Zusammenfassung Math 2. Semester PDF

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Taschenrechner: 

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TVM Solver:

2nd CALC (Berechnungsmenu für den aktuellen Graphen) o Calc-intersect: Schnittpunkte (graphisch) (Y1 = g(x), Y2 = h(x)) Left Bound? Linke Grenze des Intervalls, Right bound? Rechte grenze des Intervalls, Guess? Starwert für die Suche. o Calc-zero: Nullstellen (graphisch) (Y1 = f(x)) o Calc value: Funktionswert f(x), Calc minimum: Bestimmung des Minimums, Calc maximum: Bestimmung des Maximums Math-Solver: nullstelle numerisch. Eqn: 0 = f(x) Auflösung von Gleichungssystemen: o - Apps > PolySmlt >> SimultEqnSolver (nur für lineare Gleichungssysteme zulässig) (Bsp wenn Parameter gesucht sind iwe a,b,c) o einen Solver nur für Polynome: APPS > PolySmlt > PolyRootFinder Logarithmen zu beliebigen Basen zu berechnen

L1 Liste anlegen: Stat – edit – jährliche Nettoeinzahlungen erfassen (ohne Anfangsbetrag!)

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NPV:

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IRR:

Parametereffekt

Vollkommener Wettbewerb – Der Polypolfall Polypol mit konvexen Kosten Wie hängt diese Menge von p ab?

Bei der Rate müssen die Vorzeichen beachtet werden. Sicht des Kunden oder Sicht der Bank. Für den Kunden bedeutet eine über 10 Jahre lang gleichbleibender Betrag (z.B. 4000) das ihr Portemonnaie pro Jahr um -4000 abnimmt. Also muss die Rate mit -4000 im Rechner eingegeben werden.

Bestimmtes Integral  MATH 9: fnInt  Alternative über Funktionenmenu und graphisch darstellen.

Preiselastizität der Nachfrage: Elastizitäten messen wie stark sich die Veränderung einer Grösse auf eine andere beteiligte Grösse auswirkt

Alternative Formel für die Preiselastizität der Nachfrage

Elastizität der Nachfrage Marktgleichgewicht bezüglich des Preises εx,p Gleichgewicht mit Markteingriff: Bsp. Steuer von 18 beim Produzenten welche er pro verkauften Stückl an den Staat bezahlen muss. -> Die Steuer wird beim Anbieter erhoben. Daher verändert sich die Nachfragefunktion nicht.

Beispiel Preiselastizität:

Welchen Effekt hat die Steuer auf diese beiden Grössen? Effekte dieser Steuer: • Die Angebotskurve verschiebt sich nach oben bei unveränderter Nachfragekurve. • Die Anbieter verlangen einen höheren Preis für ihr Gut, um weiterhin die selbe Menge des Gutes anbieten zu können. • die Steuer führt zu einer Preiserhöhung im Gleichgewicht, allerdings nicht im vollen Umfang des Steuerbetrages. Der Steuerzahler (Anbieter) geben einen Teil der Steuerlast an die andere Seite (Nachfrage) weiter. Firmen mit Markmacht – Der Monopolfall

Isoelastizität: ε xp ist unabhängig von p -> konstant Das heisst alle Nachfragefunktionen von der Funktionsklasse der Potenzfunktionen haben eine konstante Elastizität (εxp)  Der Exponent b der Potenzfunktion x(p) = a*pb gibt also an, welchen Wert die (konstante) Preiselastizität der Nachfrage hat! Abhängigkeit des Gewinnmaximums von der Preiselastizität der Nachfrage

p ( x ) −c p ( x)

entspricht dem Markup = Aufschlag auf die Grenzkosten

Markup:  Um wie viel setzt der Monopolist den Preis über die Grenzkosten (und zwar nicht in absoluten Größen, sondern relativ zum Preisniveau selbst)  hängt von der Preiselastizität der Nachfrage ab: je elastischer die Nachfrage, desto tiefer der Markup: o

−1 =0.5 −2 (Nachfrageleicht elastisch, Markup gross) ε x , p=−2→ Markup=

o

ε x , p=−10→ Markup=

−1 =0.1(Nachfrage mittele −10

−1 =0.05 −20 (Nachfrage stark elastisch, Markup klein) ε x , p=−20→ Markup=

o

Bestimmtes Integral

POLYPOL

MONOPOL Preis-Absatz Funktion

Konstant (Marktpreis)  Preis

entspricht der Nachfragefunktion

E ( x ) = p∗x

x (p)  E ( x ) = p ( x )∗x

1.

