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UNIDAD 1: Operaciones financieras Introducción Antes de iniciar el desarrollo de los temas de esta unidad los invitamos a que reconozcan los conocimientos previos que han adquirido en las asignaturas de matemática anteriores a ésta y que son requeridos para facilitar el abordaje de los nuevos aprendizajes. A modo de ejemplo le señalamos que recurriremos a:         

Ecuaciones de 1º y 2º grado. Obtención de factor común y aplicación de propiedad distributiva. Obtención de divisor común. Potenciación y propiedades. Representaciones gráficas de funciones. Logaritmos. Progresiones geométricas y aritméticas: fórmula de sumas de sus términos. Porcentaje. Fórmula del Interés y Monto Simple.

A fin de saber con qué conocimientos previos usted comienza esta asignatura, la primera actividad que le proponemos es una prueba diagnóstico que encontrará en plataforma, su tutor le indicará.

Operaciones financieras Objetivos. Que el alumno logre: 

Reconocer las operaciones financieras simples y las situaciones de la vida real en las que nos encontramos con ellas.



Analizar los elementos que intervienen en ellas.



Conocer el concepto de interés simple y el monto.



Graficar dichas funciones.



Deducir las variables que intervienen.



Distinguir entre interés y tasa de interés.



Incorporar vocabulario técnico.

En la presente unidad nos abocaremos al desarrollo de las operaciones financieras bajo el régimen a interés simple. Los nuevos aprendizajes que sintetizamos en objetivos de este módulo han sido estructurados de tal modo que vinculen los conceptos y las actividades correspondientes, a fin de facilitar el logro de los objetivos propuestos para esta unidad y cuyo esquema conceptual podemos diagramar como sigue: Operaciones financieras simples tiempo Capital inicial

Valor final ó Monto Tasa de interés

Cálculo financiero

Régimen Compuesto

Régimen simple

Podemos representar en un eje lineal de tiempo ese pasaje del Capital al Monto 0 C

1

2

3

4

Desarrollo de la unidad

5

n

M

Una operación financiera es aquella acción que por desplazamiento en el tiempo produce una variación cuantitativa del Capital. También podemos decir: El intercambio no simultáneo de capitales a título oneroso En ella intervienen dos sujetos, uno de ellos entrega al otro un valor y éste se compromete a devolver un importe mayor, después de transcurrido cierto tiempo. De tal concepto se desprende que en las operaciones financieras están siempre presentes:  Acreedor, el que entrega al otro un valor.  Deudor, el que recibe ese valor y se compromete a devolver un importe mayor.  Capital, que entendido como capital financiero (C; t) refiere a una cuantía (C) de unidades monetarias asociada a un momento determinado de tiempo (t). “En una operación financiera siempre estaremos refiriéndonos a capitales equivalentes: hay equivalencia entre dos capitales cuando a su propietario le resulta indiferente una situación u otra. Es decir, si a usted le resulta indiferente cobrar hoy 1.000 pesos a cobrar 1.050 pesos dentro de un año, entonces diremos que ambos capitales (1.000; 0) y (1.050; 1) son equivalentes. De una manera más general, dos capitales cualesquiera, C1 con vencimiento en t1 y C2 con vencimiento en t2, son equivalentes cuando se está de acuerdo en intercambiar uno por otro. El concepto de equivalencia no significa que no haya ganancia o coste en la operación. Todo lo contrario, la equivalencia permite cuantificar ese beneficio o pérdida que estamos dispuestos a asumir en una operación concreta. Esto implica elegir un método matemático que permita dicha sustitución: una ley financiera. La ley financiera se define como un modelo matemático (una fórmula) para cuantificar los intereses por el aplazamiento y/o anticipación de un capital en el tiempo. Un modelo matemático es el régimen de interés simple, por ejemplo y otro, diferente, el régimen compuesto.”

El tiempo, que simbolizaremos “t”, implica el plazo ó período en el que el capital es invertido. La tasa que simbolizaremos “r”, es lo que se obtiene por cada $ 100 de capital invertido. La aplicación de tiempo y tasa a un cierto Capital produce un acrecentamiento llamado “Interés” y que es directamente proporcional al Capital, la tasa y el tiempo.

