Calculo mental PDF

Preview

Summary

calculo mental...

Description

Asignatura: Matemáticas y su Didáctica CÁLCULO MENTAL

1.- Por qué nos interesa el Cálculo Mental? El interés que la enseñanza del Cálculo Mental en el aula es que, en primer lugar, existen alumnos que calculan mentalmente muy bien y de otros que no lo hacen. Y muchas veces ello es independiente de que el Cálculo Mental haya sido o no enseñado de forma expresa por parte de los profesores. Por otra parte, también hay adultos que calculan mentalmente muy bien, y otros que no. Y ocurre que las estrategias utilizadas por niños o por adultos son muy parecidas, prácticamente las mismas. 2.- ¿Por qué es importante el Cálculo Mental? - En primer lugar, el Cálculo Mental es útil porque resulta más rápido que el cálculo escrito y evita la realización de muchas operaciones tediosas. El Cálculo Mental también es muy útil para la comprobación de los resultados de otros cálculos. Estimar previamente si un resultado es posible, ayuda a prevenir errores, y revisar mentalmente si un resultado es correcto, ayuda a corregirlos. - Por otra parte, el Cálculo Mental es un factor muy importante en el aprendizaje de la resolución de problemas. Además de las conocidas fases que todos seguimos en la enseñanza de la resolución de problemas (identificar el problema, observar los datos, establecer una estrategia, actuar y evaluar los logros) hay que señalar otra fase muy importante que a veces se olvida: estimar previamente el resultado final. Antes de realizar las operaciones con papel y lápiz, es importante estimar cuál puede ser el resultado final. Cuando ya lo hemos obtenido, el Cálculo Mental previo nos indica si es correcto y evaluamos. Los malos resolutores de problemas, habitualmente no evalúan el resultado final ¿por qué no lo hacen? Pues quizá, entre otros motivos, porque no disponen de otro recurso más que volver a hacer las mismas operaciones que ya han hecho, repetir el mismo proceso, y quizá volverse a equivocar. Luis M. Casas García. Matemáticas y su Didáctica. Facultad de Educación. Universidad de Extremadura

Pág. 1

- La práctica del Cálculo Mental, favorece, además, una serie de capacidades matemáticas de gran valor, como la capacidad de estimación, y no sólo para el cálculo numérico, sino que se extiende a la estimación de magnitudes y medidas. Por último, ayuda al desarrollo de capacidades cognitivas tales como la memoria inmediata, la manipulación abstracta de objetos, el reconocimiento de patrones, y, por supuesto, la autopercepción positiva del propio alumno acerca de sus capacidades matemáticas. 3.- ¿Cómo afrontar la enseñanza del Cálculo Mental? Nuestro objetivo es que los alumnos conozcan y utilicen técnicas de Cálculo Mental que les pueden ser útiles no sólo en el ámbito escolar, sino también en su vida diaria.

En este sentido, no pretendemos enseñar técnicas que podríamos llamar “de circo”, porque resultan muy espectaculares, casi incomprensibles en algunas ocasiones, y que hemos visto en los “calculistas profesionales”, pero que no son suele útiles para todos. Pretendemos también descartar la idea, que a veces se tiene, de que para calcular mentalmente hay que tener unas capacidades destacadas, tales como una gran memoria o una gran capacidad de abstracción. El Cálculo mental no consiste en conocer de memoria muchos resultados y utilizarlos. Tan sólo unos pocos, pero bien empleados. Nos parece, por otra parte, que perjudica a la enseñanza la idea, bastante extendida, de que existen cualidades innatas que unas personas tienen y otras no.1 Creemos que, como en otros órdenes de la vida, las cualidades innatas, influyen, pero hay cosas que se pueden se pueden enseñar. Y se deben enseñar. Existen estrategias de Cálculo Mental que pueden ser enseñadas y aprendidas por los alumnos desde edades tempranas. Estrategias, por otra parte, que son relativamente pocas y que pueden ser efectivamente enseñadas y aprendidas. El problema es que estas estrategias no se suelen enseñar de forma metódica, y se utilizan recursos dispersos que aparecen en los libros de texto de un modo desordenado.

1

Hay anécdotas muy significativas de “sabios idiotas” con asombrosas capacidades de cálculo mental.

