a realizar unos ejemplos en los que seguiremos los pasos (que son pocos y cortos) para obtener la función inversa en cada caso: Ejemplo 1: Hallar la función inversa de f(x)=3x+5. Vamos a seguir los pasos anteriormente descritos, antes que nada tendremos en cuenta que f(x)=y, por tanto empezaremos nuestros pasos a partir de la siguiente función: y=3x+5.

1º. Hacemos el cambio, obteniendo: x=3y+5. 2º. Despejamos y en función de x: 3y=x-5; y=(x-5)/3. 3º. Por tanto la función inversa es y=(x-5)/3. Ejemplo 2: Calcular la siguiente función inversa:

1º. Hacemos el cambio de y por x:

2º. Despejamos la y

: 3º. Finalmente, la función inversa es:...