Por lo tanto :

I = C. r . t 100. ut

Si llamamos “i”, tasa unitaria al cociente r 100 y llamamos “n ” , al cociente t ut Obtenemos una fórmula más simplificada del Interés Simple I = C* i * n

(1)

Veamos un ejemplo en el cual se utilizarán valores que nos permitan apreciar el procedimiento: Supongamos un capital inicial “C” de 100, el cual será impuesto a una tasa de interés, del 10% mensual, siendo el plazo de imposición de 4 meses. Siendo:  “i” = 0,10 mensual  “n” = 4 meses  “C” = 100 I = 100 * 0.10 * 4 I = 40 Es importante que tiempo y tasa estén expresados en la misma unidad, en este caso: mes; para que el resultado sea proporcional. En esta operación se intercambiaron $ 100 por $ 140 ($ 100 + $ 40) a los cuatro meses, siendo $ 40 el precio que se paga por disponer de un capital de $ 100.- por 4 meses. En un eje de tiempo visualizamos el pasaje del capital al monto: 0 $ 100

4 $ 140.-

Ambos capitales 100 y 140 son equivalentes. ¿Cómo definimos el interés? Una definición, entre otras, podría ser: El interés es el importe que se abona por la libre disponibilidad de un capital. La tasa de interés: Podemos definirla como:

La ganancia que produce la unidad de capital en la unidad de tiempo Se mide en tanto por uno, “i”, es decir, lo que se gana por cada peso de capital en un período. En el ejemplo anterior “0,10 mensual”. Aplicaciones: El interés simple se utiliza en diversas operaciones financieras:  depósitos a plazo fijo;  depósitos en Caja de Ahorro dentro del período de acreditación de intereses;  intereses resarcitorios por deudas impositivas;  en algunos casos de sentencias judiciales;  en la venta de cheques diferidos;  en el cálculo de los intereses que pagan los bonos. En el siguiente ejemplo ilustramos los cálculos de interés simple en depósitos para unidades de tiempo diferentes:

La Teoría Matemática del Interés en sus postulados determina:  El Interés es función del tiempo, por lo tanto el capital también lo es, ya que al transcurrir el mismo, el capital inicial se transforma en monto.  El interés se devenga en forma continua cualquiera sea la Ley de apropiación del interés al monto utilizada, y se produce en cada infinitésimo de tiempo.  La capitalización puede ser continua o discontinua y corresponde al momento en que los intereses se suman al capital.  Nosotros realizaremos el análisis en el campo discreto, no en infinitésimos de tiempo, sino en períodos de tiempo definidos: mes, trimestre, días, años, etc.

Capitalización Simple Es la operación financiera mediante la cual se suman intereses simples al capital inicial para determinar el monto En la capitalización simple la suma del interés al capital no tiene otra consecuencia que determinar el monto. La diferencia con el régimen compuesto no está en que en el régimen simple se retiran los intereses y en el compuesto no. Es un modelo diferente en el que la base de cálculo no varía, es siempre el capital original. Esto es importante en el caso de las deudas, razón por la cual, el interés de interés, es considerado “anatocismo” y tiene limitaciones en su aplicación. En el caso específico de un plazo fijo la operación permite extender el certificado por el valor del capital acrecentado por el interés ganado en el período de aplicación. Lectura recomendada N ° 1 Monto Simple En un cuadro de marcha podemos seguir la evolución del capital en el tiempo y los capitales finales ó montos en cada período en un régimen simple. n 1 2 3

Capital C C C

n

C

Interés C *i *1 C *i *2 C *i *3

Monto C+C*i*1=C(1 + i) C+C*i*2=C(1 + 2i) C+C*i*3=C(1 + 3i)

C*i*n

C+C*i*n=C(1 + ni )

Por este método, que parte de lo particular, un capital en el momento 1, llegamos a la misma fórmula que veremos en el título siguiente, deducido del concepto general de monto. Es decir:

M = C (1 + i*n)

Deducción de la fórmula del Monto Simple

El Monto es la suma del Capital más el Interés ganado en el período considerado. Por lo tanto partimos del concepto general: M = C + I Si reemplazamos en la ecuación anterior el Interés por su fórmula indicada en (1) obtenemos: M = C + C*i*n Y sacando factor común C,

