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MATEMATICAS I Unidad N I: LOGARITMOS Logaritmo decimal: Es la operación inversa a la potenciación que consiste en calcular la base conociendo la potencia y el exponente de la radicación:

√ a=b ↔b n=a n

Definición: Se llama logaritmo de base “b” de un número “a” a otro número “n” tal que, “b” elevado a la “n” sea igual a “a”. con a›0; b›0; b≠1 logb a=n ↔ a=b n con a>0 ; b>0; b≠ 1

Propiedades 1. 2. 3. 4. 5.

El logaritmo en cualquier base del número 0 no existe. El logaritmo de cualquier base del número 1 es 0. Si en un logaritmo la base y el argumento son iguales, el resultado es igual a 1. Logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo. Logaritmo de una potencia racional es igual al producto de uno sobre el exponente de la raíz por el logaritmo. 6. El logaritmo no es distributivo con respecto a la suma y a la resta, o sea que el logaritmo de una suma algebraica no es igual a la suma algebraica de los logaritmos. 7. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos. 8. El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los logaritmos. 9. Potencia de un logaritmo es igual al resultado del logaritmo elevado a la potencia. 10. Propiedad del cambio de base, se toma log. En base 10 en cada miembro de la igualdad, luego se despeja x. 11. Constante elevada a un logaritmo es igual al argumento del logaritmo.

Definición 1. 2. 3. 4.

logb 0=no existe 0

log b 1=0 ↔ 1=b → 1=1 logb b=1↔ b=b1 →b =b n log b a =n . log b a 1

5. 6.

1 n logb √ a=logb a n = . logb a n x+ y−z ¿ ≠ logb y +log b x −logb z logb ¿

Ejemplo log2 0=no existe log 5 1=0 log4 4=1 1

5 1 5 log2 √32 =log2 32 2 = . log2 32= log2 2 = . log2 2= 2 2 1 1 1 log3 √3=log3 3 2 = . log3 3= 2 2 log2 ( 8− 4 ) ≠ log2 8− log2 4

1

7.

x.y ¿=logb x+ logb y logb ¿ si m=logb x → x=bm

si n=log b y → y=b x y 8. ¿=log x−log y b b logb ¿ m si m=log b x → x=b

2.8 ¿=log2 2+log2 8 → log 2 16=log2 2+ log2 23 → log2 24 log2 ¿

n

si n=logb y → y=bn a log b ¿ 9. ¿ log bn a=¿

2 8 1 3 − ¿=log2 2−log2 8 → log 2 =log2 2−log2 2 → log2 2 4 log2

8 log2 ¿ ¿ 2 3 log2 ¿ ¿ 3 log2 2 =¿ log32 8=¿ log 13 1.113943 =2.334718 = log3 13= log 3 0.477121 3

log 10 a log 10 b log x 11. a =x

10. x=

a

5log 4= 4 5

Ecuaciones logarítmicas Las ecuaciones logarítmicas son expresiones en las cuales se debe llegar a calcular alguna incógnita que de veracidad a la ecuación planteada. log a x−3 log a 2= log a 5

loga x− loga 23= log a 5→ log a

x =loga 5 → propiedad cancelativa 23

logx ¿ ¿ logx ¿ ¿ √ log x2=logx→ log x 2=¿ Después de que se llega a esta instancia hay dos alternativas:

Caso n° 1 ( 2−logx )=

Caso n° 2

0 0 →2−logx=0 → logx=2 → x =102 → i¿ logx=0 → x=10 → x=1 2 logx ii ¿ 2−logx =0 →logx =2→ x=10 → x=100

Lo que ocurre es que en el caso N° 1 al hacer pasaje de termino y simplificar se pierde una solución, razón por la cual el caso correcto es el N° 2. 2

Logaritmos naturales o neperianos Los logaritmos naturales o neperianos se diferencian de los decimales en el hecho de que solo tienen una sola base llamada e=2,718281828… Las propiedades en ambos tipos de logaritmos son iguales, excepto en el caso de la propiedad de cambio de base.

n

lna=n ↔ a=e con a>0 ; n ∈ R

Unidad N II: VALOR ABSOLUTO Definición y su correspondiente demostración:

El valor absoluto es la distancia que existe entre un numero X y el 0. El valor absoluto nunca puede ser negativo, si esto ocurre el conjunto solución en vacío.

|f (x)|= √ f (x )2 |f ( )| f ( ) f ( )

ó f ( ) f( ) Para poder operar con el valor absoluto es necesario establecer algunos teoremas:

Teorema 1 Corolario 1 Teorema 2 Corolario 2

|x|< a →−a< x < a |x|≤a →−a ≤ x ≤ a |x|>a → x> a ó x ←a |x|≥ a→ x ≥ a ó x ≤− a

Ejemplos de aplicación: Ejemplo N 1:

|3−2 x |≤5

−5 ≤3−2 x ≤5 → −5−3 ≤−2 x ≤ 5 −3→−8 ≤−2 x ≤ 2→ 4 ≥ x ≥−1 →−1 ≤ x ≤ 4

Ejemplo N 2: |3 x+ 2|=5 2 2 3 x+2=5 → 3 x+ 2≥ 0 → x ≥− ∨−( 3 x +2 )=5 → 3 x +2...