zusammenfassung Kapitel 3 PDF

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zusammenfassung von Kapitel 3...

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Question de cours chapitre 1 et 2 Was ist die folgenden Annahmen beim Euler-BernoulliBalkenmodell

oc Réponse u 0  Ebenbleiben der Querschnitte  Verformung nur durch Biegmoment, Schub vernachlässigt  Drehträgheit der Querschnitte wird vernachlässigt

Wellengleichung der Euler-Bernoulli Balkenmodell?

4

Welche Wellenformen sind hier möglich? Welche Wellen können sich in Euler-Bernoulli Balken nur ausbreiten? Warum? was passiert, wenn ich ein beliebiges Wellen auf einen Balken gebe

3 Nur harmonische Wellen mit konstanter Geschwindigkeit (und mit einer bestimmten Ausbreitungsgeschwindigkeit, die von der Wellenzahl abhängig ist) 1 Es gibt keinen Parameter c die Gleichung für beliebige Funktion f und g erfüllt ist '' wenn w mit die d’Alembertsche Lösung Also die einige Lösung für ( EI w '' ) + ρA w=0 ´ 2 geschrieben ist f ° ° ° °+ ϰ f ° °=0 so das ist ein harmonisches Wellen. 2π 1 k= , weil das ist ein harmonisches Wellen mit konstanter Geschwindigkeit

Wie ist Wellenzahl von Wellenlänge abhängig?

''

( EI w '' ) + ρA w=0 ´

()‘‘ Ableitung nach x

λ

√

die Beziehung/ zusammenhang zwischen die Wellenzahl und die Kreisfrequenz?

0

Unterschiedliche zwischen Saite und Euler-Bernoulli Balken

0 Es gibt keinen paramater c um die Bewegungsgleichung zu Lösung mit d’Alembertsche Lösung Der Zusammenhang zwischen Wellenzahl k und Kreisfrequenzen ist nicht linear 4 EI 2 π also wenn λ → 0 c → ∞ unmöglich und auch für große Frequenzen c=

Was passiert also bei kleinen Wellenlängen mit die Ausbreitungsgeschwindigkeit im Euler-Bernoulli-Balken? Wo versagt das Modell? Wie nennt man die Überlagerung von Wellen unterschiedlicher Wellenzahl? Addition von 2 wellen: gleichen Amplitude, annähernd gleicher Wellenlänge. Was passiert für die Kreisfrequenz und die Wellenzahl? Welche Besonderheit gibt es (Dispersion)? Was ist die allgemeine Definition von die Gruppengeschwindigkeit? Anfangswertproblem Was wird alternativ gemacht?

EI 2 (Bewegungsgleichung für konstante Koeffizienten → f(x,t) abhängig von sin und cos k φA 4 → EI k −φA ω2=0 ) nicht linear ω=

√

ρA λ

1 Dispersion (ähnliche Effekt treten auch bei Licht auf) 0

Mittleren Kreisfrequenz: ω m=

ω1 +ω 2 2

gleiche für k

1 Gruppengeschwindigkeit (auch berechenbar für Timoshenko-Balken) 1

cg =

dω dk

und c g =2 c

Boussinesq hat ein Lösung für w(x,0)=f(x) 2 Timoschenko Balken Modell verwenden

Chapitre 3: Euler-Bernoulli-Balkenmodell ; Timoshenko-Balken ;Querschnittsänderung

√

EI 2 k ) φA w=ag ´ ' ' (x) mit Hilfe der Fouriertransformation

(Ableitung von

ω=

Was ist dabei anders in der Timoschenko Balken Model

1 Die Rotationsträgheit der Querschnitte und die Schubverformungen werden berücksichtig

Expression potentielle Energie für Timoshenko-Balken

0

Expression kinetische Energie für Timoshenko-Balken

0

l

U=

l

1 ∫ EI ψ '2 dx + 12 ∫G A s (ψ−ω ' )2 dx 20 0

(ψ−ω' ): schubverfomung

mit

As=

1 A ϰ

ϰ :