Luis M. Casas García. Matemáticas y su Didáctica. Facultad de Educación. Universidad de Extremadura

Pág. 2

Proponemos una enseñanza del Cálculo Mental que sirva para todos (y destacamos lo de “todos”) nuestros alumnos. Ese tipo de Cálculo Mental es el que nos interesa. 4.- Bases para la enseñanza del Cálculo Mental. La enseñanza del Cálculo Mental se fundamenta primeramente, en principios pedagógicos que son generales a otros muchos aprendizajes. Uno de ellos es partir siempre de lo que el alumno ya sabe. En este sentido, debemos tener en cuenta que los niños vienen a la escuela con muchas cosas que aprenden en casa, en la calle, o incluso en la tele. Y en Matemáticas no es diferente. Los alumnos, desde muy pequeños, poseen una concepción del número, y unas estrategias de cálculo, que, si bien no podemos llegar a considerar del todo innatas, sí son tempranas y muy resistentes al cambio. Por ello es necesario conocerlas, y seleccionar las que son correctas, afianzarlas y mejorarlas. Veremos más adelante algunas de ellas y cómo suelen ser las que utilizan los alumnos que son buenos calculadores. La mejor base para la enseñanza escolar del Cálculo Mental radica en la adecuada enseñanza en Educación Infantil, del concepto de número, de la serie numérica y de las operaciones. Esto es algo es muy importante, pues de cómo se aprendan, dependerá que sea más o menos fácil para el alumno calcular después mentalmente. Reflexionemos sobre estos aspectos. Un contenido matemático que es aprende en Educación Infantil, y es de suma importancia, es el concepto de número y de qué número es mayor o menor. Normalmente, se enseña el número como cardinal de un conjunto, aunque no es la única forma, ya que puede enseñar como una serie. Si en el primer caso, el número mayor es el que representa a un conjunto más grande, en el segundo caso el mayor corresponde al que está más adelante en la serie. La realidad es que muchos alumnos tienen adquirido el concepto de número en esta segunda acepción, y nuestra suposición es que estos alumnos tienen más facilidades para el cálculo mental, pues utilizan de forma útil la serie numérica. Nuestra propuesta Luis M. Casas García. Matemáticas y su Didáctica. Facultad de Educación. Universidad de Extremadura

Pág. 3

es, pues, que se insista más en la enseñanza de esta serie y en las actividades relacionadas con ella. Con respecto a la enseñanza de la serie numérica, en nuestro ámbito escolar, suele aprenderse en Educación Infantil hasta el número 10, pero ¿alguna vez nos hemos planteado por qué? ¿Por qué no hasta 20? La respuesta inmediata será que ello se debe a que en nuestro sistema, decimal, hay diez cifras. Pero ésta es una característica propia del lenguaje matemático que no se corresponde con el lenguaje natural, el propio del niño. En nuestro idioma, la serie oral se aprende de distinta manera del 1 al 15 y desde el 15 en adelante. Efectivamente, hasta el 15 se aprenden de memoria los nombres de los números, y a partir de ahí, la serie se hace más “lógica”, pues ya utilizamos combinaciones de ellos (diez y seis, diez y siete, …) y sólo nuevos nombres para las decenas.2

3

En Educación Infantil se enseña hasta el 10, y se interrumpe de una forma incomprensible, la enseñanza del sistema de numeración oral, que sólo se continúa en Primer Ciclo. De ahí las dificultades que se observan precisamente en los números 12, 13, 14 y 15 que los alumnos confunden respectivamente con 20, 30, 40 y 50. Quizá fuera conveniente que estos números se aprendieran de forma natural e integrada al currículo de Educación Infantil. Una última propuesta para la enseñanza en Educación Infantil sería la relacionada con la enseñanza de la suma. Si se inicia la suma en preescolar, es muy interesante que, desde un principio, los alumnos manejen la conmutatividad de la operación lo antes posible. Conocer y utilizar esta propiedad y, particularmente, empezar a sumar

