(2) Funciones Trigonometricas DE Angulos EN Posicion Normal PDF

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trigonometría con ejercicios resueltos y ejercicios propuestos...

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TEMA: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD Conceptos Previos Recta Numérica Es una recta dirigida en la cual se han señalado dos sentidos; uno positivo y otro negativo. En donde además a cada punto de esta se le a asignado tan sólo un número real. Veamos un gráfico :

H a c ia e l

C

...

-3

-2

B

0

-1

0

H a c ia e l

A 1

+

3 2

3 ...

 Al punto “0” se le asigna el valor 0 (se le denomina ORIGEN)  Al punto “A” se le asigna el valor

3



3 : Re al



 Al punto “B” se le asigna el valor -1.  Al punto “C” se le asigna el valor -. 

Plano Cartesiano: Es aquel que se forma por la intersección de 2 rectas numéricas perpendiculares entre sí en sus orígenes.

Y

( H a c ia e l + ) Segundo C u a d ra n te ( IIC )

( H a c ia e l )

Te rc e r C u a d ra n te ( IIIC )

( E je d e O r d e n a d a s )

P r im e r C u a d ra n te (IC ) 0

( E je d e A b s c is a s )

C u a rto C u a d ra n te ( IV C )

X ( H a c ia e l + )

( H a c ia e l ) Nota: A la intersección de rectas se le denomina “origen” de coordenadas.

 Coordenada de un punto: A cada uno de los puntos del plano cartesiano se le asocia un par ordenado. El cual se representará de la siguiente manera: P (a;b) en donde:

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17

a  Abscisa del punto “P” b  Ordenada del punto “P” Observemos gráficamente:  Así se representa el punto P(a,b) en el plano cartesiano. Y P ( a ;b ) b X a

Veamos un ejemplo de Aplicación: Ubique los siguientes puntos en el plano cartesiano. a) P (3;2) c) R (-1;3)

b) Q (-2;1) d) S (4;2)

Resolución:

Q (-2 ;1 )

-2 -1

P (3 ;2 )

2 1 3

-1 -2 -3

4

S (4 ;-2 )

R (-1 ;-3 )

Radio Vector (r): Es la distancia del origen de coordenadas a cualquiera del plano cartesiano se representa de la siguiente manera: Ejm.: Sea el punto P (a;b) del I.C.: Y

P(a;b)

b 0

r

X a

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 Así se representa el radio vector (r) del punto P (a,b). Calculemos su valor:

Y

P (a ;b )

b r 0

X a

Por el teorema de Pitágoras calculemos “r”. r 2  a2  b 2  r  a 2  b 2

Veamos un ejemplo de aplicación  Calcular el radio vector de los puntos P (-4; 3) y R (1; -3). Resolución: - Ubicamos los puntos P (-4; 3) y R ( 1; -3) en el plano: Y

P (-4 ;3 )

3

rP 1 -4

0

X

rR

-3

R (1 ;-3 )

Calculamos rp: rp 

  4 2

  3 2

rp  16  9 rp  25  5

Calculamos rR: rp 

  1 2    3 2

rp  1  9 rp  10

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Angulo en Posición Normal: Es un ángulo trigonométrico inscrito en el plano cartesiano y que tiene las siguientes particularidades:  Su vértice es el origen de coordenadas.  Su lado inicial se encuentra en el semieje positivo de las abscisas.  Su lado final se encuentra en cualquier parte del plano, el cual indicará a que cuadrante pertenece dicho ángulo. Analicemos Gráficamente Y

Lado F in a l de

IC

I IC

E je p o s i t i v o d e l a s a b s c i s a s ( l a d o in i c i a l d e to d o á n g u lo e n p o s ic ió n n o r m a l)

