(1) Zinsrechnung ohne Zinseszins Text Aufgaben PDF

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Finanzmathematik Aufgaben...

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1.

Einfache Verzinsung

Bei der einfachen Verzinsung nehmen bereits angefallenen Zinsen an der weiteren Verzinsung nicht teil und werden dem eingesetzten Kapital erst am Ende der Kapitalüberlassung zugeschlagen. Das Gesamtkapital (Kapital + Zinsen) wächst linear an (daher auch lineare Verzinsung). Einfache Verzinsung kann für jährliche und unterjährliche (unterjährige) Zinsperioden betrachtet werden.

1.1.

Jährliche Verzinsung

Im Folgenden wird zunächst die jährliche Verzinsung untersucht, bei der jeweils nach Ablauf eines vollen Jahres Zinsen fällig werden. Sei dazu: K0 Kn Zn i

(Anfangs-) Kapital zum Zeitpunkt 0 (= Anfangszeitpunkt der Verzinsung) (End-)Kapital zum Zeitpunkt n, nach n Jahren (Endzeitpunkt der Verzinsung) Zwischen den Zeitpunkten 0 und n anfallende Zinsen Zinssatz, d.h. der relative Anteil des angelegten Kapitals, der während eines Jahres als Zinsen fällig wird

Der Zinssatz wird entweder als Prozentsatz (5%), als Dezimalzahl (0,05) oder als Bruchzahl (5/1010) angegeben. Der gelegentliche Zinsfuß p errechnet sich zu p = i ∙ 100. Für das erste Jahr fallen Zinsen in Höhe von Z1 = K0  i an, nach Ablauf von n Jahren insgesamt Zn = K0  i  n . Es folgt:

Kn = K0 + Zn = K0 + K0  i  n = K0  (1 + i  n) Beispiel 1: Ein Kapital von 5 000 € werde bei einem Zins von 6% linear verzinst. Nach drei Jahren ergibt sich damit:

Kn = K3 = 5.000€  (1 + 0, 06  3) = 5.900€ Mithilfe der Äquivalenzumformungen kann die Formel für Kn leicht nach der Laufzeit n oder nach dem Zinssatz i aufgelöst werden. Beispiel 2: Ein Kapital von 1.000 € ist bei einfacher Verzinsung nach 6 Jahren Laufzeit auf 1.240 € angewachsen. Damit gilt für den Zinssatz i:

Kn = K0  (1 + i  n ) 

also

K  1 Kn = 1 + i  n   n − 1  = i K0  K0  n

K  1  1.240  1 i =  n − 1  =  − 1  = 0, 04  K0  n  1.000  6

1

1.2.

Unterjährige Verzinsung

Wird die Laufzeit der Verzinsung in Tagen bzw. Monaten angegeben (d.h. m = 360 bzw. m = 12 unterjährliche Zinsperioden), errechnen sich die Zinsen Zt/360 nach t Tagen bzw. Zt/12 nach t Monaten anteilig nach den Formeln:

Zt / m = Zt /360 = K0  i 

t 360

Zt / m = Zt /12 = K0  i 

bzw.

t 12

Bemerkung: Das Jahr wird bei einfacher Verzinsung in der Praxis meist mit 360 Tagen angesetzt, die einzelnen Monate mit 30 Tagen. Weitere gängige Zinsperioden: m = 2 (halbjährliche Verzinsung); m = 4 (vierteljährliche Verzinsung) Für das Kapital Kt/360 nach t Tagen bzw. Kt/12 nach t Monaten gilt:

t   K t /360 = K 0 + Z t /360 = K 0   1 + i   360  

bzw.

t   K t /12 = K 0 + Z t /12 = K 0  1 + i   12  

Beispiel: 10.000 € werden zu 2,5% angelegt. Nach 72 Tagen errechnet sich Kt/360 zu:

72   Kt /360 = K 72/ 360 = 10.000€  1 + 0, 025   = 10.050€ 360   Nach 7 Monaten beträgt das Kapital:

7   Kt /12 = K 7/12 = 10.000€  1 + 0, 025   = 10.145,83€ 12   __________________________________________________________________________________ Formeln für Zinsrechnung ohne Zinseszins [einfache Verzinsung] (I) Z =

K0  p  n 100

mit (II)

p =i 100

(III) Kn = K0 + Z (I) in (III) →

Kn = K0 +

K0  p  n 100

mit (II) →

K n = K0 + K 0  i  n

bzw.

K n = K 0 ( 1+ i  n )

mit Z = K 0  i  n

Aufgaben: 1.

Ein Betrag von 1 000,-€ wird bei einfacher Verzinsung von 2,5% genau 3 Jahre lang ausgeliehen. Die Zinszahlung erfolgt am Ende der Laufzeit. Berechnen sie die Summe, die zurückzuzahlen ist.

2

2.

Eine Mutter verspricht ihrer Tochter, ihr nach dem Ende ihres Studiums (d.h. in 4 Jahren) 7 000,-€ zu zahlen. Wie viel muss sie heute anlegen (p= 4%; einfache Verzinsung), um in vier Jahren über diesen Betrag verfügen zu können?

3.

48 000,00 € werden für die Zeit vom 31. Juli bis 31. Dezember als Termingeld angelegt. Die Hausbank verzinst mit 3,25 % . Wie viel € beträgt die Zinsgutschrift am Ende der Laufzeit?

4.

Zur Wahrnehmung eines günstigen Medikamenteneinkaufs benötigt ein Apotheker einen Kredit in Höhe von 19 200,- EUR für 10 Monate. Er erhält von 3 Banken folgende Angebote: 1. Angebot:

8,25% Zinsen

2. Angebot:

6,5% Zinsen + 1,5% Bearbeitungsgebühr von der Kreditsumme

3. Angebot:

Auszahlung: 19 200,00 €, Rückzahlung nach 10 Monaten: 20 500,00 €

Berechnen Sie die drei Angebote. Welches Angebot ist das günstigste?

5.

Für ein Darlehen, dass wir vom 1. April bis zum 1. Juli (= 90 Tage) aufgenommen haben, müssen wir bei einem Zinssatz von 9,0% 1 620,00 € Zinsen zahlen. Wie hoch ist das Darlehen?

6.

Für die 8%ige Hypothek auf unser Grundstück zahlen wir vierteljährlich 3 200,00 € Hypothekenzinsen. Auf welchen Betrag beläuft sich die Hypothek?

7.

Ein Lieferant berechnet seinem Kunden für einen Rechnungsbetrag über 22 000,00 € Verzugszinsen in Höhe von 198,00 €. Der Kunde hat den Zahlungstermin um 36 Tage überschritten. Welchen Verzugszinssatz verlangt der Lieferant?

8.

40 000,00 € wachsen auf dem Bankkonto vom 1. März bis zum 19. Dez. auf 41 920,00 € an. Ein weiterer Geldbetrag soll zum gleichen Zinssatz angelegt werden. Wie hoch muss dieser Betrag sein, damit er in 216 Tagen 1 800,00 € Zinsen erbringt?

Zinsrechnung ohne Zinseszins (Lösungen): 1.

Kn = 1.075,00 €

2.

4.

1. Angebot: Z = 1.320,00 €

K0 = 6.034,48 €

3.

Z = 650,00 €

5.

Darlehenshöhe D = 72.000,- €

7.

i = 9%

2. Angebot: Z = 1.328,00 € 3. Angebot: Z = 1 300,00 € 6.

Hypothekenhöhe H = 160.000,- €

8.

K0 = 50.000,- € 3...