2

En francés, el número es el 16 (seize), y a partir de él, dix sept, dix huit, … Con las decenas pasa igual que en español, pero ochenta, además se dice “cuatro veinte”. En inglés es hasta 12 (twelve), y a partir de él, van diciendo tres y diez, cuatro y diez, … (thirteen, fourteen, …) El sistema cambia de nuevo a partir del 20 (twenty one, twenty two, …) El método para las decenas es parecido al español, recordando los nombres de las primeras cifras. En alemán también es hasta 12 (zwolf). A partir de él es tres-diez, cuatro-diez, …( dreizehn, vierzehn, …) y a partir del 21, como en inglés, cambia, pero más difícil (uno y 20, dos y veinte, … (ein und zwanzig, zwei und zwanzid, …) El sistema de decenas, como en español, aunque más sencillo en la formación de los nombres.. 3

¿Podríamos establecer alguna relación entre la facilidad para las matemáticas de algunos pueblos con la sencillez de su sistema de numeración y con su forma de aprendizaje? El sistema chino es muy fácil, porque utiliza 9 signos para los números del 1 al 9, y otros para el 10, 100, 1000, … De forma que un número como 5789 se escribe: 5-1000,7-100, 8-10, 9. El cero simplemente se indica dejando vacío el espacio. Luis M. Casas García. Matemáticas y su Didáctica. Facultad de Educación. Universidad de Extremadura

Pág. 4

empezando siempre por el número mayor, es una buena base para el aprendizaje de estrategias muy útiles de Cálculo Mental. A partir del inicio de la Educación Primaria creemos que es el momento de enseñar esas estrategias, pues, como expondremos más adelante, las principales de ellas se aprenden, en sus aspectos fundamentales, antes del 4º curso. Las que se utilicen después, son sólo variaciones con números mayores. En concreto, las estrategias más importantes son las relacionadas con la suma y la resta, pues para la multiplicación y división, como también veremos, hay muy pocas técnicas nuevas, quizá sólo las de añadir ceros al multiplicar por 10 o 100 o descomponer en centenas, decenas y unidades para usar después la propiedad distributiva. Para la multiplicación y división, algo que sí resulta básico es aprender las tablas de multiplicar. Quizá sea lo único en Cálculo Mental que creemos que deba ser aprendido de memoria. Antes de mostrar técnicas concretas, algo que haremos en el siguiente apartado, vamos a dedicar el presente a plantear algunos principios generales para la enseñanza del Cálculo Mental que nos servirán para toda la escolaridad. Un aspecto en el que hay que insistir es en la enseñanza de las series numéricas ascendentes y descendentes, y enseñar a sumar y restar utilizando, en cuanto sea posible, estas series, y no sólo, como se suele hacer, utilizando agrupaciones de objetos. Una buena primera aproximación a la resta puede ser el conteo hacia atrás, utilizando la serie numérica descendente. En un momento posterior, esta operación se hará, por complementación, contando hacia delante, con series numéricas ascendentes. Existen dos series cuyo aprendizaje resulta de particular interés: la del 10 y la del 5. Hay muchas estrategias de cálculo mental que hacen uso de estas dos series y cuanto antes las dominan los alumnos, mejor. En concreto, es muy importante aprender la serie del 10 asociada a la serie del 1, de manera que se utilicen ambas a la vez, y los alumnos observen que del mismo modo que se suma 2+3 se suma 20+30, y así sucesivamente. La serie de los números de 2 en 2 es también muy importante, y se puede aprender primero empezando por los números pares, haciendo después lo mismo con los impares, Luis M. Casas García. Matemáticas y su Didáctica. Facultad de Educación. Universidad de Extremadura

Pág. 5

que resultan más difíciles. Las demás series, por ejemplo, de 6 en 6 ó de 7 en 7 no son tan importantes, pues no resultan tan útiles para el Cálculo Mental. Con la enseñanza de las series, es muy importante conseguir romper la cadena numérica, comenzando la serie desde cualquier número. Esto quiere decir contar de 10 en 10 a partir del 0, pero también a partir del 1, del 2 , del 3, … Además de que hay estrategias de cálculo que uso de este mecanismo, es fundamental para aprender el sistema de numeración decimal. Otro tipo de actividades igualmente útiles son las consistentes en calcular el complementario, averiguando el número “que falta para llegar hasta”, del tipo: 10 + .. = 14. No son, desde el punto de vista de los alumnos, ni ejercicios de suma ni de resta, pero sirven para relacionar ambas operaciones. Particularmente importantes son las actividades de calcular cuánto falta para llegar a 10 (y después hasta un múltiplo de 10). Resultan difíciles pero son muy importantes. Cuanto antes los alumnos comprendan que la resta, en realidad no es más que calcular el complementario, más rápido y seguro la harán. Por último, otra enseñanza muy útil, y que a los alumnos agrada mucho, es aprender a hacer el doble. En los libros de texto este concepto no suele aparecer hasta 2º curso, asociado a la multiplicación, pero se puede aprender en 1º, y de hecho, muchos niños lo hacen, casi como un juego. Además de que aprender los dobles es la manera natural de aprender después las mitades, y con ello la multiplicación y la división, la utilización de dobles aproximados es un mecanismo que se utiliza en muchas estrategias de Cálculo Mental. En resumen, recordemos, pues que existen tres bases fundamentales para la enseñanza del Cálculo Mental en Primaria: -

