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Lezione n. 1 Richiami del metodo della congruenza Trascurabilità della deformabilità per taglio

B

O

ZZ

A

Nella pratica corrente, molte degli schemi strutturali utilizzati sono rappresentati da travature iperstatiche, ossia da travi o sistemi di travi che possono essere definiti come staticamente indeterminati (da un punto di vista statico) o geometricamente iperdeterminati (da un punto di vista cinematico). La prima definizione risponde del fatto che la trave, facendo ricorso alle sole equazioni che ne governano la statica, non può essere risolta in maniera univoca, in quanto esistono (in generale) infinite configurazioni equilibrate rese possibili dalla presenza dei vincoli: il problema è quindi, da un punto di vista statico, indeterminato. Dal punto di vista cinematico, invece, la definizione di struttura geometricamente iperdeterminata significa che non esistono atti di moto consentiti dalla particolare disposizione dei vincoli e l’iperdeterminazione si manifesta nel fatto che, anche togliendo qualcuno dei vincoli presenti, si avrebbe comunque l’impossibilità di atti di moto rigidi per la struttura. In altre parole, si può pensare di avere a che fare con una struttura nella quale si hanno “troppi” vincoli rispetto a quelli strettamente necessari a garantire l’equilibrio. La soluzione dei sistemi iperstatici richiede quindi non solo l’utilizzazione delle equazioni della statica (che contemplano il solo equilibrio del corpo) ma anche la definizione dello stato di deformazione e di spostamento, in modo da ricercare una soluzione che, al tempo stesso, sia equilibrata e congruente (rispetti, cioè, le condizioni di congruenza offerte dalla necessaria continuità materiale dei corpi e dal rispetto delle condizioni cinematiche dettate dalla presenza dei vincoli). Può quindi essere utile approfondire alcuni aspetti connessi con la soluzione dei sistemi iperstatici, al fine di evidenziare le situazioni in cui particolari caratteristiche strutturali ci permettano di poter semplificare il problema, riducendo il numero delle incognite o trascurando alcuni termini rispetto ad altri. Richiamando il modo di procedere tipico del metodo della congruenza, si possono ad esempio sviluppare alcune considerazioni circa l’influenza della deformabilità per taglio nelle strutture. Anziché affrontare il problema da un punto di vista generale, si farà riferimento alla trave riportata in figura. q

B

A L

Il sistema riportato è una volta iperstatico (i=1): la trave, che possiede nel piano tre gradi di libertà se pensata come corpo rigido, è vincolata attraverso l’azione di due vincoli che complessivamnte forniscono un grado di vincolo pari a 4 (3 per l’incastro in A e 1 per l’appoggio semplice in B). Nell’ottica del metodo della congruenza, si può procedere sopprimendo un vincolo sovrabbondante, in modo da pervenire ad una struttura isostatica che definiremo come “struttura principale”. Tale struttura (che non è univocamente definita a partire dalla struttura assegnata) può ad esempio essere ottenuta eliminando il vincolo alla rotazione in A, ottenendo così la struttura riportata in figura. Gianni Bartoli – Appunti di Tecnica delle Costruzioni

Revisione – 22/10/01

Lezione n. 1 – pag. I.2

X1

q A ϕA

B L

ZZ

A

Il vincolo soppresso in A è rappresentato, da un punto di vista statico, dall’azione (coppia) che esercitava nella struttura di partenza, indicata con X1. Tale azione corrisponde al fatto che, da un punto di vista cinematico, la sezione in A è impedita di ruotare, ossia ϕA=0. Qualunque sia il valore che venga assegnato a X1, è evidente che la trave ammetterà sempre una soluzione equilibrata (e questo corrisponde al fatto che il sistema è staticamente indeterminato). Tra questi valori, però, ne esisterà uno (ed uno solo, dato il teorema di unicità di Kirchhoff) che comporterà un valore nullo della rotazione in A, come il vincolo originariamente presente in tale sezione richiedeva. Il metodo della congruenza consiste quindi nel ricercare (attraverso un’equazione di congruenza, appunto) l’unico valore di X1 che permetta alla struttura di rispettare la congruenza dettata dalle condizioni originariamente imposte, ricercandolo tra gli infiniti valori che consentono l’equilibrio della struttura. Sotto l’azione di X1 (che definiremo come incognita iperstatica) e del carico q, la rotazione in A sarà in generale non nulla, e dipenderà da entrambi i valori delle forze applicate. Si avrà quindi una rotazione che può essere indicata con φ A = φ A (q, X1 ) E’ possibile valutare separatamente i contributi alla rotazione dovuti ai carichi applicati ed all’incognita iperstatica, richiamando la validità del Principio di Sovrapposizione degli Effetti (PSE) in ambito lineare. Si possono quindi studiare i due sistemi:

A

O

q

ϕA(q)

X1

A

ϕA(X1)

B

B L

L

B

e quindi ottenere

φ A = φ A (q ) + φ A (X1 ) Il calcolo dei due contributi può essere effettuato facendo ricorso al Principio dei Lavori Virtuali (PLV) nella formulazione delle forze virtuali. La rotazione ϕA, in entrambi i casi, può infatti essere valutata utilizzando il lavoro virtuale che il sistema riportato in figura compie nei due casi

