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MATEMÁTICA II 2018

RÉGIMEN PROMOCIONAL II •1º PARCIAL: 09/10 • 2º PARCIAL: 15/11 • RECUPERATORIO: 20/11

IS ISAA AA AAC C NEW EWTTON ON::(1642-1727) ; GO GOTTF TTF TTFR RIE IED D LEIB EIBNIZ NIZ NIZ::(1646-1716

PROBLEMAS: 1) HALLAR LA RECTA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO DADO SOBRE LA MISMA. 2) ENCONTRAR EL ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA ACOTADA POR UNA CURVA ARBITRARIA.

EJEMPLOS DE DICHOS PROBLEMAS: * Determinar la velocidad de un objeto.

* Determinar la razón de cambio de una población de bacterias con respecto al tiempo y utilizarla para predecir el número de personas infectadas con un virus de ese tipo.

𝑁 𝑡 = 25 + 𝑡 𝑒

−

𝑡 10

*

Determinar el cambio en el costo total de operación de una planta que resultan de cada unidad adicional producida (costo marginal)

𝜕 𝐶𝑇 (𝑄) 𝐶𝑀 𝑔 𝑄 = 𝜕𝑄

* Determinar la razón de cambio de los ingresos de una agencia de viajes con respecto de los gastos en publicidad realizados por la misma agencia.

* SUPE PER RAVIT DE CON ONSSUMIDORES Y PPR ROD ODU UCT CTO ORES • En el precio de equilibrio, los consumidores comprarán la misma cantidad del producto que los fabricantes quieren vender. • El total de las diferencias entre el precio de equilibrio del artículo y los mayores precios que ciertas personas aceptan pagar más que el precio de equilibrio, se considera como un ahorro de esas personas y se llama el superávit de los consumidores. • El área entre la curva y la recta representa el superávit de los consumidores.

➢ EL ESTUDIO DEL PROBLEMA DE LA RECTA TANGENTE CONDUJO A LA CREACIÓN DEL CÁLCULO DIFERENCIAL, EL CUAL SE BASA EN EL CONCEPTO DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN.

➢ EL ESTUDIO DEL PROBLEMA DEL ÁREA LLEVÓ A LA CREACIÓN DEL CÁLCULO INTEGRAL, EL CUAL SE BASA EN EL CONCEPTO DE ANTIDERIVADA O INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN. ➢ TANTO LA DERIVADA COMO LA INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN SE DEFINEN EN TÉRMINOS DE UN CONCEPTO MÁS FUNDAMENTAL: EL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.

CON ONJJUNTOS NUMÉR ÉRIICOS Recordemos los conjuntos numéricos: • N: conjunto de números naturales

• N0 : conjunto de números naturales incluido el cero.

• Z: conjunto de números enteros • Q: conjunto de números racionales • I: conjunto de números irracionales • R: conjunto de números reales

El conjunto de números reales: ➢ es un conjunto denso. ➢ cumple con el axioma de completitud.

IN INTTERVAL ALOS OS • Sabemos que existe una correspondencia biunívoca entre los números reales y los puntos de una recta. La recta recibe el nombre de recta real. Dados 𝑎 ∈ 𝑅 ∧ b ∈ R con 𝑎 < 𝑏 llamamos: Intervalo abierto: 𝑎, 𝑏 = 𝑥 ∈ 𝑅 /𝑎 < 𝑥 < 𝑏 Intervalo cerrado: 𝑎, 𝑏 = 𝑥 ∈ 𝑅 /𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 Intervalo semiabierto a izquierda: (𝑎, 𝑏ሿ = 𝑥 ∈ 𝑅 /𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏 Intervalo semiabierto a derecha: ሾ𝑎, 𝑏) = 𝑥 ∈ 𝑅 /𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏 AMPLITUD: b – a

a

b

A estas definiciones anteriores las podemos generalizar considerando la semirrecta y la recta como intervalos no acotados, lo que se expresa utilizando los símbolos:

∞

y

-∞.

Estos símbolos nunca deben ser

considerados como números reales, sino simplemente que se utilizan por conveniencia de notación.

