Trabajo Práctico Nº 2 PDF

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Objetivos :Con este Trabajo práctico nos proponemos: Encontrar el conjunto solución de ecuaciones y desigualdades que incluyen expresiones con valor absoluto, aplicando adecuadamente propiedades. Resolver situaciones problemáticas contextualizadas en las ciencias económicas aplicando apropiadamente ...

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Objetivos: Con este Trabajo práctico nos proponemos: -

Encontrar el conjunto solución de ecuaciones y desigualdades que incluyen expresiones con valor absoluto, aplicando adecuadamente propiedades. Resolver situaciones problemáticas contextualizadas en las ciencias económicas aplicando apropiadamente modelos matemáticos

Actividades 1. Determina si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. a) Si 𝑥 > 0 entonces 𝑥 2 > 𝑥 b) Al sumar en ambos lados de una desigualdad el mismo número negativo, la desigualdad cambia su sentido. c) Cuando se multiplican ambos lados de una desigualdad por el mismo número positivo, la desigualdad preserva su sentido. d) Si |𝑎| = |𝑏|, entonces 𝑎 = 𝑏. e) El valor absoluto de todo número real siempre es un número positivo. f) Si |𝑥 2 | = |𝑦 2 | entonces 𝑥 = 𝑦 o bien 𝑥 = −𝑦. 2. Encuentra el conjunto solución de las siguientes ecuaciones, aplicando adecuadamente propiedades. a)

|3 − 7𝑥| = 4

g)

b)

|5𝑥 − 3| = |3 − 2𝑥 |

h)

c)

|𝑥 + 2| = |3 − 𝑥 |

i)

d)

|3𝑥 − 2| = 4 − 𝑥

j)

e)

|𝑥 + 3| = 𝑥 − 5

k)

f)

|𝑥 − 3| + 7 = 0

l)

|

𝑥−3 |=1 3𝑥 − 5

1 | − 3| = 4 𝑥

2𝑥 + 1 | | = |3𝑥 − 7| 3

|2𝑥 + 1| − |3𝑥 − 2| = 0 −5𝑥 − 2 |=1 | 𝑥+3

|𝑥 2 − 𝑥 − 6| = 14

3. Encuentra el conjunto solución de las siguientes desigualdades, aplicando adecuadamente propiedades.

𝑥−3 |≤1 3𝑥 + 5

a)

|3𝑥 + 7| < 4

g)

b)

|2 − 5𝑥| ≥ 3

h)

c)

5 + 2|3 − 2𝑥 | < 7

i)

|3𝑥 − 13| + 6 ≥ 0

d)

7 + |5 − 3𝑥 | ≤ 5

j)

|𝑥 − 2| < 3 − 𝑥

e)

|𝑥 + 2| + |2𝑥 − 1| ≥ 0

k)

|2𝑥 2 − 𝑥 − 3| ≥ 7

f)

|3𝑥 − 2| + |2𝑥 − 7| < 0

l)

