9 Subespaços vetoriais e interseção PDF

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Aula sobre subespaços vetoriais e interseção...

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SUBESPAÇOS VETORIAIS Definição de subespaços Vetoriais

Sejam dados V um espaço vetorial W ⊂ V eW≠ de V.

ϕ (diferente do conjunto vazio) – W é um subconjunto não vazio

Para mostrar que um subconjunto W é um subespaço vetorial de V, deveríamos provar todos os 8 axiomas de espaço vetorial, no entanto:  como W é parte de V, que é um espaço vetorial, então tomamos como válidos os 8 axiomas;  o que temos que verificar é, se esse subconjunto W, de um espaço vetorial, é um subespaço vetorial de V. TEOREMA W é denominado um subespaço vetorial de V quando forem satisfeitas as seguintes condições: (i) u , v ∈W ⇒u+ v ∈W (ii)

α ∈ ℜ , u∈W ⇒ α⋅u∈W

OBS: a) α =0∈ℜ, u∈W ⇒ 0⋅u ∈W ⇒ 0∈W

(ver condição ii)

b) Dado um espaço vetorial V, existem pelo menos dois subespaços vetoriais de V, que são chamados de subespaços triviais ou subespaços próprios que são:  o próprio espaço vetorial V  e o conjunto {0}, chamado subespaço zero ou subespaço nulo / vetor nulo  Se for no R 2 esse subespaço será {0, 0}, no R 3 será {0, 0, 0}...  Qualquer subespaço W de V precisa necessariamente conter o vetor nulo.  Todo espaço vetorial admite, pelo menos, dois subespaços (que são chamados de subespaços triviais): o conjunto formado apenas pelo vetor nulo e o próprio espaço vetorial.

Exemplos:  Os subespaços triviais de V = R

2

são {(0,0)} e o próprio R 2, que são as

3

são

retas que passam pela origem.

 Os subespaços triviais de V = R {(0,0,0)} e o próprio

R

3

, que são as

retas e os planos que passam pela origem.

Exemplos de subespaços Vetoriais 1. Sejam V = R x) x ∈ R } .

2

e

S = {(x, y) ∈

R

2

/ y = 2 x}

ou

S = {(x, 2

Ou seja, S é o conjunto dos vetores do plano que têm a segunda componente igual ao dobro da primeira.  S ≠ ϕ , pois se 0 ∈ S, então (0, 2.0) = (0, 0)  Seja (i)

u = (x1, 2 x1) ∈ S e

u,v ∈ S

⇒

Logo, (0, 0) ∈ S.

v = (x2, 2 x2) ∈ S :

u+v ∈ S

(x1, 2 x1) + (x2, 2 x2) = (x1 + x2, 2 x1 + 2 x2) = [x1 + x2, 2( x1 + x2)] = Logo, u + v ∈ S, pois a segunda componente de u + v é o dobro da primeira.

(ii) α ∈

R

u ∈ S

⇒

α u ∈ S

α u= α (x1, 2 x1) = [α x1, α (2 x1)] = [α x1, 2 (α x1)] = Logo, α u ∈ S , pois a segunda componente de α u é igual ao dobro da primeira.

Portanto, S é um subespaço vetorial de R 2.

Obs.: se a reta não passa pela origem, isso não ocorre. Exemplo: R

A reta S = { (x, 4 – 2 x); x ∈ escolhermos u = (1, 2) ∉ S

e

}

não é um espaço vetorial do R v = (2, 0), com u e v ∈ S,

u + v = (1, 2) + (2, 0) = (3, 2) α u ∉

Veja: se

α=2,

2

, pois se u+v

∉

S

S para α ≠ 1

α (1, 2)  2 (1, 2) = (2, 4)

Exercício: 1. Prove que se W⊂ℜ 3

do ℜ Tome:

.