ሾ𝑎, ∞) = 𝑥 ∈ 𝑅 /𝑥 ≥ 𝑎

(𝑎, ∞) = 𝑥 ∈ 𝑅 /𝑥 > 𝑎

(−∞, 𝑏ሿ = 𝑥 ∈ 𝑅 /𝑥 ≤ 𝑏

(−∞, 𝑏) = 𝑥 ∈ 𝑅 /𝑥 < 𝑏

(−∞, ∞) = 𝑥 ∈ 𝑅 = 𝑅

VAL ALOR OR A AB BSOLUT UTO O Definición: Se llama valor absoluto de un número real al mismo número si es positivo o cero y a su opuesto si es negativo. Lo representamos: 𝑎

Función valor absoluto

Simbólicamente: 𝑎 = ቊ

𝑎 𝑠𝑖 𝑎 ≥ 0 −𝑎 𝑠𝑖 𝑎 < 0

Propiedades: 1) ∀𝒂 ∈ 𝑹: 𝒂 ≠ 𝟎 ⟹ 𝒂 > 0

2) ∀𝒂 ∈ 𝑹: 𝒂 = −𝒂

3) ∀ 𝒂 > 0; ∀ 𝑥 ∶ 𝒙 ≤ 𝒂 ⟺ −𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒂; 𝒙 ∈ −𝒂 ; 𝒂

4) ∀ 𝒂 > 0; ∀ 𝑥 ∶ 𝒙 ≥ 𝒂 ⟺ 𝒙 ≤ −𝒂 ∨ 𝒙 ≥ 𝒂 ;

𝒙 ∈ ൫−∞ ; −𝒂ሿ ∪ ሾ𝒂 ; ∞)

5) ∀𝒂 ∈ 𝑹 ∧ ∀𝒃 ∈ 𝑹: 𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒂 ∙ 𝒃

6) ∀𝒂 ∈ 𝑹 ∧ ∀𝒃 ∈ 𝑹: 𝒂 ∶ 𝒃 = 𝒂 ∶ 𝒃 siendo 𝑏 ≠ 0

7) ∀𝒂 ∈ 𝑹 ∧ ∀𝒃 ∈ 𝑹: 𝒂 + 𝒃 ≤ 𝒂 + 𝒃 Desigualdad triangular

8) ∀𝒂 ∈ 𝑹 ∧ ∀𝒃 ∈ 𝑹: 𝒂 − 𝒃 ≥ 𝒂 − 𝒃

EN ENTTOR ORNO NO NO:: Si “c” es un punto cualquiera de la recta y “h” un número positivo, entorno de centro c y radio h es el intervalo abierto (c – h ; c + h) y se lo designa E (c , h ). Simbólicamente: 𝑬 𝒄 ; 𝒉 = 𝒙Τ𝒄 − 𝒉 < 𝑥 < 𝑐 + ℎ 𝒐 𝑬 𝒄 ; 𝒉 = 𝒙Τ 𝒙 − 𝒄 < ℎ

c-h

c

c+h

EN ENTTOR ORNO NO R RED ED EDU UCI CID DO: Si “c” es un punto cualquiera de la recta real y “h” un nº real positivo, entorno reducido de centro c y radio h es el conjunto de puntos del intervalo abierto (c – h ; c + h) del cual se excluye el punto a. Se lo designa 𝑬´(c , h) o E´(c). Simbólicamente: 𝑬´ 𝒄; 𝒉 = 𝒙Τ𝒙 ≠ 𝒄 ∧ 𝒄 − 𝒉 < 𝒙 < 𝑐 + ℎ 𝑬´ 𝒄 ; 𝒉 = 𝒙Τ 𝟎 < 𝒙 − 𝒄 < ℎ

c-h

c

c+h

COTA SU SUP PERIO IOR: R: k es una Cota Superior de un conjunto C de nº reales sí y sólo sí k es un nº real que NO es superado por ningún elemento del conjunto. Simbólicamente: 𝒌 𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒕𝒂 𝒔𝒖𝒑𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝑪 ⇔ ∀ 𝒙 ∶ 𝒙 ∈ 𝑪 ⇒ 𝒙 ≤ 𝒌

Si un conjunto tiene una cota superior tiene infinitas cotas superiores.

COTA IN INFFERIO IOR: R: h es una Cota Inferior de un conjunto A de nº reales sí y sólo sí es un número real que no sup supe era a nin ninggún ele elem men entto de A. Simbólicamente: 𝒉 𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒕𝒂 𝒊𝒏𝒇𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝑨 ⇔ ∀ 𝒙 ∶ 𝒙 ∈ 𝑨 ⇒ 𝒙 ≥h Si un conjunto tiene una cota inferior tiene infinitas cotas inferiores.

