Unidad 1 Tarea 1 El Concepto de Integral PDF

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Ejercicios calculo integral...

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UNIDAD 1 - TAREA 1 – EL CONCEPTO DE INTEGRAL

LUZ DANIELA OTERO HURTADO

Tutor: CARLOS MAURICIO SALAS

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CÁLCULO INTEGRAL SEPTIEMBRE 2020

INTRODUCCION

Las funciones matemáticas son un tipo de relación que acepta una sola interpretación, donde a un elemento de un conjunto llamado dominio le corresponde un elemento de un conjunto denominado contradominio. Entre el elemento del dominio y del contradominio, existe una relación o hilo conductor que lleva a saber sin error su correspondiente imagen y en sentido inverso al correspondiente elemento del dominio. Esta es la forma de la función inversa para ir en uno u otro sentido en una función. De esta forma, existe una forma de calcular la derivada de una función y encontrar en sentido inverso, a partir de la función derivada, la función que es su antiderivada y se denomina función primitiva de la derivada que, en el cálculo diferencial, se denomina integral de una función, esto es, una operación donde, dada una función, permite determinar su función primitiva.

El presente trabajo es la aplicación práctica y la identificación de los conceptos propios de la antiderivada y el teorema fundamental del cálculo, para la comprensión y solución de problemas de integrales definidas e indefinidas.

UNIDAD 1 - TAREA 1 – EL CONCEPTO DE INTEGRAL

DESARROLLO DEL EJERCICIO C DEL TIPO DE EJERCICIOS 1. INTEGRALES INMEDIATAS

Consultar en el entorno de aprendizaje el siguiente recurso:

Ortiz, F., & Ortiz, F. (2015). Cálculo Integral. Grupo editorial patria. (pp. 36 - 42).

Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el álgebra, la trigonometría y propiedades matemáticas para reducir las funciones a integrales inmediatas. Recuerde que no debe hacer uso de los métodos de integración (sustitución, integración por partes, etc.), y compruebe su respuesta derivando el resultado.

c.

∫ sec w ( sec w + tan w)dw

∫ sec w ( sec w +tan w)dw=∫ ( sec2 w+ sec w tan w ) dw=∫ sec2 w dw+∫ sec w tan w dw Acorde a las integrales inmediatas:

∫ sec2 w dw=tan w+C ∫ sec w tan w dw=sec w +C

∫ sec w(sec w+ tan w)dw=tan w+ sec w +C Derivamos el resultado para comprobar:

d d d d ( tan w+ sec w + C ) = sec w + C tan w+ dw dw dw dw

1 d 2 tan w =1+ tan2 w = 2 =sec w dw cos w d sec w= sec w tan w dw d C=0 dw d ( tan w+ sec w + C ) = sec2 w+sec w tan w+ 0= sec w ( sec w +tan w ) dw https://personal.us.es/dariza/docencia/tablas/tabla_derivadas.pdf consultada el 13 de septiembre de 2020

DESARROLLO DEL EJERCICIO C DEL TIPO DE EJERCICIOS 2. SUMAS DE RIEMANN

Consultar en el entorno de aprendizaje el siguiente recurso:

Rivera, F. (2014). Calculo integral: sucesiones y series de funciones. México: Larousse – Grupo Editorial Patria. (pp. 27 – 38). Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando las Sumas de Riemann: Ejercicio c.