3

e passa pela origem, então W é um subespaço vetorial

W = { (x, y, z)/ ∈

u = (x1, y1, z1)

e

R

3

/ ax + by + cz = 0}

v = (x2, y2, z2)

Demonstração: Seja ax+by+cz=0

a equação cartesiana de um plano que passa

pela origem. Neste caso, W é o conjunto de todas as triplas ordenadas (x, y , z ) que satisfazem esta equação. Então, devemos provar que se: (i) u, v ∈W ⇒ u+v∈ W

e

(ii) α∈ℜ, u∈W ⇒ α⋅u∈W

Considerando u=( x1 , y1 , z 1 ) e v =( x 2 , y 2 , z 2 ) , temos: Se u, v∈W ⇒

(i)

ax 1 + by 1 + cz 1 =0

e

ax 2 +by 2 + cz 2 =0 ⇒

Somando membro a membro obtemos: a

⇒

( x1 + x2 )+b ( y 1 + y 2)+ c ( z 1 + z2 )= 0 ( x 1+ x2 ,

Logo, a tripla ordenada

y 1 + y 2 , z 1 + z 2 ) =u+ v

também satisfaz à equação ax +by +cz=0 , assim concluímos que u+v∈W .

α∈ ℜ, u∈W ⇒

α⋅u= ( α⋅x1 , α⋅y1 , α⋅z 1)

Dada a equação do plano:

ax 1 + by 1 + cz 1 =0

(ii)

⇒

Multiplicando os dois membros da expressão por

α u ∈W

α

obtemos:

α⋅( ax 1 + by 1 + cz 1) =α⋅0

( α⋅ax 1 , α⋅by 1 , α⋅cz 1) =α⋅o a⋅( α⋅x 1 ) +b⋅( α⋅y 1 ) +c⋅( α⋅z 1 ) =0 ⇒

α⋅x 1 , α⋅y 1 , α⋅z 1) =α⋅u Logo, a tripla ordenada (

também satisfaz à equação ax +by +cz=0 , assim concluímos que α⋅u∈W .

Para exercitar... 2. Verifique se W = { (x, y, z)/ ∈

R

3

/ x + y = 11} é um subespaço vetorial.

INTERSECÇÃO DE SUBESPAÇOS VETORIAIS Teorema: Dados W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V, a interseção W1 ∩ W2 ainda é um subespaço de V. • W1 ∩ W2 nunca é vazio já que eles sempre contêm, pelo menos, o vetor nulo.

Exemplo 1: Se

W1

e W2

são subespaços vetoriais de V, então W 1 ∩W 2

subespaço vetorial de V. u , v ∈ (W 1 ∩W 2 ) ⇒

(i)

u , v ∈W 1 e u , v ∈W 2 ⇒ ( u+ v ) ∈W 1 e ( u+ v ) ∈W 2 ⇒ ( u+ v )∈W 1 ∩W 2

(ii)

α ∈ ℜ , u∈W 1 ∩W 2 ⇒ u∈W 1 e u∈W 2 ⇒

α⋅u ∈W 1 e α⋅u ∈W 2 ⇒

α⋅u∈W 1∩ W 2

é também um

As figuras abaixo apresentam dois casos para ilustrar que a intersecção de dois subespaços vetoriais de V é também um subespaço vetorial de V:

a) Se W 1 e W 2

são retas que passam pela origem (e, portanto são subespaços

2 vetoriais do ℜ ), então W 1 ∩W 2 ={ 0 } , isto é, a intersecção de W 1 e W 2 é um

conjunto unitário constituído pela origem do sistema cartesiano ( 0= ( 0 , 0) ), que já 2 sabemos que é um dos subespaços triviais do ℜ .

b) Se W 1 e W 2

são planos que passam pela origem (e, portanto são subespaços

3 vetoriais do ℜ ), então W 1∩W 2 é uma reta que também passa pela origem (no

caso da figura é o eixo das cotas, isto é, o eixo z), que também é um subespaço 3

vetorial do ℜ .

Exercício: Encontre 2 contra-exemplos para provar que se subespaços vetoriais de V, então W 1∪W 2

W1

e

W2

são

não é necessariamente um subespaço

vetorial de V (isto é, a união de dois subespaços vetoriais nem sempre é um subespaço vetorial). Exercícios sobre subespaços vetoriais 2 1. Verifique quais dos subconjuntos do ℜ

3 ou do ℜ são subespaços vetoriais

considerando as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. a) S={ ( x , y , z ) / z=2 x − y } 2 b) S={ ( x , y , z )/ z=x }

2. Seja o subespaço vetorial do M 2×2 ( ℜ) , com as operações usuais de adição de matrizes

[

e

multiplicação

]

S={ a−b 2 a ; a , b ∈ℜ} a+b −b .

a) o vetor

[51 26 ]∈S?

de

matriz

por

número

real

definido

por:...