Vorgehen (Gewinn maximieren)

im Gewinnmaximum

G ( x ) =E ( x ) −K ( x ) 2.G ' ( x ) =E' ( x )−K ' ¿ →x ist Kandidat f ü r lo Gewinnmax. ¿ 3.G ' ' ( x )< 0 → ¿ → x ist g ewinnmax Menge

E' ( x )=K ' ( x ) E' ( x )= p → p=E' ( x ) =K '( x ) im Gewinnmaximum Preis=Grenzerlös=Grenzkosten

p(x)

1.

Konsumenten- und Produzentenrente 1. Angebot = Nachfrage  Gleichgewichtspreis �� und Menge �� Beide Marktteilnehmer, Anbieter und Nachfrager, profitieren offenbar von der Marktbegegnung. 2. Die Konsumentenrente ist die Differenz aus der Zahlungsbereitschaft eines Kunden und dem tatsächlich bezahlten Preis. Die Zahlungsbereitschaft wird durch die Nachfragekurve angegeben.

G( x ) =E ( x )−K ( x )

2.

G ' ( x )=E ' ( x )−K ' ( x ) =0 ¿ → x  ist Kandidat f ü r 3. Gewinnmax. '' ¿ 3. G ( x ) 0 Der Barwert der Einzahlungen ist grösser als der Barwert der Auszahlungen (Einzahlungsüberschuss). Der Investor gewinnt einen barwertigen Überschuss in Höhe des Kapitalwertes. Das Projekt generiert Wert. Es ist besser in das Projekt zu investieren als das Kapital zum Kalkulationszinssatz anzulegen. Die Investition ist also vorteilhaft. Aufzinsen: das Berechnen des Endkapitals • NPV < 0 Der Barwert der Auszahlungen ist grösser als der Barwert der ausgehend von einem Anfangskapital. -> von K0 Einzahlungen (Auszahlungsüberschuss). Das Projekt vernichtet Wert. Es ist auf Kn besser das Kapital zum Kalkulationszinssatz anzulegen als in das Projekt zu investieren. Abzinsen (oder Diskontieren): die Berechnung des Barwertes (=present value/ Wert zum heutigen Zeitpunkt) eines später fälligen Geldbetrages. -> Von Kn auf K0 Interner Ertragssatz (IRR) = interner Zinsfuß: Äquivalent = Zahlungen, die auf denselben Zeitpunkt auf- oder abgezinst denselben Wert ergeben. Separationsprinzip: mehrere Ein- und Auszahlungen zu verschiedenen Zeitpunkten (=Zahlungsstrom) bei einem konstanten Zinssatz.  zulässig, die einzelnen Zahlungen dieses Zahlungsstroms unabhängig voneinander in der Zeit zu bewegen, d.h. auf- oder abzuzinsen.  erhält die gleichen Ergebnisse, egal ob man mit Nettoeinzahlungen rechnet, oder aber die Ein- und Auszahlungen separat betrachtet. Weil die Zahlungen unabhängig voneinander sind, können sie auch beliebig gruppiert werden, zum Beispiel nach Ein- resp. Auszahlungen: Endwert: Es gibt 2 Varianten, um den Endwert zu berechnen. Variante 1: Mittels aufzinsen den Endwert berechnen:

Zusätzliche Aspekte: Für Normalinvestitionen lässt sich zeigen dass die Kapitalwertkurve streng monoton fallend ist  eindeutig bestimmter IRR!

Kapitalwertkurve: Kapitalwert NPV als Funktion des Kalkulationszinssatzes i (Y1= npv(X,240'000,L1)

Variante 2: Über den Barwert den Endwert berechnen ( abzinsen). Ein- und Auszahlungen zurückrechnen zum Anfangswert! Anschliessend normal die Formel für den Endwert anwenden.

Problem mit IRR, wenn keine Normalinvestition vorliegt: • mehrere Lösungen für die IRR! • Interpretation als Rendite. (Reinvestitionsprämisse) Beispiel zu Äquivalenter Zahlung

Alternative: MIRR (Modified IRR):

PVneg = Summe der mit dem Investitionszinssatz abgezinsten negativen Zahlungen FVpos = Summe der mit dem Reinvestitionszinssatz aufgezinsten positiven Zahlungen: MIRR rechnet mit exogenen Zinssätzen. Er erlaubt explizit unterschiedliche Zinssätze für Geldaufnahme (iInv ) und Wiederanlage (iReinv ). Für Privatpersonen gilt also in der Regel iInv > iReinv. Für den Erfolg von Unternehmen muss hin-gegen iInv < iReinv gelten. Der Überschuss kann für das Wachstum der Firma eingesetzt werden oder fliesst als zusätzliche Dividende an die Eigentümer.



Direkt nach der letzten Einzahlung bedeutet, nachschüssig

vorschüssiger Rentenendwert Werden die Raten zu Beginn der Perioden gezahlt, spricht man von einer vorschüssigen (praenumerando) Rente. Kapitalisierung auf Zeitpunkt 1 Jahr nach der letzten Rate.