correcta enseñanza de las series numéricas

-

enseñanza del mecanismo de complementación

-

uso de dobles y mitades.

Como veremos en el apartado siguiente, en el que detallamos las principales estrategias de Cálculo Mental, están presentes en todas ellas. Luis M. Casas García. Matemáticas y su Didáctica. Facultad de Educación. Universidad de Extremadura

Pág. 6

5.- Principales estrategias de Cálculo Mental escolar. Existe un número limitado de estrategias que se utilizan en el Cálculo Mental, tanto en niños como en adultos. Se añaden a otras estrategias más generales que conocemos como “sumar”, “restar” “multiplicar” y “dividir”, respectivamente, y que, por conocidas, no vamos a describir. Algunas son más sencillas que otras, y en muchos casos se utilizan combinaciones de varias. Conocerlas es necesario para poder mejorar su enseñanza escolar, y pasaremos a describirlas. Los ejemplos que incluimos son los más sencillos posibles, pero básicamente son las mismas estrategias las utilizadas con números mayores. - Juntar. Es la estrategia más común para hacer las sumas. Consiste en agrupar dos conjuntos, representados de distintas formas (gráfica, mediante dedos, …) y contar los elementos resultantes. - Quitar. Es la estrategia más sencilla para restar. Consiste en eliminar de un conjunto dado un cierto número de elementos. - Contar hacia adelante. Es una estrategia más avanzada de suma, de manera que, por ejemplo, 7 + 8 se hace contando ocho pasos hacia delante a partir del 7: 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 y 15. Como resulta más rápido, interesa enseñar a hacerlo empezando por el mayor: 2 + 8 se hace 8 + 2: son 9, 10. - Contar hacia atrás. Esta estrategia se utiliza para restar, normalmente en un momento posterior a la estrategia que hemos llamado “quitar”. Veamos un ejemplo: 7 - 3 se hace de dos maneras posibles: 7-3 es 7, … 6,5,4, (tres pasos), solución 4, el último número pronunciado. 7-3 es 7, … 6, 5, 4, 3 (cuatro pasos) solución 4, porque son cuatro pasos hasta llegar al 3 y se cuentan los pasos. Luis M. Casas García. Matemáticas y su Didáctica. Facultad de Educación. Universidad de Extremadura

Pág. 7

- Contar las que faltan para llegar hasta. Esta estrategia se utiliza para la resta, normalmente después de haber utilizado las anteriores de “quitar” y “contar hacia atrás”. Por ejemplo14 – 9 se hace 9 … 10, 11, 12, 13, 14 resultado 5. - Hacer el doble. Esta estrategia hace uso del doble ya conocido de un número, para sumar otros aproximados a él. Veamos algunos ejemplos: 5 + 7 se hace 5 + 5 = 10, 10+2 = 12. 8 + 9 se hace 8 + 8 = 16, 16 + 1 = 17. - Hacer la mitad. Se usa para restar, multiplicar o dividir. 20 – 8 se hace: 20 – 10 se hace la mitad de 20, que es 10 y después, 10 + 2 = 12. 26 x 5 se hace 26 x 10 = 260, y luego la mitad de 260, que son 130. 40 : 4 se hace la mitad de 40 es 20 y la mitad de 20, 10. Ése es el resultado. - Restar como contrario de sumar. Esta estrategia es sumamente importante, pues cuando es conocida y dominada, resulta muy útil, por la rapidez de sus resultados. Hace uso de resultados ya conocidos de la suma para aplicarlos en la resta, como en el siguiente ejemplo. 9 – 6 son 3 porque 6 + 3 son 9. - Dividir como contrario de multiplicar. Es un mecanismo análogo al de “restar como contrario de sumar”: 8 : 2 son 4 porque 4 x 2 son 8. - Buscar el complementario. Para realizar cálculos, e utilizan datos conocidos de memoria sobre los complementarios hasta 5 ó hasta 10, Estos números son considerados como números “amigables”, y más adelante serán sustituidos por el 50, el 100, el 1000, … Por ejemplo: 9 + 3 se hace 9 + 1 = 10 y 10 + 2 = 12. 15 – 8 se hace 15 – 5 son 10 (10 es el número “amigable”) y 10 – 3 son 7. 51 – 23 se calcula: 51 – 21 = 30, (30 es el número “amigable”) y 30 – 2 = 28. 7 + 5 + 3 se calcula: 7 + 3 = 10, y 10 + 5 = 15. Aquí se hace uso de la propiedad asociativa para sumar primero dos números que en un resultado “amigable”. Luis M. Casas García. Matemáticas y su Didáctica. Facultad de Educación. Universidad de Extremadura

