Vorlesung 4 Beweis Eigenschaften der Anordnung PDF

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Dr. Anca Popa

Einführung in mathematisches Denken und Arbeiten: Anordnung

Beweis der Eigenschaften (bzgl. der Anordnung) auf S. 8 im Kap. 2.

Weitere Eigenschaften von „ −b. Insbesondere gilt a < 0 ⇐⇒ −a > 0. (ii) Für alle a, b ∈ R gilt entweder a < b oder a = b oder a > b. (iii) Für kein a ∈ R gilt a < a (d. h. es gilt a 6< a).

Irreflexivität

(iv) Es gibt keine reellen Zahlen a, b so, dass a < b und b < a gilt.

Asymmetrie

(v) Für alle a, b, c ∈ R gilt: wenn a < b und b < c gilt, dann gilt auch a < c.

Transitivität

(vi) Für alle a, b, c ∈ R gilt: wenn a < b gilt, dann gilt auch a + c < b + c. Verträglichkeit mit der Addition (vii) Für alle a, b ∈ R und alle c ∈ R+ gilt: wenn a < b gilt, dann gilt auch a · c < b · c. Verträglichkeit mit der Multiplikation (viii) Für alle a, b ∈ R und alle c < 0 gilt: wenn a < b gilt, dann gilt a · c > b · c. (ix) a < b und c < d ⇒ a + c < b + d. (x) 0 ≤ a < b, 0 ≤ c < d ⇒ ac < bd. Folgerung: 0 ≤ a < b ⇒ an < bn für alle n ∈ N (wobei an := |a · a {z · . . . · a} ist). n-mal

(xi) a 6= 0 ⇒ a2 > 0. Insbesondere gilt 1 = 12 > 0. (xii) a > 0 ⇐⇒ a−1 > 0. (xiii) 0 < a < b ⇒ a−1 > b−1 . Beweis Def.

(i) Es ist a < b ⇐⇒ b > a ⇐⇒ b + (−a) > 0 Def. (−a) − (−b) > 0 ⇐⇒ −a > −b.

Eigensch, (v), S. 7

⇐⇒

−(−b) + (−a) > 0

Komm.

=

Für den Spezialfall b = 0 folgt wegen −0 = 0 (weil 0 + 0 = 0 ist), dass a < 0 ⇐⇒ −a > 0 gilt. (ii) Aus dem Axiom A1 angewandt für a − b folgt: Es ist entweder a − b > 0 oder a − b = 0 oder −(a − b) > 0, also entweder a > b oder a = b oder a < b. (iii) Folgt aus dem Axiom A1, denn es ist a = a, also kann nicht auch a < a gelten. (iv) Es ist a < b ⇐⇒ b − a > 0 sowie b < a ⇐⇒ a − b > 0 ⇐⇒ −(b − a) > 0. Laut Axiom A1 können aber a − b > 0 und −(b − a) > 0 nicht gleichzeitig stattfinden. (v) Es ist a < b ⇐⇒ b − a > 0 sowie b < c ⇐⇒ c − b > 0. Mit Axiom A2 folgt (b − a) + (c − b) > 0, also (mit der Assoziativität und Kommutativität der Addition) c − a + b − b > 0 und daher c − a > 0. Das bedeutet aber a < c. 1

Dr. Anca Popa

Einführung in mathematisches Denken und Arbeiten: Anordnung

(vi) Es ist a + c < b + c ⇐⇒ b + c − (a + c) > 0 ⇐⇒ b + c − a − c > 0 ⇐⇒ b − a > 0 ⇐⇒ b > a ⇐⇒ a < b, was laut Voraussetzung wahr ist. (vii) Aus a < b folgt b − a > 0 und wegen c > 0 folgt mit Axiom A2, dass (b − a) · c > 0 ist. Das bedeutet (Distributivität) b · c − a · c > 0, also b · c > a · c und damit, wie gewünscht, a · c < b · c. (viii) Ist c < 0, so ist −c > 0 (Eigenschaft (i)) und aus a < b (Voraussetzung) und der Eigenschaft (vii) folgt a · (−c) < b · (−c). Das bedeutet (mit Hilfe der Eigenschaft (vi) auf S. 7) −ac < −bc und damit (Eigenschaft (i)) ac > bc. (ix) Aus a < b folgt (Eigenschaft (vi)) a + c < b + c. Aus c < d folgt analog c + b < d + b. Somit gilt mit der Transitivität (Eigenschaft (v)) und der Kommutativität der Addition a + c < b + d. (x) Aus a < b und c ≥ 0 folgt ac ≤ bc. In der Tat: Im Falle c > 0 folgt dies aus der bereits bewiesenen Eigenschaft (vii), denn dann ist sogar ac < bc. Im Falle c = 0 gilt 0 = ac = bc, also auch ac ≤ bc. Aus 0 ≤ a < b folgt 0 < b. Aus c < d folgt dann mit Eigenschaft (vii), dass bc < bd ist. Aus ac ≤ bc < bd folgt (Transitivität bzw. im Falle der Gleichheit in der 1. Ungleichung ist nichts mehr zu zeigen) ac < bd. Die Folgerung kann man mit Hilfe vollständiger Induktion beweisen und verbleibt als Übung (hier nur die Idee für den Induktionsschritt: Aus 0 ≤ an < bn und 0 ≤ a < b folgt mit dem vorherigen Teil an · a < b n · b, also an+1 < bn+1 ). (xi) Ist a 6= 0, so folgt aus Axiom A1, dass entweder a > 0 oder −a > 0 (d. h. a < 0) ist. Daher werden wir hier diese zwei Fälle unterscheiden. Im Fall a > 0 folgt mit der Eigenschaft (x) (für 0 < a und 0 < a), dass 0 < a2 ist, wie gewünscht. Im Fall −a > 0 folgt mit der Eigenschaft (x) (für 0 < −a und 0 < −a), dass 0 < (−a)2 = a2 ist, wie gewünscht. Dabei haben wir auch die Eigenschaften (vi) und (v) von S. 7 verwendet (um (−a) · (−b) = −(a · (−b)) = −(−(a · b) = a · b zu zeigen, hier für a = b angewandt). (xii) „⇒“: Wir setzen also voraus, dass a > 0 ist und möchten a−1 > 0 zeigen. Indirekter Beweis: Angenommen, es ist nicht a−1 > 0. Mit Axiom A1 folgt dann entweder a−1 = 0 oder a−1 < 0. Wäre a−1 = 0, so würde folgen, dass 1 = a−1 · a = 0 · a = 0 wäre, was im Widerspruch zur vorherigen, bereits bewiesenen, Eigenschaft 1 > 0 steht. Wäre a−1 < 0, so würde aus a > 0 folgen, dass 1 = a−1 · a < a−1 · 0 = 0 wäre, was im Widerspruch zur vorherigen, bereits bewiesenen, Eigenschaft 1 > 0 steht. Also muss a−1 > 0 gelten. „⇐“ folgt aus der vorherigen Implikation mit a−1 statt a, denn es ist (a−1 )−1 = a (Eigenschaft (v) auf S. 7). (xiii) Aus 0 < a < b folgen mit der vorherigen Eigenschaft a−1 > 0 und b−1 > 0 und mit Axiom A2 folgt a−1 · b−1 > 0. Aus a < b folgt mittels Multiplikation mit a−1 · b−1 > 0, dass a · a−1 · b−1 < b · a−1 · b−1 ist, was (mittels Assoziativität und Kommutativität der Multiplikation) a−1 > b−1 bedeutet.

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