6.Tema 5 Proyecciones Cartograficas III PDF

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Proyeccciones cartográficas III

DESARROLLOS CÓNICOS

1

DESARROLLOS CÓNICOS (TIERRA ESFÉRICA) ................................................................ ............. .................................... 1 1.1

CONVERGENCIA DE MER RIDIANOS ................................................................ ........................ .................................... 1

1.2

DESARROLLO CÓNICO D DIRECTO. ................................................................ ......................... .................................... 3

1.3

COORDENADAS LAMBERT ................................................................................................ ........................................ 3

1.4

DESARROLLO CÓNICO C COMFORME DE LAMBERT ................................ ............................ .................................... 4

1.5

CALCULO DE LAS COOR RDENADAS: ................................................................ ...................... .................................... 7

2

PROYECCIÓN DE LAMBERT RIGUROSAMENTE CONFORME (TIERRA ELIPSOIDE).................. .............. ...................... 8

1

DESARROLLOS CÓNICOS(TIERRA ESFÉRICA)

1.1

CONVERGENCIA DE MER IDIANOS

El cilindro tangente a la tierra se susstituye por una superficie cónica tangente a lo largo de el paaralelo , un de latitud  , valor que dependerá de la zona a representar.

El desarrollo de la superficie cónica una vez realizada la proyección formará una representacióón en la que todos los meridianos serán siempre rectas (independientemente de donde se e ncuentra el centro de proyección) que concurren en un punto (vértice del ccono), y cuyos ángulos respecto al meridiano central que aadoptaremos como eje

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José Manuuel Delgado de Molina

Proyecciones cartográficas III , vamos a denominar convergecia de meridianos 1, que representaremos con la letra  , siendo los paralelos arcos de círculos de circunferencias con centro en el citado vértice del cono. El valor de este ángulo se puede obtener considerando el punto , sobre la esfera, cuyo meridiano lo vamos adoptar como origen, y un punto B que se encuentra en el mismo paralelo que ,actuando el citado paralelo como paralelo de tangencia del cono. De esta manera  =    =  y el paralelo de tangencia será automecoico (  = 1)

De las figuras anteriores obtenemos el arco , sobre la esfera:

A su vez el′ ′ , en el desarrollo tendrá el valor:

Y al ser el paralelo de tangencia automecoico, se verificará  =  ′  ′,con lo que sustituyendo valores:

de donde :

Conocido el valor del ángulo de convergencia es posible trazar en la proyección cualquier meridiano.

1

El estudio del ángulo de convergencias de meridianos es común para todos los desarrollos cónicos que se van a desarrollar a lo largo de este tema.

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1.2

DESARROLLO CÓNICO DIRECTO2.

El radio del paralelo de tangencia es:

Otro paralelo cualquiera de latitud , cortará al cono en los puntos y , y tratándose de una proyección ortográfica, en la representación le corresponderá una circunferencia, cuyo radio  =   , vamos a calcular:  y   , estableciendo la proporcionalidad de sus lados: De los triángulos semejantes 

o sea,

operando:

que es el valor del radio del paralelo de latitud 

1.3

COORDENADAS LAMBERT

Una vez obtenidos el ángulo de convergencia de un meridiano y el valor del radio de un paralelo, nos falta establecer un sistema de coordenadas cartesianas en la representación. Adoptamos como origen ,la intersección del meridiano de referencia con el paralelo de tangencia y como dirección , la proyección del meridiano de referencia, siendo pues el eje , tangente al paraleo de tangencia  

2

El eje del cono coincide con el eje de rotación Pág.: 3 / 11

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Y por tanto:

Que también se pueden poner de la forma:

1.4

DESARROLLO CÓNICO COMFORME DE LAMBERT

Sobre el desarrollo cónico de Lambert, vamos a fijar la condición de conformidad. Para ello bastará (como se va a demostrar) hacer que el radio  , cumpla la condición:

Siendo ,la colatitud y y , son constantes de la proyección. Supuesto un elemento diferencial en la esfera y en la proyección, tratemos de expresar que el elemento diferencial en el meridiano es proporcional al del paralelo, dicho de otra manera que la anamorfosis en el meridiano y en el paralelo es la misma.

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El elemento diferencial de meridiano en la esfera es:

El correspondiente en el plano es:

La anamorfosis en el meridiano es:

Por otra parte hacemos lo mismo en el paralelo:

recordemos que:

llamado  = cos 

3

y sustituyendo:

La anamorfosis lineal sobre el paralelo será:

La condición que hemos de imponer, es que la anamorfosis sean iguales a lo largo del paralelo que a lo largo del meridiano, de esta forma conseguiremos que halla proporcionalidad entre los lados y que ángulos se mantengan. haciendo que ℎ = :

3

Recordemos que Pág.: 5 / 11

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y de aquí:

e integrando4

de donde:

que para  = 0, punto ecuatorial, tendremos:

O sea que la constante ", representa con el valor que le corresponde al Ecuador, obteniendo finalmente:

El valor de ,se obtiene sencillamente de la consideración de que si en el paralelo de tangencia elegido hemos de obtener un valor de:  = # cot   =    %tan

 * )  2

En el caso de suponer # = 6370 . , y  = 40° , se alcanza la fórmula que da el valor de cualquier paralelo expreso en km.

4

Descomponiendo en fracciones simples:

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Y llegaríamos para esa condición de paralelo de tangencia a la expresión final de:

donde  ,viene expresado en km. Para otra proyección con otro paralelo de tangencia habrá que calcular su  , correspondiente.

1.5

CALCULO DE LAS COORDENADAS:

Problema directo: Una vez conocido el valor  , se emplean las expresiones obtenidas en el desarrollo cónico directo:

Problema inverso:

De la figura deducimos:

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Y para el cálculo de la latitud:

Despejando el valor de ,y por tanto de 090 − ),se obtiene:

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PROYECCIÓN DE LAMBERT RIGUROSAMENTE CONFORME (TIERRA ELIPSOIDE)

Mantenido el mismo criterio de conformidad en la igualdad de las anamorfosis en los elementos diferenciales del meridiano y del paralelo, ahora en el elipsoide y partiendo de la figura ya vista (supuesta la forma elipsoidal):

: Que si establecemos la condición de conformidad:

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Recordando la expresión vista en la proyección cónica directa por desarrollo en la que:  = 3 sin 5 , 6 = 63 sin 5 que sustituyendo, y siendo  =  sin 

5

El signo negativo obedece al acortamiento que tiene la generatriz al incrementar la latitud Pág.: 8 / 11

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Por otra parte el valor de 8 9:; < , se puede descompone en fracciones simples (Mercator) en la forma:

Que sustituyendo:

e integrando:

Luego:

Si hacemos igual que cuando se consideró la Tierra esférica,  = 90 − , considerando la colatitud en este caso geodésica (elipsoide); tendremos:

=

Sumado , a los dos miembros: >

Tendremos:

Y por tanto:

La constante de integración es de nuevo , que se corresponde con el radio del Ecuador. Veamos su cálculo:  =   cot  Pág.: 9 / 11

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5 = 

01

?

D − @ABC A  ) EA

El valor ,se debe corregir del valor de , que dé como resultado la elipse de Tissot de la proyección. En le caso de latitud 40º su valor es de = 0,9988085293 Con el valor de  , corregido, se calcula el valor de  , haciendo  = 90

Un ejemplo de aplicación se realiza para el elipsoide de Struve:

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José Manuel Delgado de Molina

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Fuente:

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Geodesia y cartografía matemática

Fernando Martín Asín ISBN – 84 -398 -0248 – X

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