|4𝑥 2 − 4𝑥 + 1| ≤ 4

|

3𝑥 − 8 | |≥4 2𝑥

4. Acciones. De acuerdo con una predicción de una revista financiera, el precio p (en dólares) de las acciones de la BellCo Credit Union guardan la siguiente relación: |𝑝 − 22| ≤ 5 Establecer entre qué valores se encontrará el precio de estas acciones. 5. Mercado de viviendas. De acuerdo con una encuesta de bienes raíces, el precio (en dólares) de una casa promedio en Vancouver para el próximo año estará dado por |𝑝 − 210000| < 30000. Determine el precio más alto y el más bajo de la casa para el año próximo. 6. Decisión sobre el costo del servicio de telefonía celular. Adriana Rojas va a contratar los servicios de telefonía celular. Después de analizar diversos planes, su decisión queda entre los dos siguientes. El plan A, con un costo mensual de U$S10 dólares mensuales más U$S 0.20 por cada minuto de tiempo aire. El plan B, con un costo mensual de U$S 20 más U$S 0.12 por cada minuto de tiempo aire. Determine el número de minutos mensuales que debe utilizar Adriana para que el plan B sea más barato que el plan A. Nota: Para la resolución del problema plantee una desigualdad usando valores absolutos. 7. Decisión sobre inversiones. Rubén Nava dispone de un total de U$S 55.000 para realizar una inversión. Puede elegir entre bonos emitidos por el estado, que ofrecen una tasa de interés del 6% anual, o bien, con un riesgo mayor, bonos hipotecarios con una tasa de interés del 9% anual. Ante esta situación decide invertir en ambos bonos, pero requiere que en concepto de intereses reciba al menos U$S 3900 al año ¿Qué cantidad máxima debe invertir en los bonos del estado? Resuelva la situación planteando apropiadamente una desigualdad con valores absolutos. 8. Razón de deuda o endeudamiento. La razón de deuda o endeudamiento se define como el cociente entre el pasivo total y el activo total de una organización. Esta medida, habitualmente expresada en porcentaje, sirve para establecer el grado de endeudamiento de una empresa en relación al total de sus activos. Además, ayuda a determinar la capacidad que tiene la empresa para cubrir el total de sus obligaciones. Se considera que un endeudamiento del 60 % es manejable y si es mayor a este porcentaje, muestra que le puede dificultar el otorgamiento de más financiamiento pues estaría dejando una gran parte de su financiación a terceros. Esto podría hacerle perder autonomía a la organización en su administración y gestión y generarle gran carga de intereses. Supongamos que el gerente de una compañía decide pedir un préstamo a corto plazo para hacerse de inventario. La compañía tiene un activo total de U$S 800.000 y un pasivo total de U$S 120.000. ¿Hasta qué importe pueden pedir prestado dinero si quiere que su razón de deuda se encuentre dentro de un valor manejable? Nota: Encuentre este importe usando valor absoluto para modelizar la situación.

9. Ingresos del fabricante. Daniela Espejel puede vender una cierta cantidad de paquetes de software cada semana (que representamos con la variable q), a un precio p expresado en dólares, y ha establecido la siguiente ecuación de demanda: 𝑝 = 70 − 𝑞 ¿Cuántos paquetes por semana debe vender Daniela para obtener ingresos mínimos de U$S1200? Nota: Encuentre la cantidad de paquetes usando valor absoluto para modelizar la situación. 10. Ingresos del fabricante. Manuel Zamora, gerente de una distribuidora de televisores Smart, sabe que a un precio de p dólares por unidad de cierto modelo pueden venderse q unidades al mes y la relación entre precio y las unidades vendidas es 𝑝 = 1000 − 2𝑞. ¿Cuántas unidades debe vender Manuel para que los ingresos mensuales sean de al menos U$S 45.000? El precio de ese modelo de televisor no puede ser menor a U$S 300. 11. Decisiones de producción. Consideremos las mismas condiciones establecidas para el problema anterior. Además, sabemos que los costos totales de la distribuidora de televisores Smart están dados por la siguiente expresión: 𝐶 = 6000 + 300𝑞 Donde C viene dado en dólares y q en cantidades enteras. ¿Cuántas unidades deberán producirse y venderse cada mes para que la utilidad mensual sea al menos $13200? (Recuerde que el precio de ese modelo de televisor no puede ser menor a los U$S 300). 12. Fijación de precios En un terreno de cultivo familiar, Dina Vogt tuvo una cosecha de 500 kilogramos de frutillas, pero debe venderlas rápidamente, pues los costos de almacenamiento son muy altos. Además, sabe que el precio que fije debe ser menor a U$S 5 el kilogramo. Por otro lado, la ecuación de demanda está dada por 𝑞 = 500 − 50𝑝 . ¿En qué intervalo de precios debería estar fijando Dina con el propósito de obtener ingresos de al menos U$S 1200?

