5. Método de Muller - Apuntes 1 PDF

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5. Método de Muller...

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Método de Müller Es un método de interpolación que aproxima la función f(x) cuya raíz interesa por un polinomio cuadrático. Para determinar dicho polinomio se consideran tres puntos cercanos a la raíz de la ecuación f(x) = 0. Sean A( x0 , f 0 ) , B ( x1 , f1 ) y C .( x2 , f 2 ) dichos puntos y sea P (u )= au2 + bu + c el polinomio que interpola a f (x ) en dichos puntos. Para simplificar la obtención del polinomio cuadrático se supone que el origen pasa por el punto que esta en medio de los otros dos. Sea Sea h1 = x1 − x 0 , h2 = x0 − x 2

Los coeficientes a , b , c del polinomio P (u ) se determinan resolviendo el sistema P (0) = f 0

⇒ a (0)2 + b (0)+ c = f0

P (h1 ) = f1 ⇒ ah12 + bh1 + c = f1 ⇒ ah2 2 − bh2 + c = f2 ( en este desarrollo se considera x2 < x0 < x1 , es decir,x0 es el punto del medio) P (h2 ) = f2

Se obtiene,con d =

h2 : h1

c = f0 ,

a=

d · f1 − (1+ d )· f0 + f 2 , (1 + d )·d ·h1 2

b=

f1 − f 0 − a ·h12 h1

Con los valores determinados dea ,b ,c se resuelve P u( )= au 2 + bu + c = 0

eligiendo la raíz más cercana a x 0 . Este valor es: r = x0 −

2c

b ± b 2 − 4 ac El signo del denominador se toma de modo que coincida con el deb : sib > 0 se considera el signo + y si b < 0 se elige el signo - en el denominador. De ese modo el denominador toma su mayor valor absoluto. El valor r calculado es uno de los tres puntos a considerar en el siguiente paso,es decir, si r queda a la derecha de x0 se toman los puntos x0 ,x1 ,r y si r queda a la izquierda dex0 , los puntos a considerar son x0 ,x2 ,r . En ambos casos los puntos se redefinen de modo quex0 sea el punto del medio de los tres esco gidos.

Ejemplo:

1 y := sin( x ) − x 2

Su gráfica es:

La raíz está entre x2 =1.8 y x1 = 2.2. Tomando x0 =2.0 entre x2 y x1 x0 := 2.0 x1 := 2.2 x2 := 1.8

los correspondientes valores de f(x), h1, h2 y d son: y0 := -.0907025732 y1 := -.2915035962

y2 := .0738476309 h1 := .2

h2 := .2 d := 1.000000000

Resolviendo el sistema se obtienen los coeficientes del polinomio cuadrático: a := -.4531352362 b := -.9133780680 c := -.0907025732

Por ser b < 0 se considera el signo (-) en el denominador de la expresión para r, raíz del polinomio ( r es una primera aproximación a la raíz de f(x) ) r := 1.895252107

La raíz r del polinomio se encuentra a la izquierda de x0. Los nuevos valores son x00 := 1.895252107 x11 := 2.0 x22 := 1.8

h11 := .104747893 h22 := .095252107 d1 := .9093462816

y los nuevos valores de la función son: y00 := .0001983067 y11 := -.0907025732

y22 := .0738476309

Los valores de los nuevos coeficientes del polinomio son: a1 := -.4730106876 b1 := -.8182594122

c1 := .0001983067

Con dichos valores se obtiene una nueva aproximación a la raíz resolviendo el polinomio cuadrático: r1 := 1.895494425

El valor de la función en r1 es: y3 := -.1294 10 -6

y la solución “exacta” (obtenida con Maple) de la ecuación propuesta es: rexac := 1.895494267

La magnitud del error absoluto en r1 es: er := .158 10 -6

Ejemplo 2: Calcular la raíz en el segundo cuadrante de la ecuación: y := (1 + x ) sin( x ) − 1 = 0

x2 := 2.8 x0 := 2.9 x1 := 3.0

h1 := .1 h2 := .1

d := 1.000000000 y2 := 1.726773367 y0 := -.0669276161

y1 := -.4355199676 a := 71.25543160

b := -10.81146668 c := -.0669276161 r := 2.894043416

y3 := -.0458478202

x22 := 2.894043416 x00 := 2.9 x11 := 3.0

h11 := .1 h22 := .005956584

d1 := .05956584000 y22 := -.0458478202 y00 := -.0669276161 y11 := -.4355199676 a1 := -1.387518017

b1 := -3.547171713 c1 := -.0669276161

Una segunda aproximación a la raíz es r1 y la raíz "exacta" es rexac: r1 := 2.880990772

rexac := 2.880986321

El valor de la función en x = r1 es: y33 := -.0000155441...