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Zusammenfassung Grundlagen der Digitaltechnik....

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Grundlagen der Digitaltechnik 1 Einführung 1.1 Zum Begriff Information -

Information ist mit Wissen über bestimmte Dinge verknüpft und erhält nur so eine Bedeutung für den Wissenden. Der Begriff Information entzieht sich einer einfachen, präzisen Definition, hat aber etwas mit der Darstellbarkeit von Aussagen und dem Wissen des Empfängers oder Nutzers über das Umfeld der Information zu tun.

1.2 Behandlung von Information - Unter der Voraussetzung, dass sich Information geeignet darstellen lässt, kann man sie - mitteilen/übertragen - aufbewahren/speichern - verändern/verarbeiten - Übertragung: Information so darstellen, dass sie über räumliche Distanzen transportiert werden kann - Ziel: die von der Quelle zur Senke transportierte Information bleibt in ihrer Darstellung unverfälscht und informiert den Empfänger trotz Störungen auf dem Übertragungsweg in der vorgesehenen Weise.

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Speicherung: Information über zeitliche Distanzen transportieren - auch hier: geeignete Darstellung nötig Verarbeitung: aus vorhandener Information nach gegebenen oder abgeleiteten Regeln Bestandteile entnehmen, verändern und neu darstellen - muss nicht unbedingt räumlich oder zeitlich konzentriert erfolgen - eingangsseitig vorhandene Information kann erhalten bleiben und für weitere Verarbeitungsvorgänge zur Verfügung stehen (im Gegensatz zu Materialverarbeitung)

1.3 Digitaltechnik als spezielle technische Lösung -

Übertragung, Speicherung und Verarbeitung von Information heute von Digitaltechnik und Halbleitertechnologie beherrscht Schaffung eines geeigneten Zahlensystems ist wichtige Grundlage am Anfang mechanische Berechnungen auf Basis 10 besonders einfach: Binärsystem Erfindung des Transistors 1948 von fundamentaler Wichtigkeit

2 Funktion und Struktur 2.1 Der Systembegriff -

Begriff System beschreibt Gliederung, Aufbau, Ordnungs- oder Einordnungsprinzip in verwandte oder ähnlich gebaute Gruppen entzieht sich meist einer allgemeinen Definition fast unüberschaubare Zahl von natürlichen/künstlichen, konkreten/abstrakten, statischen/dynamischen, offenen/abgeschlossenen Systemen Ein System umfasst stets kleinere Anteile (Untersysteme, Komponenten, Module, Bausteine, Elemente) Zwischen Objekten eines Systems müssen materielle/energetische/informationelle Beziehungen bestehen Objekte und Beziehungen bilden eine abgeschlossene Einheit, die nur über definierte Schnittstellen betreten oder verlassen werden kann Funktion eines Systems ist das Vermögen, eine Eingabe in eine Ausgabe zu überführen System ist ein Gebilde aus Objekten mit bestimmten Eigenschaften, zwischen denen festgelegte Beziehungen bestehen in der Datenverarbeitungs- und Digitaltechnik: System ist ein nach bestimmten Prinzipien aus Komponenten zusammengesetztes Ganzes, das imstande ist, eine bestimmte Aufgabe zu leisten Architektur eines Systems: Gesamtfunktion, wie sie dem Benutzer gegenüber nach außen hin in Erscheinung tritt

2.2 Hierarchische Aufteilung komplexer Systeme -

bei komplexen Systemen besteht die Notwendigkeit, den Darstellungsaufwand der Gesamtfunktion durch Aufteilung in Untersysteme in überschaubare Teilfunktionen zu zerlegen und damit die Umsetzung in technische Lösungen zu ermöglichen (stufenweise Entwicklung eines Systems)

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meist reicht eine einschrittige Verfeinerung nicht aus, um eine Realisierung vornehmen zu können

