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4. Elektrostatik, Grundlagen der Elektrodynamik...

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¨ Ubung Grundlagen Elektrodynamik

(SoSe 2014)

¨ Ubungsblatt IV

Aufgabe 10: Gesamtladung und Dipolmoment (10 Punkte) Berechnen Sie die Gesamtladung Q und das Dipolmoment p~ = dungsverteilungen:

R

~r ρ(~r ) d3 r f¨ ur folgende La-

(a) Der Raum zwischen zwei konzentrischen Kugeln mit dem Radius Ri und Ra (Ri < Ra) sei geladen mit der Dichte ( α ur R i < r < R a f¨ 2 , ρ(~r ) = r 0 sonst. (b) Eine abgeschirmte Punktladung habe die Ladungsverteilung   α2 exp(−α r ) ρ(~r ) = q δ(~r ) − , mit α > 0. 4π r (c) Eine Kugeloberfl¨ache mit Radius R trage die Ladungsdichte ρ(~r ) = σ0 cos θ δ (r − R) . Aufgabe 11: Punktladung bei geerdeter Metallkugel (10 Punkte) Eine Punktladung q befinde sich an der Position ~r ′ . Eine geerdete Metallkugel mit Radius R befinde sich mit ihrem Zentrum im Ursprung (siehe Zeichnung). Da die Metallkugel geerdet ist, gilt bei |~r | = r = R, dass das Potential Φ(r = R) = 0 ist. Geerdete, geladene Kugel

(a) Stellen Sie den Ausdruck f¨ ur das Potential außerhalb der geerdeten Metallkugel mit Hilfe der Spiegelladungsmethode auf, indem Sie eine virtuelle Spiegelladung qs an der Position ~rs′ anbringen.

Φ(r)

mit Radius R

r α R

r’

q

(b) Zeigen Sie, dass durch die Randbedingung des Problems folgt: |~r ′ | qs R q = − ′ und = ′ . |~rs | |~rs | R R

(1)

(c) Interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch: Was passiert mit der Spiegelladung, wenn man den Abstand der Punktladung q von der Kugel selbst a¨ndert? (d) Bestimmen Sie hieraus das Potential Φ(~r ).

Aufgabe 12: Spiegelladungen (10 Punkte) Die Abbildung zeigt eine Konfiguration aus zwei senkrecht zueinander liegenden, geerdeten Metallplatten (φ = 0) und einer Punktladung q. Die Metallplatten seien in der positiven x–z– bzw. y–z–Halbebene (also y = 0 und x > 0 bzw. x = 0 und y > 0) unendlich ausgedehnt. Die z–Achse weise aus der Papierebene heraus. Die Punktladung sei am Ort (xq , yq , 0) positioniert.

y

q

x (a) Wie viele und welche solcher Spiegelladungen sind notwendig, um am Ort der beiden Metallplatten ein verschwindendes Potential zu erhalten? Wo m¨ ussen diese platziert werden? Fertigen Sie eine Skizze dieser Konfiguration an. (b) Begr¨ unden Sie anschaulich, warum das elektrische Feld im Ursprung verschwinden muss. ~ in dem Viertelraum (c) Bestimmen Sie das elektrische Potential φ und das elektrische Feld E (x, y > 0), sowie die Fl¨achenladungsdichten σ1 und σ2 der beiden Metallplatten....