1* A

B L

dove l’asterisco è stato disegnato soltanto per ricordare che di forza “fittizia” (virtuale appunto) si tratta. Nel sistema appena disegnato, verranno valutati i valori delle reazioni vincolari e delle Caratteristiche di Sollecitazione (CdS), attraverso le quali si procederà alla valutazione del lavoro Gianni Bartoli – Appunti di Tecnica delle Costruzioni

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Lezione n. 1 – pag. I.3

virtuale. Le CdS in tale sistema verranno denotate con N1, T1 e M1, indicando rispettivamente il valore dello sforzo normale, del taglio e del momento flettente lungo lo sviluppo della trave. La valutazione del lavoro rispetto al sistema di spostamenti ed alle Caratteristiche di Deformazione costituito dalla struttura principale con il solo carico q applicato fornisce, in termini di lavoro virtuale esterno, L*e = 1⋅ φ A (q) mentre il lavoro virtuale interno vale L*i =

N  ( N1 ⋅ ε 0 + T1 ⋅ γ 0 + M1 ⋅ k 0 ) ds =  N1 ⋅ 0 ∫ ∫

str

str



EA

+ T1 ⋅

χT0 M  + M1 ⋅ 0  ds GA EJ 



N

M 

χT

∫  N1 ⋅ EA0 + T1 ⋅ GA0 + M1 ⋅ EJ0  ds

str

ZZ

φ A (q ) =

A

in cui si sono indicate con ε0, γ0 e k0 le CdD del sistema costituito dalla struttura principale gravata dei carichi esterni, mentre con N0, T0 e M0 si sono denotate le CdS di tale sistema. Il legame tra CdD e CdS è quello usuale offerto dall’ipotesi di materiale elastico lineare, omogeneo e isotropo. Uguagliando i due termini si ottiene quindi il risultato cercato:

E’ quindi possibile procedere alla valutazione del valore di ϕA(q), risolvendo le due strutture e tracciando i diagrammi delle CdS. Iniziando con la determinazione delle reazioni vincolari, l’applicazione delle equazioni cardinali della statica fornisce i seguenti risultati:

q

HA

VA

B

A

B

O

A

1*

HA

L

L

VB

VB

VA

B

Equilibrio alla rotazione (momenti rispetto ad A): Equilibrio alla rotazione (momenti rispetto ad A): L qL 1* VB ⋅ L − (qL )⋅ = 0 ⇒ VB = VB ⋅ L − 1* = 0 ⇒ VB = 2 2 L

Equilibrio alla traslazione verticale: qL VA + VB = qL ⇒ VA = 2 Equilibrio alla traslazione orizzontale: HA = 0

Equilibrio alla traslazione verticale: 1* VA + VB = 0 ⇒ VA = − L Equilibrio alla traslazione orizzontale: HA = 0

Nelle figure seguenti sono riportati i diagrammi quotati delle CdS: in entrambi i casi, il diagramma dello sforzo normale N non è stato riportato, in quanto tale CdS è costantemente nulla. La convenzione adottata per attribuire i segni alle Caratteristiche di sollecitazione è quella classica: ipotizzando un verso di percorrenza per la trave (nel caso in esame, da sinistra verso destra, ossia da A verso B) sono positivi i momenti che tendono le fibre di intradosso ed è positivo il taglio che Gianni Bartoli – Appunti di Tecnica delle Costruzioni

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Lezione n. 1 – pag. I.4

produce un differenziale positivo di momento flettente. Sulle convenzioni di segno si ritornerà in dettaglio nella lezione successiva.

1*

q

A

A ϕA(q)

B

B VA=1*/L

VA=qL/2

L

L

VB=1*/L -1*/L

-

A

+ -qL/2

qL/2

VB=qL/2

T0

z

-

T1

z

2

M0

O

Equazione del diagramma del taglio: qL T0 (z ) = − (qz ) 2 Equazione del diagramma del momento: qL z z − (qz) M 0 (z ) = 2 2

1*

+

ZZ

Mmax=qL /8

M1

+

Equazione del diagramma del taglio: 1* T1 (z ) = − L Equazione del diagramma del momento: 1* M1 (z ) = 1 * − z L

La successiva valutazione dell’integrale fornisce il risultato: 

M 

∫  N1 ⋅ EA0 + T1 ⋅ GA0 + M1 ⋅ EJ0  ds =

B

φ A (q ) =

N

χT

str

L

 qL  1 *  χ =  − qz   −  dz +  2   L  GA

∫0

L

 qL z 2  1*  1 qL3  z −q 1 * − z  dz = ... =  2 2  L  EJ 24 ⋅ EJ 0

∫

In maniera analoga è possibile procedere per la valutazione del termine ϕA(X1). Questa volta i due sistemi attraverso i quali valutare il PLV sono rappresentati dai due riportati in figura:

Gianni Bartoli – Appunti di Tecnica delle Costruzioni

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Lezione n. 1 – pag. I.5

X1 A

1* A

B

B

L

L

Sistema reale di spostamenti e deformazioni (S.S.D.)

