4. Notación Polinómica - Argentina PDF

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Nota: Para “n” términos se denomina polinomios de “n” términos. Es el valor que toma el polinomio cuando a sus variables se les asigna valores particulares....

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NOTACIÓN POLINÓMICA MONOMIO: Término algebraico cuyas variables tienen exponente natural e incluido el cero. El uso de las letras en lugar de

-51xy5z4  ________________ 2x-3y



números es necesario para generalizar expresiones o propiedades.

________________

POLINOMIO: Expresión algebraica racional entera o suma limitada de monomios no semejantes.

3x 4 y  7 x 3 y 4  2 xz  z 5  

 ________________

___________________________

Normalmente a los polinomios se les representa de la forma:

P(x); Q(x); R(x); …

CARACTERÍSTICAS DE LOS MONOMIOS Y POLINOMIOS: 1. VALOR NUMÉRICO (VN): Al cambiar las variables por números en un monomio y/o polinomio éstos se convertirán en VN. Ejm: Valor numérico de M = 4x2y3 Para x = 2; y = 3 VN (M) = 4(2)2(3)3 = 432 Hallar el VN de las siguientes expresiones para x = 1; y = 2; z = 3. M = 2x3y

= ___________

N = 5x2y2z

= ___________

P = 3x3 + 2y

= ___________

El valor numérico de un polinomio P(x) para x = a se representa por P(a).

2. NOTACIÓN: Las variables en un monomio o polinomio pueden ser expresadas en forma explícita mediante una cierta notación. M(x, y)  Monomio de variables “x” e “y” P(x, y, z)  Polinomio de variables “x, y, z” P(x - 4)  Polinomio de variable (x – 4) P(5)  Valor numérico EJEMPLOS: Ejm 1: Calcular el VN de: P(x) = x2 + 10x – 1 para x = -2 Se está pidiendo: P(-2) P(-2) = (-2)2 + 10(-2) – 1 P(-2) = -17 (VN)

Ejm. 2: Si: P(x) = 3x + 1. Hallar: P(x+7) Colocamos (x + 7) en vez de “x” P(x+7) = 3(x + 7) + 1 P(x+7) = 3x + 22 (cambio de variable) Ejm. 3: Si: P(x-4) = x2 – x + 10. Hallar: P(3) x–4=3x=7 P(7-4) = 72 – 7 + 10 P(3) = 52 Ejm. 4: Si: P(x) = 4x + 10. Hallar: [ ( )]

()

[ ( )]

(

[ ( )]

)

[ ( )]

3. VALORES NUMÉRICOS IMPORTANTES: 3.1. Sumatoria de coeficientes:

P(x) = 8x2 + 3x + 7 Evaluando al polinomio en x = 1. P(1) = 8 . 12 + 3 . 1 + 7 = 18 ∑coef = 18 3.1. Término independiente:

P(x) = 9x2 + 6x + 4 Evaluando al polinomio en x = 0. P(0) = 9 . 02 + 6 . 0 + 4 = 4 T. I. = 4

AUTOEVALUACIÓN 1. Si: P(x) = x2 + x + 3. Calcular: P(1) + P(2) Resolución:

Para x = 1 P(1) = 12 + 1 + 3 = 5 Para x = 2 P(2) = 22 + 2 + 3 = 9 5 + 9 = 14

2

2. Si: P(x+24) = x + 2x + 3. Calcular: P(27) Resolución:

x + 24 = 27 x=3 P(x + 24) = 32 + 2 . 3 + 3 P(x + 24) = 18  P(3 + 24) = P(27) = 18

3. Si: F(x) = x2 + 4 y además Calcular: ( ) Resolución:

Para x = √ (√ )

()

√

()



()

(√ )

=6

4. Indicar la suma de coeficientes del polinomio: 10 P(x) = (x + 1) (x – 2) (x + 5) + (x – 1) + 2 Resolución:

∑coef

x=1

P(1) = (1 + 1)(1 – 2)(1 + 5) + (1 – 1)10 + 2 P(1) = (2) (–1) (6) + 010 + 2 P(1) = –12 + 2  ∑coef = –10

5. Obtener el término independiente: 5 R(x) = (x – 2) (x + 1) + (x + 2) (x + 4) + 3x – 2 Resolución:

T. I x=0 R(0) = (0 – 2)(0 + 1)5 + (0 + 2) (0 + 4) + 3 . 0 – 2 R(0) = (–2) (1)5 + (2) (4) – 2 R(0) = –2 + 8 – 2 R(0) = 4  T. I = 4

6. Si: P(x) = 2x – 3 y Q(x) = x + 2. Calcular: P (Q(1)) + Q (P(2)) Resolución:

Q(1) = 1 + 2 = 3 P(Q(1)) = P(3) = 2 . 3 – 3 = 3 P(2) = 2 . 2 – 3 = 1 Q(P(2)) = Q(1) = 1 + 2 = 3 3+3=6

40

37

7. Si P(x) = x – 125x + 2x – 3. Calcular P(5) + P(0) Resolución:

P (5) = 540 – 53 . 537 + 2 . 5 – 3 P(5) = 540 – 540 + 10 - 3 P(5) = 7 P(0) = 040 – 125 . 037 + 2 . 0 – 3 P(0) = – 3  P(5) + P(0) = 7 – 3 = 4

2

8. Si P(2x – 1) = x + 2x – 3. Calcular P(5). Resolución:

2x – 1 = 5 x=3 2

P(5) = 3 + 2 . 3 – 3 P(5) = 9 + 6 – 3  P(5) = 12

9. Si: R(x) = 3x + 2 – 3x + 1 – 3x. Calcular: R(1) + R(0). Resolución:

R(1) = 33 – 32 – 3 R(1) = 15 R(0) = 32 – 3 – 1 = 5 R(0) = 5  R(1) + R(0) = 15 + 5

R(1) + R(0) = 20

10. Si: F(x + 2) = 3x – 5 Calcular F(x + 5) Resolución:

x+2 x

x+5 x+3

F(x + 5) = 3 (x + 3) – 5 F(x + 5) = 3x + 9 – 5  F(x + 5) = 3x + 4

11. Si: R(x) = 2x + 10 y R(Q(x)) = 4x + 16. Calcular Q(5) Resolución: x

Q(x)

R(Q(x)) = 2 Q(x) + 10 4x + 16 = 2 Q(x) + 10 4x + 6 = 2 Q(x) 2x + 3 = Q(x)  Q(5) = 2 . 5 + 3 Q(5) = 13

12. Si P(P(P(x))) = 8x + 49 y P(x) = ax + b Calcular a2 + b2 Resolución:

x P(x) P(P(x)) = a(P(x)) + b P(P(x)) = a(ax + b) + b x P(P(x)) P(P(P(x))) = a{a(ax + b) + b} + b 8x + 49 = a {a (ax + b) + b} + b 8x + 49 = a {a2x + ab + b} + b 8x + 49 = a3x + a2b + ab + b

Por comparación: 8 = a3 2=a a2b + ab + b = 49 22. b + 2.b + b = 49 7b = 49 b=7

 a2 + b2 22 + 72 = 53...