SUPREMO: (o Extremo Superior): “s” es supremo de un

conjunto C de nº reales sí y sólo sí: 1- S es cota Superior de C

2- Si k es cualquier cota superior de C ⇒ 𝒔 ≤ 𝒌 O sea que:

• el supremo es la menor de las cotas superiores. • el supremo de un conjunto acotado superiormente puede pertenecer o no al conjunto.

INFIMO: (o Extremo Inferior): “i” es supremo de un conjunto

A de nº reales sí y sólo sí: 1- I es cota Inferior de A

2- Si h es cualquier cota inferior de A ⇒ 𝒊 ≥h O sea que:

• el ínfimo es la mayor de las cotas inferiores. • el ínfimo de un conjunto acotado inferiormente puede pertenecer o no al conjunto.

ELEMENTO MÁXIMO: un conjunto de nº reales tiene máximo, si tiene extremo superior o supremo y éste

pertenece al conjunto. ELEMENTO MÍNIMO: un conjunto de nº reales tiene mínimo,

si tiene extremo inferior o ínfimo y éste pertenece al conjunto.

UN CONJUNTO ESTÁ ACOTADO sí y sólo sí ADMITE UNA COTA SUPERIOR Y UNA COTA INFERIOR.

MATEMÁTICA II 2018

FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL O FUNCIONES ESCALARES

Dominio e imagen: son números reales o un subconjunto de ellos.

𝑓: 𝐴 → 𝐵 / 𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐴 ⊆ 𝑅 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑅

Representación gráfica La representación gráfica de una función escalar de una variable real es una curva en el plano, donde se considera un sistema de coordenadas ortogonales y se toma el dominio sobre el eje de las abscisas y la imagen sobre el eje de ordenadas.

Clasificación de las funciones • 𝐴𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎𝑖𝑐𝑎𝑠

𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑎 ൡ

𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛ó𝑚𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑐ú𝑏𝑖𝑐𝑎 ሽℎ𝑜𝑚𝑜𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎𝑠

𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟í𝑡𝑚𝑖𝑐𝑎 • 𝑇𝑟𝑎𝑠𝑐𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 ൞ 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎

Dominio de una función escalar El dominio está formado por todos los números reales para los cuales existe imagen real. Por ello es necesario tener en cuenta 3 tipos de restricciones: ✓ Los denominadores deben ser distintos de cero. ✓Los argumentos de los logaritmos deben ser mayores que cero. ✓Los radicandos de raíces de índice par deben ser mayores o iguales a cero

Conjunto imagen: Se denomina así al conjunto de valores que le asigna la función a cada elemento del dominio.

Funciones polinómicas Estas funciones tienen en general la siguiente forma: 𝑓: 𝑅 → 𝑅 ∕ 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 𝑥 𝑛−2 + ⋯ + 𝑎0

FUNCIÓN LINEAL Una función lineal es una función 𝒇: 𝓡 → 𝓡Τ𝒇 𝒙 = 𝒎 𝒙 + 𝒃 Se llama función polinómica de primer grado, siendo m y b números reales, también llamada función afín. La representación gráfica de una función lineal es una recta.

FUNCIÓN CUADRÁTICA: Se llama función cuadrática a la función polinómica de segundo grado. Es decir, una función cuadrática es una función: 𝒇: 𝑹 → 𝑹Τ𝒇 𝒙 = 𝒂 𝒙𝟐 + 𝒃 𝒙 + 𝒄 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ 𝑹 𝒚 𝒂 ≠ 𝟎 Los términos de la función reciben siguientes nombres: ✓ 𝒂 𝒙𝟐 : 𝑇é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑜 ✓ 𝒃 𝒙 ∶ 𝑇é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 ✓ 𝒄 ∶ 𝑇é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

los

• La gráfica de la función cuadrática es una parábola,

sus

ramas

son

simétricas

respecto a una recta, que es el eje de simetría (puede ser el eje “y” o un eje

paralelo a él). • El punto de intersección de la parábola

con el eje de simetría se llama vértice.

