Apuntes, lecciones 1 - diapositivas tema 1.3. determinantes PDF

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Diapositivas Tema 1.3. Determinantes...

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Tema 1.3. DETERMINANTES Def: Sea

A  M nn (R)

 a11  a A   21 ...  a  n1

a12 a22 ...

... ...

a n2

...

a1n   a2n    ann 

Se llama menor complementario del elemento aij a: Mij al determinante que queda al eliminar la fila i y la columna j. Se llama adjunto del elemento aij a el menor complementario precedido por (-1)i+j Aij=(-1)i+j Mij

Entonces se llama determinante de A a un número real que se define: Si A= (a11)  det (A) = Si

 a11   a21 A ...  a  n1

a12 a22

... ...

... an 2

...

A

= a11

a1n   a2 n    ann 

A  a11 A11  a12 A12  .....  a1n A1n Se puede desarrollar por cualquier fila o cualquier columna:

REGLA DE SARRUSS

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 1.- Det (A) = det (At ) 2.- Si una matriz tiene una fila o columna nula, su determinante es cero. 3.- Si se intercambian entre sí dos filas (o dos columnas), su determinante cambia de signo. 4.-Si una matriz tiene dos filas (o columnas) proporcionales, su determinante es cero. 5.-Si a una fila (o columna) de la matriz se le multiplica por un escalar, el determinante queda multiplicado por dicho escalar. Rn

6.- Si las filas (o columnas) de una matriz cuadrada se interpretan como vectores de R n y el determinante es no nulo, dichos vectores son linealmente independientes. 7.- El determinante del producto de dos matrices del mismo orden es igual al producto de los determinantes de cada matriz Si Ann y B n n son dos matrices cuadradas del mismo orden, se cumple que: det (A· B) = det (A) · det (B)

Cálculo de determinantes por el método de Gauss Se trata de hallar un determinante equivalente (con el mismo valor) al que se pretende calcular, pero que sea triangular. De esta forma el problema se reduce a calcular un determinante de una matriz triangular, cosa que es bastante fácil usando las propiedades de los determinantes. Para conseguir triangularizar el determinante se pueden aplicar las siguientes operaciones: - Permutar 2 filas ó 2 columnas. - Multiplicar o dividir una línea por un número no nulo. - Sumarle o restarle a una línea otra paralela multiplicada por un número no nulo.

RANGO DE UNA MATRIZ

Def: Sea

A  M nm (R)

se llama rango de una matriz al orden del mayor menor complementario no nulo. (El orden del mayor determinante distinto de cero)

Las transformaciones que podemos realizarle a una matriz sin que su rango varíe son: -Permutar 2 filas ó 2 columnas y el rango no varía - Si se multiplica o divide una línea por un número no nulo el rango no cambia. -Si a una línea de una matriz se le suma o resta otra paralela multiplicada por un número no nulo el rango no varía. -Se pueden suprimir las filas o columnas que sean nulas, y también las filas o columnas que sean proporcionales a otras, sin que el rango de la matriz varíe

INVERSA DE UNA MATRIZ

1 A   Adj ( At ) A 1...