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apuntes con calculo para practicar ejercicios...

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CAPÍTULO 1: FUNCIONES de una VARIABLE. CONTINUIDAD

8. Tipos de discontinuidad 8.1 discontinuidad de salto finito: existen los límites laterales y son finitos, pero son distintos. El apartado d ) del ejemplo anterior muestra un caso de discontinuidad de salto finito. Las siguientes gráficas muestran las conocidas funciones de parte entera, f (x) = [x], y redondeo al entero más cercano f (x) = R(x ).

8.2 discontinuidad de salto infinito: los límites laterales son infinitos de distinto signo (como por ejemplo en la hipérbola), o uno es finito y otro infinito. 8.3 discontinuidad asintótica: los límites laterales son infinitos del mismo signo; es lo que ocurre, 1 por ejemplo, en el punto x = 0 con la función f (x) = 2 x 8.4 discontinuidad evitable: existe la función y existe el límite, pero toman valores distintos. Por ejemplo, la función Ω x si x 6= 0 f (x) = 2 si x = 0 tiene una discontinuidad evitable en el punto x = 0. Se dice evitable porque modificando la función en un solo punto (o en unos pocos) se convierte en continua, ya que el límite sí que existe, pues para el cálculo del límite no se tiene en cuenta el valor de la función en el mismo punto, solo lo que vale la función cuando x se acerca a dicho punto.

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9. Propiedades de las funciones continuas Las propiedades de las funciones continuas permitirán que, a partir de unas pocas funciones elementales conocidas, se pueda razonar la continuidad (o discontinuidad) de funciones mucho más complejas. En primer lugar se recuerdan algunas funciones que son continuas en su dominio. función constante, f (x) = C , D f = R funciones lineales/afines (rectas), f (x) = mx + n, D f = R función raíz cuadrada, f (x) =

p

x, D f = R+ = [0, +1)

función valor absoluto, f (x) = |x|, D f = R función exponencial, f (x) = e x , D f = R función logaritmo, f (x) = ln(x), D f = R++ = (0, +1) función seno, coseno, f (x) = sen(x), f (x) = cos(x), D f = R Combinando ahora estas funciones, con operaciones como suma, producto, cociente, composición, ... se razona la continuidad de otras. 9.1 La suma, resta y producto de funciones continuas es una función continua Ejemplo 27 Razonamiento de la continuidad: a) La función f (x ) = sen(x ) ln(x) es producto de dos funciones continuas en su dominio. Por tanto, será continua cuando estén definidas las dos, es decir en D f = R++ = (0, +1). b) Cualquier polinomio (por ejemplo, p (x ) = 6x 3 ° 2x 2 + x + 12) es una función continua en su dominio, todo R, ya que se puede obtener multiplicando la función f (x) = x por sí misma y por constantes, y sumando. 9.2 El cociente de funciones continuas es una función continua en los puntos donde el denominador no se anula Ejemplo 28 Razonamiento de la continuidad: a) La función f (x) =

2x ° 1

es cociente de dos funciones continuas (ambas son polinomios). Por x2 + 1 tanto, será continua cuando el denominador sea distinto de cero. Pero x 2 + 1 6= 0, luego es continua siempre (en todo R).

b) La función

8 < sen(x ) f (x) = x : 1

si x 6= 0

si x = 0

es continua en x 6= 0 por ser cociente de continuas y no anularse el denominador. Pero en x = 0 la función está definida, vale f (0) = 1, y se vio que el límite cuando x ! 0 también vale 1. Por tanto también es continua en ese punto (cumple las tres condiciones de la definición de continuidad), luego es continua en toda la recta real, R.

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CAPÍTULO 1: FUNCIONES de una VARIABLE. CONTINUIDAD

9.3 La composición de funciones continuas es una función continua Ejemplo 29 Razonamiento de la continuidad: 2

a) La función f (x) = e x +2x°5 se puede escribir como composición de dos funciones f = g ±h, donde h(x ) = x 2 +2x °5 y g (x) = e x . Como ambas son continuas en cualquier punto (un polinomio y la exponencial), f (x) es continua siempre (en todo R). qØ Ø b) La función f (x) = Ø6x + 2 ° x 3 Ø se puede poner como composición de tres funciones: h(x ) = 6x + 2 ° x 3

g (x ) = |x |

r (x ) =

p

x

Las dos primeras son continuas en toda la recta real, pero la última solo está definida para valores mayores o iguales que cero. Sin embargo, como g (x) = |x | ∏ 0, f (x ) = r (g (h(x ))) se podrá calcular siempre. Luego es continua en toda la recta real, R.