Vergleich mit NPV, IRR, MIRR • Wird der Fokus nur auf Rendite des (noch) im Projekt gebundenen Kapitals gesetzt, dann ist die IRR-Methode geeignet: also verzinst B das im Projekt noch gebundene Kapital höher als A. • Wird der Fokus auf Rendite des Kapitals auf Ende der Nutzungsdauer des Projektes gesetzt, so ist die MIRR-Methode geeignet: also verzinst Projekt B die eingesetzten 50 GE bis ans Ende der Nutzungsdauer besser als Projekt A die 100 GE. • Wird der Fokus auf Wertschöpfung gesetzt, dann ist die NPV-Methode geeignet: also generiert A mehr Wert als B (was aufgrund des doppelt so grossen Investitionsbetrages eigentlich logisch ist). • Punkte zwei und drei führen zu entgegengesetzter Rangierung, weil die Investitionen I0 unterschiedlich sind. Was mit den restlichen 50 GE passiert, die in Projekt B nicht eingesetzt werden, wird ausgeblendet.

nachschüssiger Rentenbarwert Kapitalisierung auf Zeitpunkt 1 Jahr vor der ersten Rate.

Renten und Tilgungen Geometrische Folge: ist wenn der Quotient aus einem Glied und dem vorhergehenden Glied konstant ist:

Geometrische Reihe: Addieren der Glieder einer geometrischen Folge

vorschüssiger Rentenbarwert Kapitalisierung auf Zeitpunkt der ersten Rate.

Summe der ersten n Glieder einer GR: Was passiert wenn n →∞?  Wenn |q| > 1, dann explodiert qn  Wenn |q| < 1, dann tendiert qn gegen Null Renten: Zahlungen gleicher Höhe, die in gleichen Zeitabständen erfolgen. Die einzelne Zahlung heisst Rate.  nachschüssige (post-numerando) Rente: Raten am Ende der Perioden gezahlt  vorschüssige (prae-numerando) Rente: Raten zu Beginn der Perioden gezahlt  Kapitalisierung: Umrechnung einer Rente in eine einmalige Zahlung (Endwert oder Barwert) nachschüssiger Rentenendwert Werden die Raten am Ende der Perioden gezahlt, spricht man von einer nachschüssigen (postnumerando) Rente. Kapitalisierung auf Zeitpunkt der letzten Rate.

Während ein Rentenendwert auch als "Kontostand nach n Jahren" interpretiert werden kann, trifft dies für einen Rentenbarwert natürlich nicht zu. Sie sollten Rentenendwerte und -barwerte grundsätzlich eher als eine Kapitalisierung der Rente verstehen: also als Einmalzahlungen (positioniert am Ende bzw. Beginn der gesamten Renten-spanne), welche finanzmathematisch äquivalent zum Renten-Zahlungsstrom sind. Sparkassenformeln Kapital K vorhanden zum Zeitpunkt 0. Hinzufügen einer n-maligen Jahresrente von r 

nachschüssiges Endkapital



vorschüssiges Endkapital

Kapital K vorhanden zum Zeitpunkt 0. Entnahme einer n-maligen Jahresrente von r

 



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nachschüssiges Endkapital

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vorschüssiges Endkapital

Schritt 1: Zuerst den FV der Einzahlungen berechnen. -> mit nachschüssiger Rentenendwert Schritt 2: Der FV vom Schritt 1 wird 10 Jahre aufgezinst (falls oben mit vorschüssig gerechnet wurde nur 9 Jahre aufzinsen) und wird dann zum vorschüssigen Barwert der von der Versicherung gezahlten Raten. -> mit vorschüssiges Endkapital Antwortsatz: Die Rate beträgt CHF 15’963.54.

Ewige Rente  Barwert der nachschüssigen ewigen Rente



Barwert der vorschüssigen ewigen Rente

Tilgungen Gleichbleibende Tilgung (Ratentilgung)

Gleichbleibende Annuität (Annuitätentilgung)

Ableitungsregeln:

Faktorregel

Summenregel

Ein konstanter Summand fällt beim Ableiten weg. Grenzsteuersatz: S’(X) Durchschnittssteuersatz: S(X)/x Produktregel

Quotientenregel:

Kettenregel

Absolute Extrema: die Intervallgrenzen xUG und xOG müssen in die Funktion f(x) eingesetzt werden. Danach erfolgt die Bestimmung der globalen Extrema, indem die Randlösungen mit den lokalen Extrema verglichen werden und danach diejenige Stelle ausgewählt wird, an welcher der Funktionswert von f am grössten bzw. kleinsten ist.

X’(r) maximal bedeutet, dass x’’(r) = 0 sein muss...