X

O Lado F in a l de 



IIIC

IV C

 Ya que el lado final de  se encuentra en el IIC, entonces  pertenece al IIC.  Ya que el lado final de  se encuentra en el IIIC, entonces  pertenece al IIIC. Nota Importante: ¿Cuáles de los ángulos no son ángulos en posición normal? Y

q n m

X

O

p

Rpta.: “R y p no son ángulos en posición normal” porque su lado inicial no es el semieje positivo de las abscisas mientras que m y q “si son ángulos en posición normal”. Ejemplo de Aplicación: Trace en posición normal un ángulo cuyo lado terminal pasa por el punto P (3; -4). Resolución:

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20

De inmediato se nos viene a la mente 2 posibilidades: Y

X

3



-4

P (3 ;-4 )

 y  son ángulos en posición normal para el punto P (3; -4). Pero …¿son los únicos? … La respuesta es NO, cada uno de los puntos del plano cartesiano poseen infinitos ángulos en posición estándar. A continuación explicaremos el porque de esto cuando conozcamos los ángulos coterminales. Nota: Pero es más práctico y recomendable trabajar con  y  por ser de menor magnitud. Ángulos Coterminales: Dos o más ángulo en POSICIÓN NORMAL se denominan COTERMINALE, cuando sus lados finales coincide. Además la diferencia de los ángulos debe dar como resultado un número entero de vueltas o revoluciones. Veámoslo gráficamente:  Para ángulos coterminales. Y

 X

En la figura se observa:  y  poseen el mismo lado terminal. Además:  =  + 1 vuelta  -  = 1 vuelta Entonces  y  son COTERMINALES. En General: Si X e Y son COTER-MINALES entonces X – Y = R (vueltas) = R (2rad) = n (360 º). Razones Trigonométricas de un Ángulo en Posición Normal: Sea “” un ángulo en posición normal y P (a,b) un punto que pertenece a su lado final. Definimos las razones trigonométricas de “” de la siguiente manera:

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Y

P(a;b)

b

r X

a

O

Donde r 

a 2  b2

Sen 

ordenada de P b  Radio Vector r

Cos 

abscisa de P a  Radio Vector r

Tg 

Ordenada de P a  Radio Vector r

Ctg 

Abscisa de P a  Ordenada de P b

Sec 

Radio Vector r  Abscisa de P a

Csc 

Radio Vector r  Ordenada de P b

Ejm. de Aplicación: Siendo P (-2; 4) un punto que pertenece al lado final del ángulo en posición normal . Calcular: A  3 5  Sen  Cos

Resolución:

Y

P (-2 ;4 )

4

r

 X

-2

O

Calculamos: r 

r 

  2 2

 4 2  4  16

20  2 5

Calculamos Sen y Cos

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22

Sen  

Cos 

Ordenada de P Radio Vector



4



2 5

2 5

2 Abscisade de P 1   Radio Vector 2 5 5

Reemplazamos  2  A 3 5     5   

1    3(2  1) 5  

A = 9 Rpta. Signos de las Razones Trigonométricas (R.T.) Presentamos a continuación los respectivos signos de las razones trigonométricas para cada cuadrante en el siguiente cuadro: Y Sen y (+ C sc Las dem ás R .T. S o n (- )

)

T o d a s la s R .T . S o n p o s it i v a s

X Tg y (+ C tg Las dem ás R .T. S o n (- )

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)

C os y (+ ) Sec Las dem ás R .T . S o n (- )

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23

PROBLEMAS

a) - 3

1.

d) 

De la figura, calcular el valor de: 5 Csc

 - Ctg 

b) -

1 3

e) N.A.