2.3 Systematischer Entwurf von digitaltechnischen Systemen -

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Top-Down-Entwurf: Entwicklung des Systems geht von der allgemeinen Systemspezifikation aus und endet durch rekursive Anwendung von Transformationen bei der elementarsten Verfeinerung Bottom-Up-Entwurf: Start mit Detailkenntnissen einer elementaren Struktur und Ableitung einer Funktion durch Abstraktion, aus der durch rekursive Anwendung der umgekehrten Transformation schließlich die Funktionsbeschreibung eines Systems entsteht systematischer Entwurf von Digitalsystemen folgt heute recht streng dem TopDown-Prinzip, einzelne Komponenten werden aber im Bottom-Up-Prinzip optimal technisch gestaltet und dann in den Top-Down-Weg einbezogen (Jo-JoEntwurfsstil) Transformationsschritte lassen sich in drei Hauptgruppen zusammenfassen: - Systementwurf - Logischer Entwurf - Physikalischer Entwurf

3 Nachricht und Signal 3.1 Information und Nachricht -

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Nachricht: Gebilde aus Zeichen oder kontinuierlichen Funktionen, die aufgrund bekannter oder unterstellter Abmachungen Information darstellen und die vorrangig zum Zweck der Weitergabe als zusammengehörig angesehen und deshalb als Einheit betrachtet werden Daten: Gebilde aus Zeichen oder kontinuierlichen Funktionen, die aufgrund bekannter oder unterstellter Abmachungen Information darstellen, vorrangig zum Zweck der Verarbeitung oder als deren Ergebnis Zeichen: Element aus einer endlichen Menge von Objekten (Zeichenvorrat), die zur Darstellung von Information vereinbart wurde - Morsezeichen/-alphabet - Buchstaben und Ziffern - beliebiger Zeichensatz Symbol: Zeichen oder Zeichenfolge, dem in der gegebenen Situation eine bestimmte Bedeutung zugeordnet ist - mathematische Symbole - Spielkarten - Schaltsymbole

3.2 Physikalische Größen als Nachrichtenträger -

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technisch betrachtete Darstellung von Nachrichten bedarf eines Trägers physikalischer Natur, bei dem durch technische Maßnahmen Veränderungen vorgenommen werden können (meist physikalische Größen, die technisch gut beherrschbar sind) - Spannung, Strom, Widerstand, Feldstärke etc Signal: Darstellung von Nachrichten oder Daten mit physikalischen Mitteln

3.3 Kontinuierliche und diskrete Signale -

Parameterwerte lassen sich nur endlich genau feststellen nur Angabe von Wertebereichen möglich (diskrete Signale mit Wertintervallen)

3.4 Signale mit begrenzter Zahl von Werten -

Einschränkung der Zahl der möglichen Werte, um zu preiswerten und technisch zuverlässigen Lösungen zu kommen Problem: an Intervallgrenzen muss beliebig genau entschieden werden, zu welchem Intervall ein Signalwert gehört (harte Diskrimination) Lösung: Einschub eines Intervalls, dessen Digitalwertzuordnung zu den benachbarten Intervallen undefiniert ist (weiche Diskrimination) bei 𝑛 Sollintervallen (Digitalwerten) sind 𝑛 − 1 undefinierte Zwischenintervalle nötig

3.5 Binärsignale -

besonders einfache und kostengünstige technische Lösung: Signaldarstellung mit der geringsten Digitalwertzahl 2

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Intervalle üblicherweise mit H (High) und L (Low) benannt Auswahl aus zwei Werten, elementarste Entscheidungsmöglichkeit ein Binärsignal stellt eine Information von 1 bit (binary digit) dar Alternativen werden mit 0 und 1 bezeichnet Schaltungen für Binärsignale technisch besonders günstig (Aufwand, Geschwindigkeit, Platzbedarf, funktionelles Verständnis etc.), sie dominieren heutzutage in Anwendungen Signale mit mehr als zwei Werten können für besondere Anwendungsfälle trotzdem technisch besser geeignet sein als Binärsignale allgemein reicht ein Binärsignal zur Informationsdarstellung nicht aus, deshalb zusammengesetzte Repräsentation aus mehreren Binärsignalen mit 𝑛 Binärsignalen lassen sich 2𝑛 unterschiedliche Kombinationen bilden wie viele Binärsignale zur Darstellung von N Werten? - es muss auf jeden Fall gelten: 𝑁 ≤ 2𝑛 - somit 𝑛 = log2 𝑁 = 𝑙𝑑𝑁 (auf nächstgrößere ganze Zahl aufrunden!) - wenn 𝑁 < 2𝑛 , so werden nicht alle Wertekombinationen benötigt, es bleiben sogenannte redundante (überflüssige) Werte übrig - Absolute Redundanz: 𝑅 = 2𝑛 – 𝑁 𝑅 - Relative Redundanz: 𝑟 = 2𝑛 Binärsignale werden übelicherweise zu Strukturen zusammengefasst (Bündel, Vektoren, etc.)

