209881420 Ejercicios Resueltos de Circuitos Mediante Variables de Estado y Ecuaciones Diferenciales PDF
| Title | 209881420 Ejercicios Resueltos de Circuitos Mediante Variables de Estado y Ecuaciones Diferenciales |
|---|---|
| Author | Miguel Joaquin Alaca Pinto |
| Course | Ingenieria Industrial |
| Institution | Universidad Mayor Real y Pontificia San Francisco Xavier de Chuquisaca |
| Pages | 12 |
| File Size | 395.3 KB |
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Summary
Es la extensión natural del controlador Es la extensión natural del controlador on
-off
Es suficiente para muchos problemas de control Es suficiente para muchos problemas de control
Más del 95% de los lazos de control utilizan el PID Más del 95% de los lazos de control utilizan...
Description
UNIVERSIDAD DE CUENCA
SISTEMAS LINEALES Y SEÑALES
RAUTOR: JOSE GEOVANNY CARDENAS C. ESTABILIDAD, OBSERVABILIDAD, CONTROLABILIDAD Y RESPUESTA A LA SALIDA 1 En el circuito de la figura determinar la estabilidad, controlabilidad y observabilidad encontrar el voltaje en la R2, aplicando convolución mediante variables de estado y mediante transformada de Laplace de variables de estado, finalmente aplicando convolución de ecuaciones diferenciales.
Condiciones iniciales nulas. Variables de estado
!
! !
! ! % & ' ( ) " # $ ! * + & '
Reemplazando valores de los elementos
Matriz de variable de estado
UNIVERSIDAD DE CUENCA
SISTEMAS LINEALES Y SEÑALES
Estabilidad
! ! ' & ' " # & '& ! * + & ' 2
,-./ ! 01
! ! 1
! 2 ! ! 1
1 1 3 1 !456
1 !55
Para que sea estable el sistema, los valores característicos deben ser menores a cero. 1 7
1 7 Por lo tanto el sistema es estable.
Controlabilidad
/: ; / ' : & ' /: & 89 &
Si el ,-.89 ? el sistemas es controlable.
!> '
,-.89 2 !>2 > ?
Por lo tanto el sistema es controlable.
Observabilidad
9 9/ 8@ A B 9/ +
8@ & ' !>
Si el ,-.8C ? el sistemas es observable.
UNIVERSIDAD DE CUENCA
SISTEMAS LINEALES Y SEÑALES
,-.8@ 2 2 !> ? !> Por lo tanto el sistema es observable. Respuesta mediante convolución de variables de estado E
9D/E F G 9D /E=H : H JH K I
Ya que las condiciones iniciales son nulas 9D /EF además K Obteniendo D /E=H
L1 ,-./ ! 01 1 1 3 1 !456
1 !55
Por Cayley-Hamilton D /E MN 0 M /M / O MD 3>D =QRSE=H
=RRE=H
6D =QRSE 5D =RRE# 6D =QRSE 5D =RRE
6D =QRSE=H 5D =RRE=H# 6D =QRSE=H 5D =RRE=H
UNIVERSIDAD DE CUENCA Obteniendo 9D 9D /E=H
/E=H
SISTEMAS LINEALES Y SEÑALES
:
=QRSE=H ! TD =RRE=H * + "TD =QRSE=H ! 3>D =RRE=H 3>D
6D =QRSE=H 5D=RRE=H # 6D =QRSE=H 5D=RRE=H
9D /E=H *5D =QRSE=H ! 5D =RRE=H 5>D =QRSE=H 3D =RRE=H +
9D /E=H : *5D =QRSE=H ! 5D =RRE=H Resolviendo el integral:
5>D =QRSE=H 3D =RRE=H+ & '
9D /E=H : 3D =QRSE=H ! 3D =RRE=H
E
E
G 9D /E=H : HJH I
GU3D =QRSE=H ! 3D =RRE=H V H JH I
63 4> ! 34 >T ! 56D
=QRSE
Reduciendo mediante identidades trigonométricas tenemos que:
> D =RRE
63 4> ! 34 >T T ! >4 WX
Finalmente la respuesta es:
>D=RRE ! 56D =QRSE T ! >4 WX
Respuesta mediante la transformada de Laplace de variables de estado La transformada de Laplace de las variables de estado está dada por:
YZ 9Z0 ! / = F *9Z0 ! / = : K+[Z
[ Z \* + \ * +
4Z ! T4 Z
Ya que las condiciones iniciales son nulas 9Z0 ! / = F además K YZ 9Z0 ! / =:[ Z
! !'^ '!& YZ * + ]Z & ! Z YZ * + & !