4. Si Ctg  = 2,4 siendo “  ” un ángulo estándar del tercer cuadrante, calcular el valor de:

y (-2;1)

2Sen  



a) 1

b) 3

d) 7

e) 9

x

c) 5

1 Cos  4

a) - 2

b) - 1

d) 1

e) 2

13 (Sen - Cos  )

1 3

d) 3 x

1 2



2Tg

-3

calcular el valor de: Sec  – Tg  a)

y

c)

5. Si  es un ángulo estándar del cuarto cuadrante para el cual se cumple que: 8Tg  = (Sec45°)

2. De la figura, calcular el valor de:



c) - 1

10

b)

1 2

c) 2

e) 4

6. Si A + B = 90° y “  ” es un ángulo en posición normal del segundo cuadrante, donde:

 SenA Csc 2  CosB 2Csc  1

(-3;-2)

Calcular el valor de: Sen  - Cos 45° . Cos  a) - 5

b) - 3

d) 1

e) 2

c) - 2

a) 0 d)

3. De la figura, calcular el valor de:

Sen  Sen Cos  Cos

1 2

c) 1

e) 2

7. Si   IIC y   IVC. Hallar los signos de las siguientes expresiones respectivamente Sen Tg  y Cos  - Sec .

y x



3 2

b)



a) (+);(+)

b) (+);(-)

d) (-);(-)

e) N.A.

c) (-);(+)

8. A qué cuadrante pertenece el ángulo “  ”, si se cumplen que:

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24

Cos   Cos a) IC

 y Tg   Tg  2

b) IIIC

14. A qué cuadrante pertenece el ángulo  , si se cumple que:

c) I y IIIC

d) II y IIIC e) N.A.

a) IC 9. Calcular

a  b  2 Coss 0  2abTg 2  4abSec 3   b 2 Csc 2 2

a) - 2

b) 

d) 2

e) 3

1 2

b) 2

d) 4

c) 3

e) N.A.

Sen

3 2

3     Csc  3  

1 2

b) 1

d) 2

e) 3

a)

a) -2

b) - 1

d) 1

e) 2

donde 3Tg

11. Calcular el valor de la siguiente expresión:

   Cos  3 

 pertenece al IIIC, calcular el valor de la expresión:

 Tg 40  1 Sec

x x x + Ctg + Csc 2 4 6

2 3 3



Sec

3

c)

d) 0

e) 1

b) 2

d) 4

e) 5

d) 1

e) 2

c) - 1

a) 0

7 Seca

b)

3 2

1 2

c) 1

e) 2

18. Si Sen  = 0,75 y Ctg Calcular el valor de: c) 3

3 2

Calcular el valor de: Sec2x + Csc b) - 1

calcular 4Sen +

- (x+1) Sen

13. Si 0 < x < 2  y Cos x = Csc

a) -2

2Sec 3

17. Siendo a y b ángulos en posición normal del segundo y tercer cuadrante respectivamente y Tga=0,5 3 y Ctgb= 7 Sena. Calcular el valor de: 3 Secb -

3 2

el valor positivo de “x”, es: a) 1

  IIIC, b) - 2

12. Dada la siguiente ecuación:

 3 = x2 Cos + Csc 2 2

c) 0

 Ctg 50 

a) - 3

d) xSec10° + 6 (x-1) Tg

 Sec 60  Ctg   2  Csc 45  Ctg  y

15. Si:

16. Si se tiene que:

Calcular el valor de:

a)

c) I y IIC

Cos (0,5Sen + 2Cos )

1 2

c)

10. Si 0 < x < 2 y Senx = Tg2

Sen

b) IIC

2

d) II y IIIC e) II y IVC

a , si se tiene que: b

a 2 Sen



Sen > Sen 2 2 y Ctg < Ctg

a) - 1

1 b)  7

d) 1

e)

 < Ctg

3 . 2

7  Sec  Tg



1 c) 7

7

19. De la figura, calcular el valor de:

x 2

Ctg - Csc  y

c) 0

 x 1-2a

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Apuntando a la Universidad (2a;1+a)

25

K = Sen

  Tg   Ctg  3

a) - 2

b) - 1

d) 2

e) 3

c) 1

24. Si para un ángulo estándar “  ”, se 3 cumple que:  Sen  Sec  0 . Hallar los signos respectivamente de: P = Sec a) 2

b) 3

d) 5

e) 6

c) 4

20. De la figura, calcular Ctg y

 – Sec 

Q = Sen



2



+ Sen 

a) (+);(+)

b) (+);(-)

d) (-);(-)

e) N.A.

c) (-);(+)

(2,4)



x 6

a)

1 3

b)

d) 3

1 2

c) 2

e) 4

21. Determinar los signos de las siguientes expresiones; respectivamente:

Sen1.Cos 5 Ctg 2.Sec6 y Csc 4 Tg3 a) (+);(+)

b) (+);(-)

d) (-);(-)

e) N.A.