3.6 Informationsgehalt -

Informationsgehalt eines Zeichens hängt mit dessen Auftrittswahrscheinlichkeit zusammen (Tritt ein Zeichen zu 100% auf, so ist der Informationsgehalt 0) ein Zeichen trägt umso mehr Information, je seltener es beim Empfänger eintrifft 1 Informationsgehalt: 𝐻𝑒 = 𝑙𝑑(𝑝) [𝑏𝑖𝑡] bei einer Informationsquelle von N Zeichen mit der Auftrittswahrscheinlichkeit p i gilt: ∑𝑁 𝑖=1 𝑝(𝑖 ) = 1 1 () durchschnittlicher Informationsgehalt (Entropie) der Quelle: 𝐻 = ∑𝑁 𝑖=1 𝑝 𝑖 ⋅ 𝑙𝑑

𝑝(𝑖)

4 Codes 4.1 Code und Codewörter -

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ein Code ist eine Vorschrift für die eindeutige Zuordnung (Codierung) der Zeichen eines Zeichenvorrats (Urmenge) zu denjenigen eines anderen Zeichenvorrats (Bildmenge) Zuordnung muss nicht umkehrbar eindeutig sein

Codewörter werden meist so strukturiert, dass sie eine bestimmte 0/1-Verteilung aufweisen, dabei kann die Anzahl der Einsen und/oder deren Lage im Codewort bedeutsam sein Ist die Anzahl der Binärstellen m und die Anzahl der Einsen k vorgegeben und spielt die Lage der Einsen keine Rolle, so lassen sich (𝑘𝑚) unterschiedliche Codewörter bilden wichtiges Unterscheidungsmerkmal zwischen gleichlangen Codewörter ist die Anzahl an unterschiedlichen Binärstellen (Hamming-Distanz, HD)

4.2 Codes für die Analog/Digital-Umsetzung -

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An der Schnittstelle zwischen Teilsystemen mit stetig dargestellten Größen und digital arbeitenden Teilsystemen ist es nötig, einen (endlichen) Bereich der stetigen physikalischen Größe in eine Darstellung mit Binärgrößen bei gegebener Auflösung umzusetzen Problem: Auffinden einer geeigneten Zuordnung zwischen stetig angeordneten Werten und Binärwörtern, so dass kleine Veränderungen bei den Werten auch als kleine Veränderungen auf der Binärseite abgebildet werden

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Lösung: nebeneinanderliegende Messwerte werden „nebeneinanderliegenden“ Codewörtern zugewiesen (Hamming-Distanz 1), sodass die Unsicherheit im Umschalten nur die beiden sowieso beteiligten Codewörter einbeziehen einschrittige Codes - Gray-Code Linear (m=4) Zyklisch (m=3) 0: 0000 0: 000 1: 0001 1: 001 2: 0011 2: 011 3: 0010 3: 010 4: 0110 4: 110 5: 0111 5: 111 6: 0101 6: 101 7: 0100 7: 100 8: 1100 (0: 000) 9: 1101

4.3 Austauschcodes -

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ASCII-Code (American Standard Code for Information Interchange, 7-bit) - Buchstaben, Ziffern und international gebräuchliche Sonder- und Steuerzeichen - 3 Most Significant Bits (MSB) und 4 Least Significant Bits (LSB) - für nicht-englische Sprachen nicht ausreichend, weil zu wenige Binärkombinationen, um z.B. deutsche Umlaute darzustellen UNICODE (16-bit) - 65536 Zeichen - ASCII-Code vollständig enthalten, belegt die ersten 128 Zeichen auch Codes, die an der Schnittstelle vom und zum Teilsystem Mensch nötig sind

- 7-Segment-Code - Punktmatrixanzeigen - Codes, die Maschinenlesbarkeit von Zeichen ermöglichen, z.B. Zeichensatz für Kfz-Kennzeichen oder OCR-Schriften (Optical Character Recognition)

