Unidad 6trigonometria PDF

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Trigonometría Resolución de triángulos. Razones trigonométricas de un ángulo agudo. ∆

Consideraremos el triángulo rectángulo ABC tal que A = 90 º

Recordemos que en triángulo rectángulo cualquiera se cumplía el teorema de Pitágoras: a 2 = b2 + c 2

Definimos seno del ángulo α y lo representamos por sen α AB cateto opuesto senα = = hipotenusa CB Definimos coseno del ángulo α y lo representamos por cos α CA cateto contiguo cos α = = hipotenusa CB Definimos tangente del ángulo α y lo representamos por tg α AB cateto opuesto tgα = = CA catet o contiguo

Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera. Sea el punto Q(x,y) Consideramos la circunferencia de centro O que pasa por el punto Q y tiene radio r. Consideramos el ángulo α = ∠POQ Definimos: y senα = r x cos α = r y tgα = x

Relaciones fundamentales entre las razones trigonométricas. Dado un ángulo α se cumplen las siguientes relaciones: sen 2 α + cos 2 α = 1 sen α cos α Estas dos identidades se llaman relaciones fundamentales de la trigonometría. tg α =

Uso de la calculadora: Modos angulares de la calculadora: MODE DEG medidas sexagesimales MODE GRA medidas centesimales MODE RAD medidas en radianes Conociendo el ángulo α se pueden calcular las razones trigonométricas con las teclas sin cos tan Ejemplo: Calcula tg 43 º 25'50" , sen50º30’, Con calculadoras antiguas: 43 º’” 25 º’” 50 º’” tan = 0.9467 50

º’”

sin

=

0.7716

Con calculadoras nuevas tan 43 º’” 25

º’”

50

º’”

sen

º’”

=

0.7716

50

30

º’”

º’”

30

=

0.9467

Conociendo las razones trigonométricas del ángulo α podemos calcular el ángulo α con las teclas sin− 1 cos − 1 tan −1 Ejemplo: α =arcsin( 0.34 ) Calcula el ángulo α tal que senα = 0.34 . Con calculadoras antiguas: 19º52’37” 0.34 sin −1 SHIFT º ’ ”

Con calculadoras nuevas: SHIFT º ’ ” sin −1 0.34 =

19º52’37”

Resolución de triángulos rectángulos. Resolver un triángulo es determinar los tres lados y los tres ángulos. Con la ayuda del teorema de Pitágoras, de las razones trigonométricas, y de la calculadora se puede resolver cualquier triángulo rectángulo. Veamos los siguientes ejercicios: Problema 1: ∆

Del triángulo rectángulo ABC tal que A = 90 º conocemos a = 5cm, b = 4cm Determina todos los lados, los ángulos y el área del triángulo. Aplicando el teorema de Pitágoras: a 2 = b2 + c 2 5 2 = 4 2 + c 2 , 25 = 16 + c2 , c 2 = 9 Entonces c = 3 . Aplicando cualquier razón trigonométrica podemos calcular el ángulo C. b 4 cos C = , cos C = = 0'8 a 5 Con la ayuda de la calculadora C =arccos 0.8 =36 º52'12" Sabiendo que los tres ángulos de un triángulo suman 180º ( A +B +C =180 º ) Tenemos que B + C = 90 º , entonces B = 90 º −C =90 º −36 º52'12" = 53 º7'48" b ⋅c 4 ⋅3 = = 6cm2 Por ser el triángulo rectángulo, el área es S = 2 2 Problema 2: Para subir al Miquelet de Valencia utilizamos una escalera exterior de 55m, que forma con la horizontal un ángulo de 67º36’. Con estos datos calcula la altura del Miquelet. Notemos que la horizontal, y el Miquelet forman un ángulo recto. Sea x la altura del Miquelet, Utilizando la razón trigonométrica seno, x sen 67 º 36' = 55 Entonces, x = 55 ⋅ sen 67 º 36' = 50'85m Problema 3: El ángulo de elevación de la cima de una torre medido desde un punto C de La horizontal es de 22º. Avanzando 12 metros hacia a la torre, volvemos a medir El ángulo de elevación que es de 45º. Calcula la altura de la torre. Solución: Dibujamos el gráfico siguiente:

Sea x = AD , sea h = AB

∆

h 12 + x ∆ h Sea el triángulo rectángulo ABD tg 45 º = x Con la ayuda de la calculadora tg22 º =0' 4040, tg 45 º = 1 Consideramos el siguiente sistema de ecuaciones: ⎧h = (12 + x ) ⋅ 0' 4040 ⎧h = (12 + x )tg22 º substituyendo ⎨ ⎨ ⎩h = x ⎩h = x ⋅ tg 45 º Sea el triángulo rectángulo ABC

tg22 º =

⎧h = x ⎨ ⎩x = (12 + x) ⋅ 0' 4040 ⎧h = x ⎨ ⎩x = 4. 8480 + 0' 4040 x ⎧h = 8'1342m ⎨ ⎩x = 8'1342m Entonces la altura de la torre es 8’1342m Problema 4: Calcula el lado y la apotema de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio 5cm. Solución: Sea r = OA = 5 el radio de la circunferencia circunscrita al pentágono regular. Sea el lado del pentágono x = AB Sea la apotema del pentágono y = OC El ángulo ∠AOB =