2



Aproxime la integral definida

∫ ( x 2−4 x + 4 ) dx

, mediante la suma de Riemann del punto

1

izquierdo, con �=5. 2

Dada la integral

∫ ( x 2−4 x +4 ) dx

, consideramos una partición del intervalo [1,2] en 5 áreas. La

1

suma de Riemann del punto izquierdo viene dada por:

N −1

b

f ( x i) ∆ x ∫ f (x)dx ≈ ∑ i=0 a

∆ x=

b−a 2−1 1 = = n 5 5

1 5+i x i=a+i ∆ x=1+i× = 5 5

[( ) ( ) ]( )

2 1 5+ i 5+i +4 =¿ −4 5 5 5

2

4 4 5+i 1 2 ( ) x −4 x +4 f dx= = ∫ ∑ ∑¿ i=0

1

[

( 5 )( 5 )

i=0

]( ) [

]( ) [ 4

4

]( )

1 1 1 2 2 1 1 4 2 25+10 i+i2 20+ 4 i =¿ ∑ 1 + i+ i2−4− i+4 =∑ i − i+1 − +4 5 25 25 5 5 5 5 5 25 5 i=0 i=0 4

¿ ∑ i=0

[

]

1 2 2 1 9 4 1 11 1 16 i − i+ =¿ + + + + = ≈ 0.44 125 5 125 125 125 125 25 25 5 4

¿∑¿ i=0



Grafica en GeoGebra la suma de Riemann para �=5, �=14 y compara con el resultado de la integral definida.

https://www.geogebra.org/m/ybDxNjzf consultada el 16 de septiembre de 2020

https://www.geogebra.org/m/ybDxNjzf consultada el 16 de septiembre de 2020

2 2

1

[ ] [ ] 3 2

2

x dx−4 ∫ xdx+4 ∫ dx=¿ 1

x 3

2

−4

1

2 2 8 1 x +4 [ x ]1= − −8+2+ 8−4 2 1 3 3

2

2

∫( x2 −4 x +4 )dx=∫ ¿ 1

1

2

∫ ( x 2−4 x +4 ) dx= 31 =0.3333 1

2

La integral definida

∫ ( x 2−4 x +4 ) dx

se puede calcular mediante el uso de sucesiones de sumas

1

inferiores o del uso de sucesiones de sumas superiores; de hecho, puede usarse cualesquier sucesión de sumas de Riemann. En el ejercicio podemos observar que la suma de Riemann del punto izquierdo nos ayuda a aproximar el área bajo la curva representada por la integral definida 2

∫ ( x 2−4 x +4 ) dx

, para �=5 tenemos que el área aproximada es de 0.44 y para �=14 el área

1

aproximada es de 0.36989, se puede observar que es una sobrestimación del área real que es de 0.333. Esta aproximación se mejora al dividir nuestra área en más rectángulos con bases menores, es decir, al usar n, con valores mayores que tiendan al infinito. 

¿Qué se puede concluir al aumentar el número de rectángulos?

Al dividir nuestra área en más rectángulos con bases menores, es decir, al usar n, con valores mayores, nos acercará aún más al área real bajo la curva, pero debemos recordar que una aproximación siempre es solo una aproximación. Si consideramos una suma de Riemann con un número infinito de subdivisiones iguales, esto nos llevaría a calcular el límite de una suma de Riemann y en infinito, siempre obtendremos el valor exacto de la integral definida.

DESARROLLO DEL EJERCICIO C DEL TIPO DE EJERCICIOS 3. TEOREMAS DE INTEGRACIÓN.

Consultar en el entorno de aprendizaje el siguiente recurso:

Guerrero, G. (2014). Cálculo Integral: Serie Universitaria Patria. México: Grupo Editorial Patria. (pp. 14 - 16).

Desarrollar los ejercicios seleccionados derivando G′(�) de las siguientes funciones. Aplicar el siguiente Teorema de integración en cada ejercicio:

d dx

(∫

)

b (x)

f (t)dt =f ( b ( x ) ) . ( b ´ ( x ) )−f ( a ( x )) . ( a´ ( x ) )

a (x)

Ejercicio c. 2x

3

1 /2

2 4 G (x ) = ∫ t ( t +1 ) −5 x

dt

2

b(x )=2 x 3 → b ´ (x )=6 x 2 a(x )=−5 x 2 → a ' ( x )=−10 x

d G' ( x ) = dx

[

(∫

b (x)

a (x)