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teilweise auch Kombination zweier Codes - Strichcode Blindenschrift Töne/Tonfolgen

4.4 Codes für Fehlererkennung und -korrektur -

bei Übertragung/Speicherung von Binärinformationen können Störeinflüsse den Wert der zur Darstellung verwendeten physikalischen Größe so verändern, dass es zu einer falschen Zuordnung kommt (0/1-Vertauschung) geeignete Codes sollen dies erkennen lassen und möglicherweise eine Korrektur erlauben, allerdings durch erhöhten Darstellungsaufwand Nutzung von unbelegten Codewörtern, die zwischen zwei gültigen Codewörtern liegen (Fehlererkennung) Zur Fehlerkorrektur muss das fehlerhafte Codewort die Information enthalten, aus welchem gültigen Codewort es durch Fehler entstanden ist Fehlererkennung mit Paritätsbits: Ergänzung des Codeworts um 1 Paritätsbit, welches für eine gerade oder ungerade Anzahl an Einsen sorgt und so 1-bitFehler erkennt bei Datenblöcken mit 2 Paritätsbits, die Zeilen und Spalten auf gerade oder ungerade Anzahl Einsen ergänzen (Blocksicherung)

4.5 Codes für die Nachrichtenübertragung, optimale Codes -

Merkmale, die Codes zur Übertragung von Daten brauchen:

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- zu übertragende Codewörter müssen gegen Verfälschungen und typische Fehlerfälle geschützt sein - Umfang der dargestellten Nachricht sollte aus Zeit- und Kostengründen möglichst gering sein Annahme über Einzelfehlerfall aus Kapitel 4.4 trifft häufig nicht zu, Fehler treten oft zeitlich konzentriert auf Lösung: Zeichenverflechtung, Binärstellen eines Zeichens werden nicht direkt nacheinander übertragen, sodass ein Störeinfluss nicht mehrere Stellen des gleichen Zeichens beeinflusst bei 𝑗 Zeilen des Verflechtungsschemas und einer Fehlererkennung von 𝑘 Fehlern je Zeile können Bündelfehler bis zur Länge 𝑗 ∙ 𝑘 erkannt werden Minimierung der Länge der Nachricht: Häufig auftretende Zeichen werden möglichst kurzen Codewörtern zugeordnet (z.B. Morse-Code) optimale Codes: Shannon-Fanö-Code, Huffman-Code - Versuch, die mittlere Codewortlänge 𝑚  zu minimieren - Idealwert: durchschnittlicher Informationsgehalt H des Zeichenvorrats Für einen Zeichenvorrat {𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥𝑛 } gilt 1 𝐻 = ∑ 𝑛𝑖=1 𝑝(𝑥𝑖 ) ⋅ 𝑙𝑑 𝑝(𝑥 ) ⅈ

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𝑚  = ∑𝑛𝑖=1 𝑝(𝑥𝑖 ) ⋅ 𝑚(𝑥𝑖 ) mit 𝑝(𝑥𝑖 ) für die Auftrittswahrscheinlichkeit und 𝑚(𝑥𝑖 ) für die Codewortlänge des Zeichens 𝑥𝑖 Shannon-Fanö-Code: - Zeichenvorrat nach steigender Wahrscheinlichkeit linear aufsteigend ordnen - in zwei Mengen teilen, sodass die Summe der Wahrscheinlichkeiten möglichst 50:50 ist - erste Teilmenge erhält als erstes Codierungszeichen 0 und die zweite 1 - Verfahren für beide Teilmengen und alle weiteren Teilmengen so lange durchlaufen, bis es nur noch einelementige Mengen gibt - optimaler Code besitzt Codewörter unterschiedlicher Länge!