Las respuestas que aquí aparecen solo exponen el resultado final de cada actividad. Hay que tener presente los objetivos planteados para el Trabajo Práctico, los cuales implican que los procesos matemáticos llevados a cabo sean adecuados y pertinentes. 1. 1

1

1

a) Falsa. Por ejemplo, si 𝑥 = 2 tendríamos que 2 > 0 y sin embargo 4 <

1

2

b) Falsa. Al sumar un mismo número a ambos miembros de una desigualdad se conserva el sentido. Cambiaría si multiplicamos a ambos miembros o lados de la desigualdad por un número negativo. c) Verdadera. d) Falsa. Si |𝑎| = |𝑏|, entonces 𝑎 = 𝑏 o 𝑎 = −𝑏. e) Falsa. El 0 es un número real y su valor absoluto es 0, que no es ni positivo ni negativo. En realidad el valor absoluto de todo número real siempre es un número no negativo, lo cual nos da la posibilidad de que sea positivo o cero. f) Verdadera

2. a) b) c) d)

1 {− , 1} 7

g)

6 {0, } 7

h)

1 { } 2

i)

3 {−1, } 2

j)

e)

∅

k)

f)

∅

l)

{1,2} 1 {−1, } 7

20 22 { , } 11 7 1 {3, } 5

5 1 {− , } 6 4 {−4,5}

3. a) b)

(−

11 , −1) 3

g)

1 (−∞, − ] ∪ [1, ∞) 5

h)

c)

(1,2)

i)

d)

∅

j)

e)

(−∞, +∞)

k)

f)

∅

l)

1 (−∞, −4] ∪ [− , ∞) 2 8 8 [− , 0) ∪ (0, ] 5 11 (−∞, +∞) 5 (−∞, ) 2

5 (−∞, −2] ∪ [ , ∞) 2 1 3 [− , ] 2 2

Ejemplos de algunos desarrollos e)

|𝑥 + 2| + |2𝑥 − 1| ≥ 0

Determinamos el conjunto de validez de cada expresión que contiene la variable positivo

negativo x+2 –2 2x–1

1/2

Caso A: Ambos negativos −(𝑥 + 2) − (2𝑥 − 1) ≥ 0

−𝑥 − 2 − 2𝑥 + 1 ≥ 0 −3𝑥 − 1 ≥ 0 −3𝑥 ≥ 1

𝑥 ≤ −1/3

Contemplando el conjunto donde esto tiene validez, resulta: (−∞, −2] Caso B: x+2 es positivo y 2x-1 negativo (𝑥 + 2) − (2𝑥 − 1) ≥ 0 𝑥 + 2 − 2𝑥 + 1 ≥ 0 −𝑥 + 3 ≥ 0 −𝑥 ≥ −3 𝑥≤1

Contemplando el conjunto donde esto tiene validez, resulta: (−2, 1] Caso C: Ambos positivos (𝑥 + 2) + (2𝑥 − 1) ≥ 0 𝑥 + 2 + 2𝑥 − 1 ≥ 0 3𝑥 + 1 ≥ 0 3𝑥 ≥ −1

𝑥 ≥ −1/3

Contemplando el conjunto donde esto tiene validez, resulta: [1/2, ∞) En síntesis, la respuesta es la unión de los tres intervalos anteriores, o lo que es lo mismo (−∞, +∞) i)

|3𝑥 − 13| + 6 ≥ 0

Determinamos el conjunto de validez la expresión que contiene la variable negativo

positivo

3x – 13 13/3 Caso A: Cuando 3x – 13 resulta negativo o igual a cero −(3𝑥 − 13) + 6 ≥ 0

−3𝑥 + 13 + 6 ≥ 0

−3𝑥 + 19 ≥ 0 −3𝑥 ≥ −19 𝑥 ≤ 19/3

Contemplando el conjunto donde esto tiene validez, resulta: (−∞, 13/3] Caso B: Cuando 3x – 13 resulta positivo (3𝑥 − 13) + 6 ≥ 0