PARÁBOLA CÚBICA:

FUNCIÓN EXPONENCIAL

1

1

Función logarítmica

• Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como:

f (x) = logax, siendo la base a>0 y 𝒂 ≠ 𝟏 • La función logarítmica es la inversa de la función exponencial dado que: loga x = b ⟺ ab = x

Si a>1

𝑦 = 𝑎𝑥 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥

FUNCIÓN HOMOGRÁFICA

PUNTO DE ACUMULACIÓN

Si C es un conjunto de puntos de la recta real, un punto a es punto de acumulación de C si a todo entorno reducido de “a” pertenece por lo menos un punto de C. El punto “a” puede o no pertenecer al conjunto C, pero la definición exige que en cualquier entorno del punto “a” exista por lo menos un punto de C distinto del punto a. C

a-h

a

x a+h

Ejemplos de punto de acumulación:

• Si el conjunto C es un intervalo cerrado, todos sus puntos son de acumulación. • Si el conjunto C es un intervalo abierto, todos sus puntos son de acumulación y también los extremos

aunque no pertenezcan al conjunto. • El conjunto de los números naturales no tiene

puntos de acumulación. • El conjunto de los números reales tiene a todos los

números reales como puntos de acumulación.

MATEMÁTICA II 2018

LÍMITE DE UNA FUNCION La idea de límite aparece intuitivamente en muchas

situaciones: * En física, para definir la velocidad instantánea se recurre al límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo considerado se hace cada vez menor. * En economía se lo utiliza para determinar a qué costo

unitario de producción debe tender el costo promedio de una empresa o para establecer el monto máximo que se puede obtener con capitalización subperiódica, por ejemplo.

CONCEPTO DE LÍMITE:

Dada una función estudiaremos que pasa en un entorno de un punto, pero sin interesarnos lo que pasa en él. Ej. 1) y = x + 1 analizaremos que pasa en las proximidades del punto x=2 x

1,9

1,99

1,999

2

2,001

2,01

2,1

y

diremos que: lím f (x) = 3 x

2

Si hacemos la diferencia f(x) – L vemos que para: • x = 1,9 2,9 – 3 = 0,1 • x = 2,01 3,01 – 3 = 0,01 (Valores pequeños positivos)

2

Ej. 2) g (x) = 4 – x 2–x En x = 2 resulta g (2) = 0 esto es una indeterminación , o sea 0 una expresión sin significado y que no proporciona una solución al problema. X

1,9 1,99

Y

1,999

2

2,001

2,01

2,1

?

lím g(x) = 4 x 2

Estrategia: 1º) Reemplazar la función dada con otra adecuada, que tome los mismos valores que la función original en todo punto excepto en x=a. 2º) Evaluar el límite de esta función cuando “x” tiende a “a”.

Definición del límite de una función en un punto lim𝑓 𝑥 = 𝐿 ⟺

𝑥→𝑎

2º) ∀𝜉 0, ∃𝛿 > 0 / 𝑑𝑒𝑙 𝐷𝑜𝑚𝑓 1º) 𝑎 𝑒𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 > 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 ൞ ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓 : 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 ⟹ 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜉

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

Si 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜉 ⟺ −𝜉 < 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜉 𝐿−𝜉 < 𝑓 𝑥 < 𝐿+𝜉 ⟹ 𝑓(𝑥) ∈ 𝐿 − 𝜉; 𝐿 + 𝜉 ⟹ 𝑓(𝑥) ∈ 𝐸(𝐿; 𝜉) Si 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 𝛿

𝑥−𝑎 0, ∃𝛿 > 0 / ∀𝑥 ∈ 𝐶: 𝑎 < 𝑥 < 𝑎 + 𝛿 ⟹ 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜉 ROHDE - 2018

• Límite por la izquierda: lim 𝑓 𝑥 = 𝐿 ⟺ 𝑥→𝑎 −

1º) 𝑎 𝑒𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐶 = 𝑥 Τ𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓 ∧ 𝑥 < 𝑎 2º) ∀𝜉 > 0, ∃𝛿 > 0 / ∀𝑥 ∈ 𝐶: 𝑎 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑎 ⟹ 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜉 ROHDE - 2018

𝒍𝒊𝒎 𝒇 𝒙 = 𝑳 ⟺ 𝒍𝒊𝒎+ 𝒇 𝒙 = 𝒍𝒊𝒎− 𝒇 𝒙 = 𝑳 𝒙→𝒂

𝒙→𝒂

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𝒙→𝒂

INFINITÉSIMOS Si el lim 𝑓(𝑥) = 0 𝑥⟶𝑎

s𝑒 𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑥) 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡é𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ⟶ 𝑎.