Pág. 8

- Contar de diez en diez, cien en cien, … Sirve para hacer realizar las mismas operaciones, pero con números mayores. 90 + 30 se hace (de forma análoga a 9 + 3): 100, 110 y 120. A partir de esta misma estrategia, se multiplica por 10, por 100, … añadiendo uno o dos ceros. - Compensar y distribuir. Esta estrategia es compleja, y se utiliza en varias formas: Utilizando dobles: 8 + 9 se hace: 8 + 8 (que se sabe de memoria, el doble) + 1 8 + 7 se hace 8 + 8 (que se sabe de memoria, el doble) - 1 Utilizando números “amigables”: 8+7 también se hace 8+2= 10 y 10 + 5? 15. Esta misma estrategia es en realidad la que utiliza la propiedad distributiva cuando multiplicamos: 32 x 4 como (30+2) x 4 = 30x4 + 2x4 = 120 + 8 = 128. Porque en realidad, la descomposición de 32 se hace 30 + 2, y no se hace como 29 + 3, por ejemplo, que sería el caso de si utilizáramos sólo la propiedad distributiva. - Imitar la resolución con “lápiz y papel”. Esta estrategia, también muy utilizada, consiste en reproducir mentalmente el mismo proceso de resolución que se hace con lápiz y papel. 6.- Enseñanza de estrategias secuenciada por edades. Presentamos a continuación una secuencia de aprendizaje de las estrategias de Cálculo Mental, tal como consideramos que pueden ser introducidas en la enseñanza primaria. Como podemos observar, y ya señalamos anteriormente, prácticamente todas las principales estrategias de Cálculo Mental se introducen antes de 4º curso, y lo que resta en los demás es ampliarlas a un rango de números mayores.

Luis M. Casas García. Matemáticas y su Didáctica. Facultad de Educación. Universidad de Extremadura

Pág. 9

1º 2º Suma y resta Suma y resta Sumar empezando por el Sumar y restar múltiplos mayor. de 10. 2+8 = 8 + 2 2+4 = 6 :: 20 + 40 = 60 6+15= 15 + 6 3+5= 8 :: 30 + 50 = 80 Si 9 – 5 = 4 entonces 90 – 50 = 40 Utilizar series de 10, 5 y Lo mismo 100 y 50. 2, en cualquier orden y 100, 200, 300, … desde cualquier punto de 50, 10, 150, 200, … la serie. 10, 20, 30, … 3,13,23, … Sumar contando hacia Sumar contando hacia adelante. Restar adelante y restar descontando. contando hacia adelante ó 6+4= 7,8,9,10.= 10 descontando según el caso 6-4= 5, 4, 3, 2 = 2 (el 28 – 26 = 27, 26, = 2 último número dicho tras 4 30 – 25 se hace 26, 27 pasos), ó bien 28,29, 30 total 5 porque 6-4= 5,4,= 2 (2 pasos hasta son 5 pasos. llegar al 4) Utilizar los dobles para Saber los dobles. cálculo aproximado. Doble de 4 es 8. 8 + 9 = doble de 8 + 1 = 17 Doble de 5 es...