3𝑥 − 13 + 6 ≥ 0 3𝑥 − 7 ≥ 0 3𝑥 ≥ 7

𝑥 ≥ 7/3

13

Contemplando el conjunto donde esto tiene validez, resulta: ( , +∞) 3 En síntesis, la respuesta es la unión de los tres intervalos anteriores, o lo que es lo mismo (−∞, +∞) 4. Acciones. El precio de las acciones de BellCo Credit Union se encontrará entre U$S 17 y U$S 27. 5. Mercado de viviendas. El precio más bajo estará en U$S 180000 y el más alto de U$S 240000. 6. Decisión sobre el costo del servicio de telefonía celular. Si t representa el tiempo de cada plan de telefonía celular, medido en minutos, tenemos que buscar los valores que satisfacen la siguiente desigualdad: Costo del plan A > Costo del plan B |10 + 0.20𝑡| > |20 + 0.12𝑡|

375

La resolución de la desigualdad matemáticamente arroja como resultado: (−∞, − 4 ) ∪ (125, ∞). No obstante, como estamos trabajando con una variable positiva (tiempo), no tiene sentido los valores negativos. En consecuencia, la respuesta para el problema será que el plan B es más barato que el plan A si se usa el servicio por más de 125 minutos mensuales. 7. Decisión sobre inversiones. El planteo de la situación nos lleva a la siguiente desigualdad: Inversión en bonos del estado + inversión en bonos hipotecarios > 3900 Ahora bien, si designamos con x a la cantidad de dinero que Rubén Nava invierte en bonos del estado, entonces tendrá que colocar la diferencia de dinero en bonos hipotecarios, o sea, 55000 – x. La desigualdad anterior queda conformada de la siguiente manera: |0.06𝑥| + |(55000 − 𝑥)0.09| > 3900 Un desarrollo más detallado de cómo se puede llegar a la solución es el siguiente: |0.06𝑥| + |4950 − 0.09𝑥| > 3900

0.06x

0 55000

4950 − 0.09𝑥 Caso A (negativo el primero y positivo el segundo para el intervalo (−∞, 0)) −0.06𝑥 + 4950 − 0.09𝑥 > 3900 −0.06𝑥 − 0.09𝑥 > 3900 − 4950

−0.15𝑥 > −1050 𝑥 < 7000

Quedaría como solución (−∞, 0).

Caso B (ambos positivos para el intervalo (0,55000) 0.06𝑥 + 4950 − 0.09𝑥 > 3900

𝑥 < 35000

Quedaría como solución (0,35000)

Caso C (primero positivo y el segundo negativo para el intervalo (55000, ∞)) 0.06x-4950+0.09x>3900 0.06𝑥 − 4950 + 0.09𝑥 > 3900

0.15𝑥 > 8850 𝑥 > 59000

Quedaría como solución (59000, ∞). La resolución de esta desigualdad, matemáticamente arroja que el conjunto solución es (−∞, 35000) ∪ (59000, ∞). Como el valor que buscamos es una cantidad de dinero a invertir (que debe ser positiva y al mismo tiempo no podría superar los U$S 50.000) tendremos como respuesta que hasta U$S 35000 debería invertir en bonos del estado para lograr su propósito. 8. Razón de deuda o endeudamiento. Si designamos con x a la cantidad de dinero que pedirá prestado la compañía, tendremos que: 𝑝𝑎𝑠𝑖𝑣𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 | ≤ 0.6 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑢𝑑𝑎 𝑜 𝑒𝑛𝑑𝑒𝑢𝑑𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = | 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 120000 + 𝑥 | | ≤ 0.6 800000 + 𝑥 Matemáticamente la resolución de esta desigualdad arroja como solución valores de x que pertenecen al intervalo [−375000,900000]. Como la variable x representa el préstamo que la compañía pediría, éste debe ser un valor positivo. En consecuencia, puede solicitar un préstamo de hasta U$S 900000.