Z YZ * + &
=
4Z ! T4 & ' Z
= 4Z ! T4 ' & ' Z Z
4Z ! T4 ! '& ' Z Z Z Z 3
UNIVERSIDAD DE CUENCA
SISTEMAS LINEALES Y SEÑALES
T4 Z 4Z Z !Z 3 YZ * Z >+ & ' 4Z ! T4 YZ *>+ Z Z Z 3
YZ
Z
>>Z ! T4 Z Z 3
Donde la respuesta es la transformada inversa de Laplace \
*YZ+
=
\=*YZ+ >D =RRE ! 56D =QRSE T ! >3 WX
Respuesta mediante convolución de ecuaciones diferenciales
_`a _E
b J
_Ed _c
4
J G J J
La ecuación 3 reemplazando en la ecuación 2
J J G J J J
J J G J J J
J J J J J e f G e f J J J J J J
Tenemos que el voltaje en es:
J J J J J J
gg
e
Reemplazando valores de los elementos: >
gg
f
g
g
4
4
UNIVERSIDAD DE CUENCA
SISTEMAS LINEALES Y SEÑALES gg
g
3 > h h 3 >
Encontrando la respuesta al impulso i
h h 3 h !456
h !55
i D =QRSE D =RREj
Condiciones iniciales del impulso
i
i g
i
i g !456 ! 55 3>
La respuesta al impulso es:
!3>
i 3>D =QRSE ! 3>D =RRE j
La respuesta a la salida es:
E
G i ! H HJH I
E
G >U3>D =QRSE=H ! 3>D =RRE=HVH JH k I
E
GU3D =QRSE=H ! 3D =RRE=H V H JH I
63 4> ! 34 >T ! 56D
Reduciendo mediante identidades trigonométricas tenemos que:
=QRSE
> D =RRE
63 4> ! 34 >T T ! >4 WX
Finalmente la respuesta es:
>D=RRE ! 56D =QRSE T ! >4 WX
UNIVERSIDAD DE CUENCA
SISTEMAS LINEALES Y SEÑALES
2 En el circuito de la figura determinar la estabilidad, controlabilidad y observabilidad además encontrar el voltaje en la R2, aplicando convolución mediante variables de estado y mediante transformada de Laplace de variables de estado, finalmente aplicando ecuaciones diferenciales.
Condiciones iniciales nulas. Variables de estado
j
!
j
j
!
f ! e j
!
n! e f m # " m l
q p ) j & p ' ( ! o
UNIVERSIDAD DE CUENCA
SISTEMAS LINEALES Y SEÑALES
Reemplazando valores de los elementos:
' * !+ &
!4 " # & >
Estabilidad
' & ' & ' j !> * !+ & '
,-./ ! 01
!4 ! 1 2 2 > !> ! 1 1 461 1 !T
1 !43>
Para que sea estable el sistema, los valores característicos deben ser menores a cero. 1 7
1 7 Por lo tanto el sistema es estable.
Controlabilidad
89 *:
/
UNIVERSIDAD DE CUENCA
SISTEMAS LINEALES Y SEÑALES
! ,-.8@ 2 2 ! ? !46 > Por lo tanto el sistema es observable. Respuesta mediante convolución de variables de estado E
9D /EF G 9D/E=H :jHJH Kj I
Ya que las condiciones iniciales son nulas 9D /EF además K Obteniendo D /E=H
L1 ,-./ ! 01 1 1 3 1 !T
1 !43>
Por Cayley-Hamilton D /E MN 0 M /M/ O M...
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