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Relación fundamental del límite • lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 ⟹ 𝑓 𝑥 = 𝐿 + 𝜉 𝑥→𝑎

𝜉 → 0 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → 𝑎

Por lo tanto 𝜉 es un infinitésimo para 𝑥 → 𝑎.

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Comparación de infinitésimos

ROHDE - 2018

Orden infinitesimal: es la rapidez con que un infinitésimo tiene a cero.

Dados dos infinitésimos 𝛼 𝑥 𝑦 𝛽 𝑥 ,

0 ⟹ 𝛼 𝑥 𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑎 𝛽 𝑥 . 𝑥3 𝐸𝑗: lim = lim 𝑥 2 = 0 𝑥→0 𝑥 𝑥→0 ∞ ⟹ 𝛼 𝑥 𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑎 𝛽 𝑥 . 𝛼 𝑥 = lim 𝑥 1 𝑥→𝑎 𝛽 𝑥 𝐸𝑗: lim 3 = lim 2 = ∞ 𝑥→0 𝑥 𝑥→0 𝑥 𝑘 ≠ 0 ⟹ 𝛼 𝑥 𝑦 𝛽 𝑥 𝑠𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛. 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 2𝑥 𝐸𝑗: lim = lim =2 𝑥→0 𝑥→0 𝑥 𝑥 ROHDE - 2018

En particular si lim 𝛼(𝑥) = 1 𝑥→𝑎 𝛽(𝑥) se denominan infinitésimos equivalentes (k=1).

II) lim 𝑡𝑔𝑥𝑥 = 1

Ej. I) lim 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥 = 1

𝑥→0

𝑥→0

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𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑥→0 𝑥

Demostración de lim y

T

Q

P

Circunferencia 𝑂𝑅 = 1 x es la longitud del arco RQ. Comparamos las áreas: Área OPQ < Área sector ORQ < Área ORT

x

O

=1

𝑂𝑃∙𝑃𝑄 2

R

<

𝑂𝑅∙𝑥 2

<

𝑂𝑅∙𝑅𝑇 2

𝑐𝑜𝑠 𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 < 1 ∙ 𝑥 < 1 ∙ 𝑡𝑔 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ∙𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥

cos 𝑥 <

ROHDE - 2018

1∙𝑡𝑔 𝑥 1∙𝑥 < 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 1 𝑥 < cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥

<

1

sen x > 𝑐𝑜𝑠 𝑥 x lim 1cos x > sen x > lim > lim cos x x→0 cos x1 > lim x x→0 x→0 sen x > 1 x x→0

Por el teorema de confrontación de límites resulta: 𝐬𝐞𝐧 𝐱 ⟹ 𝐥𝐢𝐦 =𝟏 𝐱→𝟎 𝐱

ROHDE - 2018

CONTINUIDAD:

Se dice que una función 𝒚 = 𝒇(𝒙) es continua en un punto 𝒙 = 𝒂 si se verifican las tres condiciones siguientes: • La función está definida para 𝒙 = 𝒂 es decir 𝒇 𝒂 ∈ 𝓡

• Existe el 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) (finito) 𝒙⟶𝒂

• El límite de la función cuando 𝒙 ⟶ 𝒂 es igual al valor numérico de la función en dicho punto, es

decir:

𝒙⟶𝒂

𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒂) ROHDE - 2018

DISCONTINUIDAD:

• DISCONTINUA EVITABLE: 1) Cuando una función no se encuentra definida en un punto 𝒙 = 𝒂 pero existe el límite de la función para 𝒙 ⟶ 𝒂 y éste es finito. 2) Cuando una función se encuentra definida en un punto x = a, existe el límite de la función para 𝒙 ⟶ 𝒂 y éste es finito, pero dicho límite no es igual al valor de la función en el punto. • DISCONTINUA NO EVITABLE O ESENCIAL: La función puede o no estar definida en el punto pero NO EXISTE el límite de la función con 𝒙 ⟶ 𝒂. ROHDE - 2018

CONCEPTO DE LÍMITE:

Dada una función estudiaremos que pasa en un entorno de un punto, pero sin interesarnos lo que pasa en él. Ej. 1) y = x + 1 analizaremos que pasa en las proximidades del punto x=2 x

1,9

1,99

1,999

2

2,001

2,01

2,1

y

diremos que: lím f (x) = 3 x

2

Si hacemos la diferencia f(x) – L vemos que para: • x = 1,9 2,9 – 3 = 0,1 • x = 2,01 3,01 – 3 = 0,01 (Valores pequeños positivos)