M = C (1 + i*n)

Gráficamente y con los datos del ejemplo dado: M$ Interés= 40 Monto : 140

100

Capital=100 0

4

Tiempo (en meses)

Veámoslo ahora sobre un eje de tiempo: 0 1 2 3 4 l l l l l 100 I1 = 100.0,10.1 I2=100.0,10.1 I3=100.0,10.1 I4=100.0,10.1 I1= 10 I2= 10 I3= 10 I4= 10 Como se observa en el gráfico anterior y en el eje de tiempo existe proporcionalidad entre el interés y el tiempo: el monto crece en progresión aritmética1 de razón “I.”. Por lo tanto, el monto de un período deriva de la suma del monto del período anterior más una suma fija o constante y ello sucede porque en cada período la base de cálculo del interés simple es siempre la misma: el capital original que, en el ejemplo, es $ 100.A partir de la fórmula básica del monto es posible despejar las otras variables que intervienen en su cálculo:

C=

M 1+i∗n

( MC −1 ) 1n

i=

n=

( MC −1) 1i

Fórmula del Monto Simple con tasas variables En la fórmula del monto simple obtenida en el parágrafo anterior, la tasa es fija, o sea única para toda la operación. Si la tasa es variable, es decir, si para distintos períodos de tiempo la tasa fluctúa, y el capital es el mismo puede determinarse una fórmula general para ese caso particular. Esta situación se puede dar en el caso de calcular el interés sobre una deuda, por ejemplo, impositiva, cuando la tasa ha ido variando en el tiempo y la deuda no ha sido cancelada y 1 Serie en la cual cada término deriva del anterior más una constante.

considerando que el ente recaudador exija respetar las diferentes tasas que fueron dándose en el tiempo . Para deducir la fórmula a aplicar partimos del concepto de Monto: M=C+I Pero, habrá que obtener intereses parciales para cada período y cada tasa: Por lo tanto:

M= C + I1+I2+I3.......Ip

Reemplazando I1+I2+I3.......Ip

por las fórmulas del interés simple.

Obtenemos:

M= C + C .i1. n1 + C .i2.n2 + C .i3 . n3 +……+ C .ip . np

Se saca factor común C:

M = C (1+ i1.n1 + i2.n2 + i3.n3 + ........ ip . np)

Problemas de tiempo en el Monto Simple  Determinar en que tiempo un capital se transforma en múltiplo de si mismo: Seguimos el siguiente razonamiento: M=mC

siendo“m” el múltiplo

Reemplazando M por su fórmula: C.( 1 + i.n ) = mC Por lo tanto despejando n:

simplificamos “C” en ambos miembros de la ecuación n = m-1 i

Observemos la fórmula hallada!!! : Para obtener el tiempo en que un capital se duplica, triplica, etc., no necesitamos conocer dicho capital sino el múltiplo y la tasa.  Determinar en que tiempo dos capitales distintos C 1 y C2, colocados a distintas tasas, “i1” e “i2” producen igual monto. Partimos de la igualdad requerida, la de los montos, en cada situación para un mismo tiempo “n” M 1 = M2 Reemplazamos por las fórmulas correspondientes: C1 (1 + i1 .n) = C2. (1 + i2 . n) Por propiedad distributiva:

C1

+ C1 . i1 . n = C2 + C2 . i2 . n

Realizando los pasajes correspondientes de un miembro a otro y despejando “n” Llegamos a:

n = C1 - C2 C2 . i2 - C1 . i1

Fórmula que nos permite obtener las siguientes: Conclusiones Para que en un momento determinado se produzca el mismo monto, siendo distintos los capitales y distintas las tasas: 1) Un capital debe ser mayor al otro: C1 > C2. 2) El capital mayor debe estar colocado a una tasa menor. 3) Y el capital menor a una tasa mayor , tal que : C2 . i2 > C1 . i1 O sea, el capital menor por su tasa de un valor superior al capital mayor por su tasa.