9. Ingresos del fabricante. La expresión que modeliza la situación problemática es la siguiente: |𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠| ≥ 1200 |𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 × 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑| ≥ 1200

Como el precio está regulado por la ecuación de demanda, es equivalente a expresar: |𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 × 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑| ≥ 1200 |(70 − 𝑞). 𝑞| ≥ 1200

Para resolver esta desigualdad, que tiene valor absoluto, tenemos que determinar cuándo la expresión cobra valores positivos y cuándo negativos. De esta manera, aplicaremos posteriormente la definición de valor absoluto. Comencemos por determinar conjuntos de positividad y negatividad. La expresión (70 − 𝑞 ). 𝑞 se hace cero para 𝑞 = 0 y para 𝑞 = 70. En consecuencia: (70 − 𝑞). 𝑞

positivo

negativo 0

negativo 70

Como buscamos ingresos positivos o iguales a cero, nuestro intervalo de análisis ce centra en [0, 70]. En este caso, podemos considerar que lo contenido en la barra de valor absoluto es positivo y podemos quitarla. Por esta razón, queda: (70 − 𝑞) ∙ 𝑞 ≥ 1200 Es una expresión de segundo grado, para la cual tenemos que ver cuándo se cumple la siguiente relación (surge de aplicar distributivas y expresar todo en el miembro de la izquierda). −𝑞2 + 70𝑞 − 1200 ≥ 0 Nuevamente, analizamos el conjunto positividad y negatividad de la expresión de segundo grado (calculando previamente las raíces y analizando intervalos).

2

−𝑞 + 70𝑞 − 1200

positivo

negativo 30

negativo 40

La expresión ex mayor o igual a cero en el intervalo [30, 40], el cual está incluido en el conjunto que estamos considerando, que es el intervalo [0,70]. Por esta razón, es una respuesta para el problema. Si continuamos el análisis, para los casos negativos, encontraríamos el siguiente conjunto solución: {𝑞 ≤ −14,24, 𝑞 ≥ 84.24} En notación conjuntista, incluyendo la solución para el caso de ser positivo, esto es equivalente a: (−∞;−14.24] ∪ [30,40] ∪ [84.24, ∞) Sabemos que la cantidad de paquetes de software debe ser positiva y que valores superiores a los 84 paquetes provocaría precios negativos (lo cual no tiene sentido). En consecuencia, Daniela tendría que estar vendiendo entre 30 y 40 paquetes de software a la semana.

10. Ingresos del fabricante. Planteando una resolución análoga al problema anterior resulta |(1000 − 2𝑞). 𝑞| ≥ 45000 La solución matemática de esta desigualdad es la siguiente (un camino posible de los múltiples que tendríamos): |(1000 − 2𝑞). 𝑞| ≥ 45000 |1000 − 2𝑞||𝑞| ≥ 45000

Hacemos un análisis de conjuntos de positividad y negatividad:

Caso A. El conjunto solución debe encontrarse en el intervalo (−∞, 0] (1000 − 2𝑞) ∗ (−𝑞) ≥ 45000 2𝑞2 − 1000𝑞 ≥ 45000

2𝑞2 − 1000𝑞 − 45000 ≥ 0 Si pensamos que el miembro de la izquierda podemos interpretarlo como una parábola, estaríamos analizando para qué valores de la variable independiente resulta mayor o igual a cero. Gráficamente quedaría:

Si analizamos, el conjunto solución se encuentra en (−∞, −41.55] ∪ [541.55, ∞) pero solamente uno de ellos cae dentro del caso de estudio. Por esta razón, la solución parcial es (−∞, −41.55]. Caso B. El conjunto solución debe encontrarse en el intervalo [0,500] (1000 − 2𝑞) ∗ 𝑞 ≥ 45000 −2𝑞2 + 1000𝑞 ≥ 45000