Sistema virtuale di forze e sollecitazioni (S.F.S.*)

A

E’ facile, tuttavia, rendersi conto che il primo dei due sistemi, grazie alla linearità complessiva e quindi utilizzando ancora una volta il PSE, altro non fornisce se non le stesse sollecitazioni e deformazioni del secondo, a meno di un fattore di scala offerto dall’intensità della coppia applicata (pari ad X1). In altre parole, è possibile scrivere (indicando ancora con N1, T1 e M1 le CdS del secondo sistema) che:

ZZ

L*e = 1 ⋅ φ A (X 1 )



L*i =

N

χT

M 

∫ ( N1 ⋅ [ X1 ε1]+ T1 ⋅ [ X1 γ1]+ M1 ⋅ [ X1 k1]) ds = X1 ∫ N1 ⋅ EA1 + T1 ⋅ GA1 + M1 ⋅ EJ1  ds

str

str

da cui

 (N )2 χ (T )2 (M )2  1 1  ds φ A (X1 ) = X1  1 + + EA GA EJ   str

∫

Sfruttando le equazioni per i diagrammi T1 e M1 scritte in precedenza, si ottiene L

O

L

2

2

χ 1*  1 L  1*  χ  φA (X1 ) =  −  dz + 1 * − z  dz = ... = + L  EJ L ⋅ GA 3⋅ EJ  L  GA 

∫0

∫0

La rotazione complessiva della sezione in A nella struttura principale vale quindi L  qL3  χ + X1 ⋅  +  24 ⋅ EJ  L ⋅ GA 3 ⋅ EJ  A questo punto, l’imposizione della congruenza degli spostamenti con la struttura di partenza permette di ricavare il valore dell’incognita iperstatica X1

B

φ A = φ A (q ) + φ A (X1 ) =

φA = 0 ⇒

qL3 L   χ + X1 ⋅  + =0 24 ⋅ EJ  L ⋅ GA 3 ⋅ EJ 

qL3 24 ⋅ EJ

qL3 qL2 1 24 ⋅ EJ X1 = − =−= =− χ χ ⋅ EJ L 8 L  χ ⋅ EJ  1+ 3 +   1 + 3 L ⋅ GA 3 ⋅ EJ 3 ⋅ EJ  L2 ⋅ GA L2 ⋅ GA  Prima di procedere, è utile osservare che il termine 3⋅χ⋅EJ/(L2⋅GA) che compare al denominatore rappresenta una quantità generalmente molto piccola rispetto all’unità. Infatti si ha Gianni Bartoli – Appunti di Tecnica delle Costruzioni

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Lezione n. 1 – pag. I.6

χ ⋅ EJ

 E  χ ⋅ J  1 = 3 ⋅  ⋅  ⋅  G  A  L2 L2 ⋅ GA dove si sono raggruppati i termini che dipendono dalla geometria della sezione (χ⋅J/A), dal materiale dal quale è costituita la trave (E/G) e dalle caratteristiche della trave (1/L2). In campo elastico lineare vale la relazione 3

G=

E ⇒ 2 ⋅ (1 + ν )

E = 2 ⋅ (1 + ν ) G

In cui ν, coefficiente di Poisson, assume usualmente valori compresi nell’intervallo

A

ν ∈ [0 ÷ 0.5 ] Al fine di valutare l’ordine di grandezza del termine 3⋅χ⋅EJ/(L2⋅GA), si può ad esempio supporre che ν =0.25, ottenendo

b h3 12 da cui J=

A= bh

χ=

χ⋅J 6 b h3 1 h2 = = A 5 12 b h 10 Si ottiene quindi

2 5  h2  1 3 h =   = 3 ⋅  ⋅   ⋅  2   10  L2 4  L  L2 ⋅ GA

χ ⋅ EJ

O

3

6 5

ZZ

E 5 = 2.5 = G 2 Il termine χ⋅J/A dipende, come detto, dalle caratteristiche della sezione trasversale della trave. Sempre al fine di valutarne l’ordine di grandezza, si può ad esempio far riferimento al caso di una sezione rettangolare di dimensioni b×h. In questo caso si ha infatti

B

Le strutture oggetto di studio sono, normalmente, strutture snelle, ossia caratterizzate dal fatto di avere la lunghezza dei vari tratti sensibilmente maggiori delle dimensioni trasversali della sezione. L’utilizzazione dei risultati validi nel caso del solido del De’ Saint Venant richiede, infatti che il rapporto h/L assuma valori molto inferiori ad 1 (di solito, si assume che L sia almeno un ordine di grandezza maggiore rispetto alle dimensioni trasversali della sezione, e, quindi, ad h). Anche assumendo h/L≈1/10, si avrebbero valori del rapporto (h/L)2 nell’ordine di 1/100, e quindi, come ordine di grandezza, si può affermare che 3

χ ⋅ EJ 2⋅

<

3 1   4  10 

2

=

1...