Plazo medio Se suponen 2 o más capitales distintos colocados a distintos plazos y a la misma tasa. Plazo Medio es el tiempo promedio al que hay que colocar esos capitales para que den el mismo interés que cada uno de ellos en sus respectivos plazos. La ecuación de la que se parte es: I (con plazo medio) = I1 + I2 (C1+ C2).i.n = C1.i. n1 + C2. i. n2 Siendo la “i” la misma se simplifica , se despeja “n” tiempo medio y la fórmula es: n =

C1. n1 + C 2. n2 (C1+ C2).

Conclusiones:  El plazo medio es independiente de la tasa de interés común  El plazo medio es el promedio ponderado de los plazos a los que los capitales fueron colocados

Tasa media

Se suponen 2 o más capitales distintos colocados a distintas tasas y al mismo plazo. Tasa Media es la tasa promedio a la que hay que colocar esos capitales para que den el mismo interés que cada uno de ellos a sus respectivas tasas. La ecuación de la que se parte es: I (con tasa media) = I1 + I2 (C1+ C2).i.n = C1.i. n1 + C2. i. n2 (C1+ C2).i.n = C1.i1. n + C2. i2. n Siendo “n” el mismo para ambos capitales se simplifica , se despeja “i” tasa media y la fórmula es: i =

C1. i1 + C 2. i2 (C1+ C2).

Conclusiones:  

La tasa media es independiente del plazo común La tasa media es el promedio ponderado de las tasas a las que C1 y C2 fueron colocados.

ACTIVIDADES PROBLEMAS RESUELTOS I) Calcular el interés que producirá un capital de $ 27.600, al 7,5% anual, en 7 años. I = C.i.n I = 27.600x 0.075 x 7 = 14.490 Respuesta: $ 14.490 II) Calcular el interés que producirá un capital de $ 60.000, al 18% anual: a) en 6 meses; b) en 180 días. a) I = 60.000x 0,18 x 6 = 5.400 12 b) I = 60.000x 0,18 x 180 = 5.326,03 365 Respuestas: a) $ 5.400 b) $ 5.326,03 III) Una sentencia judicial ordena el pago de $ 58.726 el 15 de junio más un interés del 8% anual desde el 6 de marzo del mismo año. Calcular la suma que deberá abonarse. M = C (1+ i. n)

Total de días: 101

M = 58.726 (1 + 0,08 x 101 ) = 60.026,02 365 Respuesta: $ 60.026,02 IV) Calcular qué suma deberá invertirse al 18% anual para poder reunir $ 15.000 después de 5 meses. C=

M = 15.000 = 13.953,49 1 + i.n 1 + 0,18 x 5 12

Respuesta: $ 13.953,49 V) Se desea saber cuántos días estuvieron depositados $ 12.000, si al 11% anual permitieron que la suma final retirada fuera de $ 12.542,47 n= M - C = 12.542,47 - 12000 Cxi 12.000 x 0,11 Respuesta: 150 días

= 0,410962121 años = 150 días

VI) Halle el “Valor actualizado c/100 VN” es decir el monto, cada 100 dólares de valor nominal o escrito, del Boden 2012, al 29/07/2005, sabiendo que los mismos se calculan semestralmente (en el presente caso desde el 3/02/2005) a una tasa del 3,01% anual. Recuerde que los intereses se obtienen sobre el valor residual al inicio del periodo. Para más información puede dirigirse a: https://www.portfoliopersonal.com/bonos/bono_info_emision.asp?I=14075&M=1 BODEN 2012

Condiciones de emisión

Gráficos

Emisor:

Gobierno Nacional

Moneda de emisión:

Pesos

Monto de emisión original:

u$s 17.449.800.000 *

Monto de circulación:

u$s 6.545.863.000 *

Fecha de emisión:

03/02/2002

Fecha de vencimiento:

03/08/2012

Plazo:

10 años y 6 meses

Amortización: 8 cuotas anuales, iguales y consecutivas equivalentes cada una al 12.5% del monto emitido, venciendo la primera de ellas el 3 de agosto de 2005. Intereses: Devengarán intereses sobre saldos a partir de la fecha de emisión a la tasa Libor de 180 días, los que serán pagaderos sobre semestre vencido. Garantía:

República Argentina

Otras características: * Fuente: Secretaría de Finanzas al 30-09-09

Los títulos públicos pagan intereses simples , es otro ejemplo de aplicación del régimen simple. Los intereses se pagan vencidos cada semestre desde su emisión y sobre saldos. Al 29/07/2005 , el último pago de intereses se efectuó el 03/02/2005 y hasta el día 29/07/2005 hay 176 ds. Se calculan sobre saldo de deuda y como la primera cuota de amortización de deuda se paga el 03/08/2005 , al 29/07/2005 todavía no se amortizó ninguna cuota de capital y se adeuda el 100% . Por lo tanto el Interés será de acuerdo a la fórmula I= C.i.n recordando que si la tasa es anual habrá que dividir por 365 ds. Y multiplicar por los días que, en este caso hay entre el 3/08 y 29/07 I = 100 x 0.031 x 176 = 1,49 365 El “ Valor actualizado c/ 100 de VN “ es un monto o sea C+I Rta.:

M = 100 + 1,49 = 101,49

Ejercicios a realizar por el alumno 1. Se le pide calcule los intereses resarcitorios de una obligación que Usted tiene con la AFIP. Entre en la página (en link que figura debajo) sabiendo que la obligación venció el 11/01/2006 por $1000 y Usted la abona el día 9/02/2006 tanto capital como intereses, verifique los cálculos. Para ello entre la página correspondiente de la afip. http://www.afip.gob.ar/genericos/calculoInteres/ http://www.afip.gob.ar/genericos/calculoInteres/resarcitorios_main.asp http://www.afip.gob.ar/genericos/calculoInteres/combinado_main.asp http://www.afip.gob.ar/genericos/calculoInteres/evolu_tasas.htm 2. Su cliente , una empresa dedicada a la fabricación y venta de repuestos de automotores le solicita verificar los intereses pagados a favor de la Administración Federal de Ingresos Públicos (AFIP) por la obligación correspondiente al saldo de la Declaración Jurada del Impuesto a las Ganancias 2001 , atento a que AFIP le reclama $ 34,09 más. De las registraciones Ud. obtiene la siguiente información : - Importe de la obligación: $ 1.000,00 - fecha de pago deuda: 31/07/03 - fecha de vencimiento deuda: 20/05/02 - fecha de pago de los intereses: 08/10/03 por $ 501,33 - Las tasas cobradas por AFIP fueron: del 3% para 30 ds. hasta el 30/06/02, del 4% del 1/7/02 al 31/1/03 y del 3% desde 1/2/03 en adelante. Ingrese a la página web de AFIP a fin de obtener el detalle de los intereses calculados por dicha Administración. ¿A qué obedece la diferencia? ¿Corresponde abonarla? 3. Si la obligación hubiese vencido el 11/01/2001 cuál sería el interés a abonar el 9/02/06. En ese lapso las tasas han sufrido variaciones que tendrá que tener en cuenta, utilice para ello lo visto en teoría de tasas variables. 4. Calcule el interés que cobra el banco por la compra de un cheque diferido para el 20/7/2006 sabiendo que se necesitan los fondos acreditados en cuenta para el 10/04/2006, sabiendo que la tasa vigente en este tipo de operatoria es del 18% anual Entrar en siguiente link: http://www.egalicia.com/MigracionV7/FrontEnd/SimuladorDeCompraDeCheques/t_Sim_Chequ es.asp 5. El Sr. Machado dispone de $ 12.500 desea realizar una colocación a plazo fijo con dicho monto, por 35 días. Calcule el monto del certificado. la tasa nominal anual de interés del 15% anual por 30 días. Determine el monto del certificado. Luego de realizar el cálculo con los temas vistos, verifique su resultado entrando en la página que a continuación le incluimos. Para cálculo del plazo fijo:

http://www.elmejortrato.com/deposito-plazo-fijo/Deposito-Plazo-Fijo-Buscar.aspx Si desea comparar otras tasas: http://www.elmejortrato.com/deposito-plazo-fijo/deposito-plazo-fijocomparacion/Deposito-Plazo-Fijo-Comparacion.aspx 6. El Sr. Machado coloca a plazo fijo $ 12.500 a la tasa nominal anual de interés del 6% por 35 ...