−2𝑞2 + 1000𝑞 − 45000 ≥ 0 Si pensamos que el miembro de la izquierda podemos interpretarlo como una parábola, estaríamos analizando para qué valores de la variable independiente resulta mayor o igual a cero. Gráficamente quedaría:

Si analizamos, el conjunto solución se encuentra en [50,450] y como cae dentro de nuestro caso de estudio, es una solución posible. Caso C. El conjunto solución debe encontrarse en el intervalo [500, ∞) −(1000 − 2𝑞) ∗ 𝑞 ≥ 45000 2𝑞2 − 1000𝑞 ≥ 45000

2𝑞2 − 1000𝑞 − 45000 ≥ 0 Si pensamos que el miembro de la izquierda podemos interpretarlo como una parábola, estaríamos analizando para qué valores de la variable independiente resulta mayor o igual a cero. Gráficamente quedaría:

Si analizamos, el conjunto solución se encuentra en (−∞, −41.55] ∪ [541.55, ∞) pero solamente uno de ellos cae dentro del caso de estudio. Por esta razón, la solución parcial es [541.55, ∞). En consecuencia, desde el punto de vista matemático, el conjunto solución resulta: {𝑞 ≤ −41.55; 50 ≤ 𝑞 ≤ 450; 𝑞 ≥ 541.55} En notación conjuntista tendríamos:

(−∞;−41.55] ∪ [50,450] ∪ [541.55, ∞) Sabemos que la cantidad de televisores debe ser positiva y que valores superiores a los 450 provocaría precios negativos (lo cual no tiene sentido). Esto nos dejaría como solución que la cantidad de televisores a vender debe ser de 50 a 450. Ahora bien, como el precio no puede ser menor a los U$S 300, esto implica que la ecuación de demanda debe satisfacer la siguiente desigualdad: (1000 − 2𝑞) ≥ 300

La resolución matemática de la misma establece que el conjunto solución son los valores 𝑞 ≤ 350. Como repuesta final tenemos que la cantidad de televisores Smart que deben ser vendidos para cumplir con las condiciones del problema se encuentra entre 50 y 350. 11. Decisiones de producción. La expresión que modeliza la situación problemática es la siguiente: |𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠| ≥ 13200

|𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠 − 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠| ≥ 13200 |(1000 − 2𝑞). 𝑞 − (6000 + 300𝑞)| ≥ 13200 |1000𝑞 − 2𝑞 2 − 6000 − 300𝑞| ≥ 13200 |−2𝑞2 + 700𝑞 − 6000| ≥ 13200

La solución matemática de esta desigualdad con módulo arroja como solución el siguiente conjunto de números reales: {𝑞 ≤ −10; 30 ≤ 𝑞 ≤ 320; 𝑞 ≥ 360} En notación conjuntista esto sería: (−∞;−10] ∪ [30,320] ∪ [360, −∞) Si tenemos en cuenta todas las restricciones impuestas al problema, deberían producirse y venderse entre 30 y 320 televisores Smart para cumplir con el propósito. 12. Fijación de precios. La expresión que modeliza la situación problemática es la siguiente: |𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠| ≥ 1200 |𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 × 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑| ≥ 1200

Como la cantidad y el precio están relacionados por la ecuación de demanda, tendremos: |𝑝. (500 − 50𝑝| ≥ 1200 La solución matemática de esta desigualdad con valor absoluto arroja el siguiente conjunto solución: {𝑞 ≤ −2, 4 ≤ 𝑞 ≤ 6, 𝑞 ≥ 12} En notación conjuntista esto es equivalente a: (−∞;−2] ∪ [4,6] ∪ [12, −∞) Sabemos que debe ser positivo y menor a U$S 5 por kilogramo y además, valores superiores a los U$S 12 corresponderían a cantidades negativas que se demandan (lo cual no tiene sentido). En consecuencia, Dina tendría que estar vendiendo las frutillas entre U$S 4 y U$S 5 el kilogramo para cumplir con su cometido....