4.6 Polyadische Zahlensysteme -

jede Zahl N hat folgenden Aufbau: 𝑁 = 𝑑𝑛 ⋅ 𝑅𝑛 + ⋯ + 𝑑1 ⋅ 𝑅1 + 𝑑0 ⋅ 𝑅0 mit N: Zahl im Zahlensystem R: Basis/Grundzahl/Radix 𝑅 ≥ 2 Ri: Wertigkeit der i-ten Stelle di: Ziffer der Stelle i Z: Menge der Ziffern, 𝑑𝑖 𝜖𝑍 = {0,1,2, … , 𝑅 − 1}

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Tiefgestelltes B/O/D/H für Binär-/Oktal-/Dezimal-/Hexadezimalsystem Problem beim Binärsystem: kleine Zahlen haben hohe Ziffernanzahl, deshalb Zusammenfassen von 3 oder 4 Stellen zum Oktal- bzw. Hexadezimalsystem Problem beim Hexadezimalsystem: Ziffern 0-9 reichen nicht aus, deshalb zusätzliche Nutzung der Buchstaben A-F Hexadezimalzahlen besonders gut für byte-orientierte Darstellungen, da 2 Hexadezimalziffern genau mit 1 Byte dargestellt werden können Realisierung von komplexeren Rechenoperationen durch mathematische Zusammenhänge mit einfachen Operationen, z.B. Multiplikation als Reihe von Additionen Addition von Dualzahlen besonders einfach, da es nur folgende Regeln gibt: 0+0=0 0+1=1+0=1 1+1=10 1+1+1=11 Subtraktion von Dualzahlen durch Komplementrechnung: - 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + 𝑐 − 1 0000 0000𝐵 𝑚𝑖𝑡 𝑐 = 1 0000 0000𝐵 − 𝑏 - c: Zweierkomplement von b (Stellen von b werden invertiert und anschließend 1 addiert) - Hat das Ergebnis 𝑎 + 𝑐 = 𝑑 neun Stellen, so wird die neunte Stelle gestrichen - hat das Ergebnis d acht Stellen, so ist das Gesamtergebnis nach Subtraktion von 1 0000 0000𝐵 negativ, der richtige Betrag erhält man durch die Bildung des Zweierkomplements aus d Umrechnung Dezimal zu Dual/Oktal/Hexadezimal - ND durch die Basis des gewünschten Zahlensystems dividieren - Rest der Division ist der Wert der niederwertigsten Stelle - zur Berechnung der nächsthöheren Stelle nach gleichem Schema verfahren Umrechnung Dual/Oktal/Hexadezimal zu Dezimal - Grundzahlen und Ziffern ins Dezimalsystem überführen - Rechnungen im Dezimalsystem durchführen - Bsp: 𝐹𝐴7𝐸𝐻 = (15 ⋅ 163 + 10 ⋅ 162 + 7 ⋅ 161 + 14 ⋅ 160 )𝐷 = 64126𝐷 Umrechnung Dual zu Oktal/Hexadezimal - 3 bzw. 4 Dualstellen werden zu 1 Oktal- bzw. Hexadezimalstelle zusammengefasst BCD-Code (Binary Coded Decimal) - jeder Dezimalziffer wird ihr Dualzahlenäquivalent zugeordnet - 4 Binärziffern pro Dezimalziffer - 6 Kombinationen (10-15) bleiben unbenutzt, sog. Pseudotetraden - bei Addition zweier BCD-Zahlen muss beim Auftreten eines Übertrags oder einer Pseudotetrade 0110B addiert werden, um zu korrigieren Stibitz-Code - entsteht aus BCD-Code durch Addition von 3 bzw. 0011 - Codewörter für Ziffern 0-4 spiegelbildlich komplementär zu denen für 5-9 - Additionseigenschaften des BCD-Codes bleiben erhalten Aiken-/2-4-2-1-Code - jeder Dezimalziffer wird umkehrbar eindeutig eine 4-stellige Dualzahl zugeordnet, wobei die Binärziffern die Stellenwertigkeit 2, 4, 2 und 1 haben - 0-4 spiegelbildlich komplementär zu 5-9 Eigenschaften von Stibitz und Aiken erleichtern Subtraktion durch Komplementrechnung pro Dezimalstelle sind 4 Binärstellen nötig Zusammenfassen von zwei Dezimalstellen in 1 Byte bisher vorgestellte Codes erlauben nur die Darstellung von Festkommazahlen flexiblere Darstellung nötig, die Gleit- und Fließkommazahlen erlaubt