) (∫

d f (t)dt = dx

1 /2

3 3 ¿ ( 2 x ) ( ( 2 x ) +1 ) 2

4

¿ 6 x 2 [ 4 x 6 ( 16 x 12 + 1)

2 x3

1 /2

−5 x 2

] . (6 x ) −[( −5 x ) ( (−5 x

1/ 2

22

2

] +10 x [2 5 x 1/ 2

)

t2 ( t 4 +1 ) dt =f (2 x 3 ) . ( 6 x 2) −f ( −5 x 2 ) . (−10 x ) =¿

4

1 /2

) +1)

2 4

] . (−10 x) =¿

( 625 x 8 + 1 ) ]=2 4 x 8 ( 16 x 12 + 1) +250 x 5 ( 625 x 8 + 1)

G' ( x ) =24 x 8( 16 x 12 + 1) +250 x 5 (625 x8 + 1 )

1 /2

1/ 2

1 /2

1/2

DESARROLLO DEL EJERCICIO C DEL TIPO DE EJERCICIOS 4. INTEGRAL DEFINIDA.

Consultar en el entorno de aprendizaje el siguiente recurso:

Spivak, M. (2018). Calculus (3ª. ed.). Barcelona: Editorial Reverté. (pp. 299 - 303).

Segura, A. (2014). Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Económico-Administrativas: Simplicidad Matemática. Grupo Editorial Patria. (pp. 201 – 203). Desarrollar el ejercicio que ha elegido por medio del segundo teorema fundamental del cálculo, utilizando el álgebra, la trigonometría y propiedades matemáticas para reducir las funciones a integrales inmediatas, recuerde que no debe hacer uso de los métodos de integración (sustitución, integración por partes, etc.)

Ejercicio c. Calcular la siguiente integral definida: π 2

2

∫ 1−sectan2 x x dx 0

El segundo Teorema Fundamental del Cálculo Integral es una propiedad de las funciones continuas que permite calcular fácilmente el valor de la integral definida a partir de cualquiera de las primitivas de la función. Dada una función f(x) integrable en el intervalo [a,b] y sea F(x) cualquier función primitiva de f, es decir F’(x)=f(x). Entonces: b

∫ f ( x ) dx = F( b )−F ( a ) a

Aplicamos identidades trigonométricas para reducir la función f(x): 2

2

sen2 x cos x−sen x 2 2 cos2 x 1−tan x cos x 2 2 = = =cos x−sen x =cos ( 2 x ) 2 1 1 sec x 2 2 cos x cos x 1−

cos (2 x )dx=¿

[

]

( ( ))

2

π 2

π

1 1 1 π − sen ( 2( 0 ) ) sen ( 2 x ) 2 = sen 2 2 2 2 2 0 1−tan x dx=¿∫ ¿ sec2 x 0 π 2

∫¿ 0

π 2

∫ 0

2

1− tan x 1 1 1 1 dx = sen ( π ) − sen (0 )= (0 )− ( 0 )=0 2 2 2 2 2 sec x

Después de calcular la integral, graficar la función y sombrear la región solicitada que acaba de integrar utilizando el programa Geogebra.

https://www.geogebra.org/classic?lang=es consultada el 16 de septiembre de 2020

BIBLIOGRAFIA

Ortiz, F., & Ortiz, F. (2015). Cálculo Integral. Grupo editorial patria. (pp. 36 - 42). Rivera, F. (2014). Calculo integral: sucesiones y series de funciones. México: Larousse – Grupo Editorial Patria. (pp. 27 – 38).

Guerrero, G. (2014). Cálculo Integral: Serie Universitaria Patria. México: Grupo Editorial Patria. (pp. 14 - 16).

Spivak, M. (2018). Calculus (3ª. ed.). Barcelona: Editorial Reverté. (pp. 299 - 303).

Segura, A. (2014). Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Económico-Administrativas: Simplicidad Matemática. Grupo Editorial Patria. (pp. 201 – 203)....