360 º = 72 º 5 ∆

Consideramos el triángulo isósceles ABO ∆

La altura del triángulo divide al triángulo ABO en dos triángulos rectángulos iguales. ∆

Consideramos el triángulo rectángulo CBO 72 º = 36 º El ángulo ∠COB = 2 AB x = OC = y Sean, CB = 2 2 Aplicando las razones trigonométricas: x x CB 2 sen36 º = sen 36 º = = 5 10 OB

Haciendo uso de la calculadora: x 0'5878 = , entonces el lado del pentágono mide x =5'878cm 10 OC y cos 36 º = = OB 5 Usando la calculadora: y 0'8090 = , entonces la apotema del pentágono mide y =4'045cm 5

Teorema de los senos ∆

Los lados de un triángulo ABC son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos: a b c = = ˆ ˆ ˆ sen A sen B sen C

Teorema del coseno. ∆

Sea el triángulo ABC . Se cumplen las siguientes igualdades. a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ⋅cos Aˆ b 2 = a 2 + c 2 − 2ac ⋅cos Bˆ c

2

ˆ = a 2 +b 2 − 2ab ⋅cos C

Cálculo del área de un triángulo. S=

b ⋅ c ⋅ senAˆ 2

S =

ˆ a ⋅ c ⋅ sen B 2

S=

ˆ a ⋅ b ⋅ sen C 2

Para resolver los triángulos, es de gran ayuda tener nociones de dibujo. Casi todos los problemas se pueden dibujar con regla, escuadra, compás y transportador de ángulos. Problema 5: ∆

Resuelve el triángulo ABC , conocidos a = 12, Bˆ = 45 º , Cˆ = 105 º

Solución: Las incógnitas son b, c, Aˆ ˆ = 180 º Aˆ + Bˆ + C

(

)

Aˆ = 180 º − Bˆ + Cˆ = 180 º−( 4º+ 105 º ) = 30 º A partir del teorema de los senos:

a

=

b

=

c

ˆ sen C ˆ sen Aˆ sen B 12 b sen 50 º = ⇒ b = 12 ⋅ ≈ 21'75 sen 25 º sen 50 º sen 25 º sen105 º 12 c = ⇒ c = 12 ⋅ ≈ 27'43 sen 25 º sen 25 º sen105 º Problema 6: ∆

Resuelve el triángulo ABC , conocidos a = 12, b = 9, Cˆ = 35 º Solución: Las incógnitas son c, Aˆ, Bˆ A partir del teorema del coseno: ˆ c 2 = a 2 + b 2 − 2ab ⋅ cos C c 2 = 12 2 + 9 2 − 2 ⋅ 12 ⋅ 9 ⋅ cos 35 º

c 2 = 225 − 176'94

⇒

c2 = 48'06 ⇒ c = 48'06 ≈ 6'93 ˆ , Bˆ aplicaremos el teorema del coseno. Para calcular los ángulos A 2 2 2 ˆ a = b + c − 2bc ⋅ cos A

(

⇒

cos Aˆ =

)

2 2 2 a − (b + c ) − 2bc

2 2 12 − 9 + 48'06 = −0'1198 cos Aˆ = − 2 ⋅ 9 ⋅ 6'93 Usando de la calculadora: Aˆ = arccos( −0'1198 ) ≈ 96 º 53' ˆ = 180 º , por tanto, Aˆ + Bˆ + C

Bˆ = 180 º −( Aˆ + Cˆ) = 180 º −(35 º +96 º 53' ) ≈ 48 º7' Problema 7: ∆

Resuelve el triángulo ABC , conocidos a = 16, b = 8, c = 12 Solución: Las incógnitas son Aˆ, Bˆ, Cˆ Podemos observar que el problema tiene solución, porque, a+b > c a+ c > b

b+c > a Aplicando el teorema del coseno: ˆ a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ⋅ cos A 16 2 − (8 2 + 12 2 ) cos Aˆ = − 2 ⋅ 8 ⋅ 12

⇒ ⇒

a 2 − (b 2 + c 2 ) cos Aˆ = − 2bc − 1 ˆ = cos A 4

⎛ − 1⎞ Con la ayuda de la calculadora A = arccos⎜ ⎟ ≈104 º 29' ⎝ 4 ⎠ 2 2 2 b = a + c − 2ac ⋅ cos Bˆ

⇒

cos Bˆ =

2 2 2 b − (a + c ) − 2ac

⎛7 ⎞ 7 Con la ayuda de la calculadora Bˆ = arccos ⎜ ⎟ ≈28 º 57' 8 ⎝8 ⎠ ˆ = 180 º , por tanto, Aˆ + Bˆ + C Cˆ = 180 º−(Aˆ + Bˆ) = 180 º −(104 º 29' +28 º57' ) ≈ 46 º 34' cos Bˆ =