22. Si: Cos

 = 0,63

c) (-);(+)

y Tg  > Tg 2 

Calcular el valor de: M=

1  Csc Tg  3Sec 6 4

a) 2

b) 3

d) 5

e) 6

23. Si

  IIC

y

c) 4

Csc  3 Csc

= 64,

PROBLEMAS

calcular el valor de:

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01.Si el punto P (-12;5) pertenece al lado

06.Calcular: Cos.Cos.

final del ángulo en posición normal “”. Hallar Sen.

Y

( -2 ;1 ) X

O

Rpta.:

 ( - 1 ;- 2 )

02.Siendo

P

(-5;6)

un

punto

perteneciente al lado final de un

Rpta.:

ángulo en posición normal . Calcular: E 

61Cos  10Tg

07.Del gráfico, Hallar: 29 Cos 

13 Cos

Y

Rpta.: 

03.Si Cot = -6/8; y sabiendo que  

X

0

IVC. Hallar: R = Sen - Cos

P ( - 3 ;- 2 ) Q ( 2 ;-5 )

Rpta.:

Rpta.: 04.De la figura calcular el valor de: 13  sen   Cos  

08.Si Sen = -1/3, además: Cos > 0. Hallar el valor de

Y

N  2 Sec  Tg

X

0

Rpta.: 09.Si Tg = 3. Calcular x

(-3 ;-2 )

Y

Rpta.: X

05.Hallar el signo de cada producto: I. Sen190º: Cos(190º)

0 ( X - 1 ; 4 x -1 )

II. Tg160º: Sec(200º) III. Cos120º: Sec (200º) Rpta.:

Rpta.:

10. Si el punto P (-2,3) pertenece al lado final del ángulo “ ” (en posición

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27

normal tal que (90º <  < 180º). Calcular el valor de: E

Sen   Cos  Tg   Ctg 

    Sen  45 º  . Tg  50º   3   2 P   2 Sec   20º    5 Rpta.:

Rpta.: 11.Del gráfico calcular “Tg”. Si: OABC

15.Del gráfico calcular: Tg + Tg

es un cuadrado: Y

Siendo 0BCD un cuadrado Y

B

B 0



O

(4 ;-2 )

X

A

X

O

O

Rpta.:

D

12.En la figura mostrada; Hallar el valor

C

Rpta.:

de:   R  n2  1 Cos    

P (-1 ;m )

m2 m

  Sen  

16.De la figura calcular E

Y



Sen   3Cos  Sen  3Cos

Y

P X

O

(-a ;2 a ) X

Rpta.:



0 (

Q 3 a ;-a )

Rpta.:

13.Si se cumple: Csc2 - 9 = 0 Además: Cos < 0 y

17.Si

Sen > 0. Determinar el valor

1 1

4 Sen   M

2Cos   3 Tg 

Rpta.: 14.Si  

5  13 Cos

1

Hallar M = Tg - Sec Además ( IV C) Rpta.:

180º ; 270º

Determine el signo de

18.Hallar Tg Y

P (2 a ; -b )



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Apuntando a la Universidad X 0

(-a ;0 )

28

Rpta.:

19.Del gráfico calcular: 3sec2 - Tg Y

(-5 ; -3 )



X

Rpta.:

20.Si: 712tgx + 5 = 1; (x  II C) Calcular A = Senx – Cos

Rpta.:

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29...