4.8 Codeumschaltung -

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eineindeutige Codierung verlangt Einhaltung der Beziehung 𝑁 ≤ 2𝑚 manchmal kann m aus wirtschaftlichen/zeitlichen/geometrischen Gründen nicht groß genug gewählt werden - Tastaturen für große Werte von N nicht sinnvoll (z.B. Rechnertastaturen) - Tasten können nicht beliebig klein sein (z.B. Taschenrechner) - Übertragungswege begrenzen Darstellungsbreite des Codeworts (z.B. Leitungszahl/Frequenzen) Lösung: Codeumschaltung - einzelnen oder allen Codewörtern werden zunächst mehrere Bedeutungen zugeordnet (Zuordnung zunächst mehrdeutig) - zur Wiederherstellung der Eindeutigkeit werden Steuer- und Umschaltzeichen eingeführt allgemein N Zahl der zu codierenden Zeichen m Stellenzahl der Codewörter in Binärdarstellung mit 𝑁 > 2𝑚 i Zahl der allen Gruppen gemeinsamen Zeichen j Zahl der Gruppen und damit Umschaltzeichen N‘ Zahl der nutzbaren Codewörter je Gruppe N‘‘ Zahl der mit Umschaltung darstellbaren Codewörter (einschl. der allen Gruppen gemeinsamen Zeichen) 𝑁 ′ = 2𝑚 − 𝑖 − 𝑗 𝑁 ′′ = 𝑗 ⋅ 𝑁 ′ + 𝑖 Gültiger Code ist mit 𝑁 ′′ ≥ 𝑁 gefunden worden, wobei j passend minimal zu wählen ist

5 Mathematische Grundlagen 5.1 Mengen und Mengenoperationen -

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Unter einer Menge versteht man jede Zusammenfassung M von bestimmten Objekten m zu einem Ganzen Mengen werden definiert durch - Angabe ihrer Elemente (endliche Mengen) - Angabe einer Konstruktionsvorschrift (endliche abzählbare Mengen, unendliche abzählbare Mengen (z.B. natürliche Zahlen), unendliche unabzählbare Mengen (z.B. reelle Zahlen)) zwei Mengen heißen genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente besitzen (Reihenfolge der Elemente bei Mengen egal) Anzahl der Elemente einer Menge heißt Mächtigkeit/Kardinalität der Menge und wird mit Betragsstrichen dargestellt eine Menge, die keine Elemente besitzt, heißt leere Menge eine Menge S heißt Teilmenge/Untermenge von M genau dann, wenn alle Elemente von S zu M gehören 𝑆⊆𝑀 S ist Untermenge von M 𝑆⊂𝑀 S ist echte Untermenge von M (wenn |S| < |M|)

die leere Menge ist Untermenge jeder beliebigen Menge die Menge aller Untermengen S einer Menge M heißt Potenzmenge P von M |𝑃(𝑀 )| = 2|𝑀| Potenzmenge der leeren Menge ist die leere Menge (Kardinalität 1) Vereinigungsmenge V: Menge aller Elemente, die zu mindestens einer der zwei Mengen S und T gehören 𝑉=𝑆∪𝑇

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Durchschnittsmenge D: Menge aller Elemente, die zu beiden Mengen S und T gehören 𝐷=𝑆∩𝑇

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gibt es kein Element, das sowohl zu S also auch zu T gehört, sind S und T elementefremd oder disjunkt 𝑆 ∩ 𝑇 =⊘

5.2 Relationen -

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eine Relation zwischen zwei Mengen X und Y ist eine Vorschrift α, die für beliebige Elemente x und y festsetzt, ob x in einer Beziehung α mit y steht - wenn x mit y in Beziehung α steht, schreibt man 𝑥 𝛼 𝑦 - wenn x nicht mit y in Beziehung α steht, schreibt man 𝑥 𝛼 𝑦 Ordnungsrelation: stellt Ordnung unter vergleichbaren Elementen her - z.B. , ≤, ≥, ⊆, ⊇ - reflexiv: 𝑥 𝛼 𝑥 für beliebige x - antisymmetrisch: aus 𝑥 𝛼 𝑦 und 𝑦 𝛼 𝑥 folgt 𝑥 = 𝑦 (Nur wenn X und Y gleich sind, kann X Teilmenge von Y und gleichzeitig Y Teilmenge von X sein) - transitiv: aus 𝑥 𝛼 𝑦 und 𝑦 𝛼 𝑧 folgt 𝑥 𝛼 𝑧 Äquivalenz-Relation: stellt Beziehungen über Gleichwertigkeit oder ...