Problema 8: ∆

Resuelve el triángulo ABC , conocidos a = 60, b = 30, Bˆ = 25 º Solución: Las incógnitas son c, Aˆ, Cˆ Aplicando el teorema de los senos, a b 60 30 = ⇒ = ˆ ˆ ˆ sen A sen B sen A sen 25 º ⋅ 60 sen 25 º sen Aˆ = = 0'84524 30 Con la ayuda de la calculadora: ⎧ 57 º 42' A = arcsen( 0. 84524 ) ≈ ⎨ ⎩122 º18' El problema tiene dos soluciones: Primera solución: Si Aˆ ≈ 57 º 42' ˆ = 180 º , por tanto, Aˆ + Bˆ + C Cˆ = 180 º −(Aˆ + Bˆ) ≈ 97 º18' Por el teorema de los senos: ˆ 60 ⋅ sen 97 º18' sen C c = a⋅ = ≈ 70' 41 ˆ sen 57 º 42' sen A Segunda solución: Si Aˆ ≈ 122 º18' Cˆ = 180 º −(Aˆ + Bˆ) ≈ 32 º 42' Por el teorema de los senos: ˆ sen C 60 ⋅ sen32 º 42' c = a⋅ ≈ 38'35 a= ˆ sen 57 º 42' sen A

Problema 9: ∆

Calcula el área del triángulo ABC conocidos b = 80cm, c = 60cm, Aˆ = 35 º Solución: El área del triángulo es S=

b ⋅ c ⋅ senAˆ , por tanto, 2

S=

bc ⋅ sen Aˆ 80 ⋅ 60 ⋅ sen 35 º = ≈ 1375 '58cm2 2 2

Problemas propuestos de triangulos ∆

1 Resuelve los triángulos rectángulos ABC , A = 90 º conocidos: a) b) c) d) e) f)

a = 100cm, b = 7cm b = 25m, c = 35m a = 10cm, B = 40 º 35' b = 75m, B = 55 º b = 10cm, C = 32 º 30' 1 c = 10cm, senC = 5

g) b = 10m, tg C = 5

2 Calcula la altura de la torre.

3 Calcula el área y la apotema de un decágono regular de lado 20cm. 4 Calcula el perímetro y el área de un decágono regular de apotema 10cm.

5 Calcula el lado y el área de un decágono regular inscrito en una circunferencia de radio 10cm 6 Calcula el área y la apotema de un pentágono regular de perímetro 100cm.

7 Calcula los ángulos y el lado de un rombo de diagonales 60cm, 80cm. 8 Calcula el área y el perímetro de un dodecágono regular inscrito en una circunferencia de 10cm de radio. 9 El área de un triángulo rectángulo es 6m2 y la hipotenusa mesura 5m. Calcula los ángulos y los catetos del triángulo rectángulo. 10 Calcula la altura de una torre, sabiendo que el ángulo de elevación desde un punto A y la horizontal es de 45º, que desde un punto B a 25m del punto A y más cerca de la torre el ángulo de elevación es de 60º. 11 Resuelve: a) Datos conocidos: BD = 10cm, ∠ ABC = 60 º , ∠ ADC = 45 º Incógnitas: AC, BC, ∠ BCD

b) Datos conocidos: CD = 10cm, AB = 4cm , ∠ ADC = 25 º Incógnitas: BC, BD, ∠ BCD c) Datos conocidos: BC = 20cm, ∠ACB = 30 º , ∠BCD = 25 º Incógnitas: AC, CD, ∠BDC 12 Determina el área del paralelogramo siguiente:

13 Determina los ángulos del paralelogramo siguiente:

14 Calcula la altura h de la siguiente figura:

15 Resuelve los siguientes triángulos conocidos: a) b = 20cm, c = 35cm, A = 55 º b) a = 15cm, b = 25cm, c = 35cm c) a = 20cm, A = 35 º , B = 75 º d) c = 15cm, A = 25 º , B = 65 º 30' e) a = 30cm, b = 55cm, B = 80 º f) a = 10cm, b = 10cm, c = 8cm g) a =10cm, b = 45cm, C = 30 º 45' h) a = 20cm, c = 60, A = 25 º 16 Calcula el área de los triángulos conocidos: a) a = 25cm, c = 35cm, B = 55 º b) a = 10cm, b = 25cm, c = 30cm c) c = 25cm, A = 35 º , B = 75 º d) a = 30cm, b = 60cm, B = 80 º 17 En el siguiente paralelogramo calcula las diagonales.

18 Calcula la longitud de los lados de un triángulo isósceles sabiendo que la altura sobre el lado desigual mide 15cm y el ángulo desigual 80º. 19 Resuelve un triángulo isósceles sabiendo que los lados iguales miden 10cm y el área mide 40cm 2 ....