10. Teoremas del valor intermedio, Bolzano y Weierstrass Teorema 1 Teorema del valor intermedio Si f (x) es una función continua en un intervalo cerrado [a,b], y k es un número (un valor intermedio) entre f (a) y f (b) entonces existe al menos un número real c 2 [a,b] tal que f (c) = k.

Nota 10 Si f (x) tiene que ir desde f (a) hasta f (b) de manera continua, tiene que tomar los valores que estén entre ellos, salvo que dé un salto, lo cual no puede ser por continuidad. Teorema 2 Teorema de Bolzano Si f (x) es una función continua en un intervalo cerrado [a,b], y f (a) y f (b) son de signo contrario, entonces existe al menos un número real c 2 (a,b) tal que f (c) = 0. Nota 11 Este es un caso particular del Tª del valor intermedio, ya que si f (a) y f (b) son de signo contrario, el cero es un valor intermedio. Por tanto, basta tomar k = 0 en el teorema anterior para tener este. Nota 12 El resultado de este teorema es muy importante y se usa para demostrar que una función f (x) corta al eje X (es decir, existe un valor tal que f (x) = 0; a este x se le denomina raíz de la función): basta razonar la continuidad y encontrar un valor en el que sea negativa, y otro en el que sea positiva. Departament de Mètodes Quantitatius i Teoria Econòmica

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CAPÍTULO 1: FUNCIONES de una VARIABLE. CONTINUIDAD

Ejemplo 30 La función f (x ) = x 5 ° 20x ° 4 es continua (por ser un polinomio). Pero no tiene raíces enteras, por lo que es difícil encontrar los puntos de corte con el eje X (sus raíces). Sin embargo, es fácil ver que f (°1) = 15 y f (0) = °4. Por tanto, habrá un número real c 2 (°1,0) tal que f (c) = 0. La gráfica de la función muestra que este punto de corte está cerca de °00 2. Antes de enunciar el siguiente resultado, se introducen los conceptos de máximo/mínimo global de una función real de una variable f (x) en un dominio D µ R. Definición 15 Sea una función f : D ! R definida en un dominio D µ R. Entonces, a) Se dice que f (x) alcanza un máximo global en x M 2 D si f (x M ) ∏ f (x) para todo punto x 2 D (la función en ese punto es mayor o igual que en cualquier otro punto del conjunto). El valor en ese punto y M = f (x M ) es el valor máximo de la función en D. b) Se dice que f (x) alcanza un mínimo global en xm 2 D si f (x m ) ∑ f (x) para todo punto x 2 D (la función en ese punto es menor o igual que en cualquier otro punto del conjunto). El valor en ese punto ym = f (x m ) es el valor mínimo de la función en D. Teorema 3 Teorema de Weierstrass Si f (x ) es una función continua en un intervalo cerrado [a,b], entonces f (x ) alcanza máximo y mínimo global en dicho intervalo; es decir a ) Existe x M 2 [a,b] tal que f (x M ) ∏ f (x) para todo x 2 [a ,b] b) Existe x m 2 [a,b] tal que f (x m ) ∑ f (x) para todo x 2 [a,b] 1 Nota 13 La gráfica siguiente corresponde a la función f (x) = x sen(x) que es continua en todo R por 5 ser producto de funciones continuas. Si se considera el intervalo cerrado [°10,10] en este conjunto se puede aplicar el Tª de Weierstrass, que garantiza que existe máximo y mínimo global. Los máximos se alcanzan en x M = °8, x M = 8 (se alcanza en dos puntos) y el máximo de la función es (el mismo en los dos puntos) yM = f (°8) = f (8) º 10 58. El mínimo se alcanza también en dos puntos (obsérvese que la función es simétrica: se repite en la parte positiva y negativa) x m = °10, xm = 10 y el valor mínimo de la función es y m = f (°10) = f (10) º °10 09.

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