Vorlesung 6 Beweis Binomialsatz (Satz2 4) PDF

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Dr. Anca Popa

Einführung in mathematisches Denken und Arbeiten: Satz2.4

Beweis des Satzes 2.4

Satz 2.4 (Binomialsatz oder Binomischer Lehrsatz) Für alle a, b ∈ R und alle n ∈ N gilt die Formel n   X n k n−k (a + b) = a b . k k=0 n

Beweis durch vollständige Induktion. (i) Induktionsanfang: n = 1. 1

In der Tat gilt (a + b) = a + b = b + a = (ii)

1 0

0 1

a b +

1 1

1   X 1 k 1−k a b . a b = k 1 0

k=0

a) Induktionsvoraussetzung (I.V.):

n   X n k n−k a b für ein beliebiges, aber Wir nehmen an, dass die Aussage (a + b) = k k=0 festes n ≥ 1 gilt. n

b) Induktionsbehauptung: n+1

Dann gilt auch (a + b)

n+1 

X n + 1 ak bn+1−k für dieses feste n. = k k=0

(iii) Induktionsschluss (Beweis der Induktionsbehauptung unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung):    n  n  Mit Hilfe einer Indexverschiebung (k+1 =: l) und der Rekursionsformel n+1 = k−1 + k k (für alle n ∈ N und alle 1 ≤ k ≤ n) gilt: ! n   n   X X n k+1 n−k n k n−k (I.V.) n+1 n (a + b) = (a + b) · (a + b) = a b · (a + b) = a b + k k k=0 k=0     n−1   n   n   X n 0 n+1−0 n n+1 n−n X n k+1 n−k X n k n+1−k n k n−k+1 a b + a b = a b + a b = a b + k 0 k k n k=1 k=0 k=0    n   n  X X n n n + 1 n+1 n+1−(n+1) n+1 k n+1−k n+1 l n−l+1 a + a b +b = a b + ab + k n+1 l−1 k=1 l=1       n+1  n  X n n n + 1 0 n+1−0 X n + 1 k n+1−k k n+1−k + a b . + a b + a b = k k−1 k 0 k=0 k=1 Laut Prinzip der vollständigen Induktion folgt, dass (a + b)n = gilt.

1

n   X n k n−k a b für alle n ≥ 1 k k=0...