Schubfaktor

Die Schubfaktor Zwei Wellengleichungen der Timoshenko-Balken Model Die Trägheitsradius

l

1 ∫ ρA ω´ 2 dx + 12 ∫ ρI ψ´ 2 dx 2 0 0

ψ : Biegeverfomung

0 ϰ>1, da in Wirklichkeit die Schubspannungen nicht gleichförmig über Querschnitt verteilt sind ' ' ' 0 ´ ´ ρA ω+[G A s ( ψ−ω ) ]' =0 und [ EI ψ ' ] − ρI ψ−G A s ( ψ−ω )=0 (Finden mit Hilfe von Hamilton Prinzip) I 0 2

i=

Anmerkungen von t-b Model

Was passiert, wenn Welle auf eine Querschnittsänderung mit idealen Bedingungen trifft Welche Übergangsbedingungen (Übergang= Transition)

l

T=

A

 

Zwei Phasengeschwindigkeit Die Herleitung der Bewegungsgleichungen kann auch synthetisch durch Freischneiden eines Elementes des Balkens erfolgen



Mit



Gruppengeschwindigkeiten berechenbar

ω=c p k

kann auch

cp als Funktion von ω dargestellt werden c

3 Reflexion, Transmission 3

w 1 ( x s , t ) =w 2 ( x s , t ) Stetigkeit; w ' 1( x s , t ) =w ' 2 ( x s , t ) kein Knick; E I 1 w ' ' 1 ( x s , t )=E I 2 w ' ' 2 ( x s , t ) Momentengleichheit; E I 1 w ' ' ' 1 ( x s , t ) =E I 2 w ' ' ' 2 ( x s , t ) Querkraftgleichgewicht und auch Nahfeldterme die diese Übergangsbedingungen ermöglichen

Nahfeldterme?

´ 1,2 cos k 1,2 x +D´ 1,2 sin k 1,2 x + E ´ 1,2 ek x + F´ 1,2 e−k x W 1,2 ( x)= C −k x ~ ~ ~ U 1,2 ( x ) = C1,2 cos k 1,2 x + D 1,2 sin k 1,2 x + E 1,2 e k x + ~ F 1,2 e (E-B Wellengleichung →Lösungsansatz: w 1,2 ( x ,t )=W 1,2 (x)cos ωt +U 1,2 ( x ) sin ωt ) 0 Für die linken Balken F1=0 , da dort x→- ∞ und für die rechten Balken E2 =0 , da dort x→ ∞ w 1 ( x ,t ) =einlaufende Welle+reflektierte Welle+ Nahfeldterme =Ccos ( k 1 −ωt )+ A 1 cos ( k 1 x + ωt 1

1,2

1,2

Die Lösungen in den beiden Balken?

Chapitre 3: Euler-Bernoulli-Balkenmodell ; Timoshenko-Balken ;Querschnittsänderung

1,2

1,2

−k 2 x

w 2 ( x ,t ) =transmittierte Welle+ Nahfeldterme=B1 cos ( k 2 x +ωt ) +B 2 sin ( k 2 x +ωt ) +F 1 e Wann ist Querkraftverlauf und Momentenverlauf nicht stetig? Welche Bedingung gilt dann bei einer Punktmasse? Warum idealisierte Beispiel

1 Querkraftverlauf nicht stetig bei Punktmassse am Übergang, da dann Trägheitskraft, Momentenverlauf nicht stetig bei Drehmassse am Übergang, da dann Trägheitsmoment 1 Die zweite Zeitableitung muss am Übergang stetig sein 1 Kraft nicht gleichmäßig über Querschnitt verteilt

Chapitre 3: Euler-Bernoulli-Balkenmodell ; Timoshenko-Balken ;Querschnittsänderung

cos ( ω...