⟹ 𝑓 𝑥 −𝐿 0, para derivarla aplicamos logaritmo a ambos miembros: ln 𝑦 = 𝑥 ∙ ln 𝑎 𝑦′ = ln 𝑎 𝑦 𝑦 ′ = ln 𝑎 ∙ 𝑦 𝑦 ′ = ln 𝑎 ∙ 𝑎 𝑥 𝒚′ = 𝒂𝒙 ∙ 𝐥𝐧 𝒂

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Generalizando si 𝑦 = 𝑎𝑢 siendo 𝑢 = 𝑓 𝑥 ln 𝑦 = 𝑢 ∙ ln 𝑎 𝑦′ = 𝑢′ ∙ ln 𝑎 𝑦 𝒚′ = 𝒖′ ∙ 𝐥𝐧 𝒂 ∙ 𝒂𝒖 Si 𝐲 = 𝐞𝐱 ln 𝑦 = 𝑥 ln 𝑒 𝑦′ = ln 𝑒 ⟹ 𝑦 ′ = 1 ∙ 𝑦 ⟹ 𝒚′ = 𝒆𝒙 𝑦 𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑖 𝒚 = 𝒆𝒖 ⟹ 𝒚′ = 𝒆𝒖 ∙ 𝒖′ ROHDE - 2018

11) Derivada de la función y = sen x Dada 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 1º) 𝑦 + ∆𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + ∆𝑥 2º) 𝑦 + ∆𝑦 − 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 Aplicando la fórmula de transformación en producto es: 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑥 𝑥 + ∆𝑥 + 𝑥 ∆𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛 ∙ 𝑐𝑜𝑠 2 2 2𝑥 + ∆𝑥 ∆𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 ∆𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛 2 2 ROHDE - 2018

∆𝑥 ∆𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 2 𝑠𝑒𝑛 ∆𝑦 2 2 3º) = ∆𝑥 ∆𝑥

∆𝑦 4º) lim ∆𝑥→0 ∆𝑥

∆𝑥 ∆𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 ∆𝑦 2 2 = ∆𝑥 ∆𝑥 2

= lim

∆𝑥→0

∆𝑥 2 ∆𝑥 2

𝑠𝑒𝑛

∙ lim 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + ∆𝑥→0

∆𝑥 2

𝒚′ = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 Generalizando si 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢 = 𝑓 𝑥 ⟹ 𝒚′ = 𝐜𝐨𝐬 𝒖 ∙ 𝒖′ ROHDE - 2018

12) Derivada de la función y = cos x

Por lo visto en el módulo de Matemática en el tema de Trigonometría, en todo triángulo rectángulo se verifica que las funciones trigonométricas de un ángulo agudo son iguales a las cofunciones de su ángulo complementario. β Por ejemplo: 𝛼 + 𝛽 = 90° ⟹ α 𝛼 𝑦 𝛽 𝑠𝑜𝑛 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = cos β = cos 90° − 𝛼 cos 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 𝑠𝑒𝑛 90° − 𝛼 ROHDE - 2018

• Estas relaciones también se verifican en la circunferencia trigonométrica. Por lo tanto: 𝜋 2

Si 𝑦 = cos 𝑥 ⟹ 𝑦 = cos 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛

−𝑥

Podemos hallar su derivada aplicando la fórmula de derivación de la función sen x 𝑦′ = 𝑐𝑜𝑠

Pero 𝑐𝑜𝑠

𝜋

2 𝜋 2

−𝑥 .

𝜋 2

− 𝑥 ’=𝑐𝑜𝑠

𝜋

2

− 𝑥 . (-1)

− 𝑥 =sen x⟹ 𝑦 ′ = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . (−1) ROHDE - 2018

′ = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∴ 𝑦 = cos 𝑥 ⟹ 𝑦 También la podemos obtener haciendo la regla general de derivación. 13) Derivada de la función y = tg x La función y = tg x se puede escribir como

𝑦=

𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥

(*)

Recordemos también que la relación pitagórica es: 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑥=1 (**)

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Aplicando la fórmula de derivación de un cociente de funciones en (*) resulta: cos 𝑥. cos 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥. (−𝑠𝑒𝑛 𝑥) ′ 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 Por (**) es igual a 1 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥+𝑠𝑒𝑛2 𝑥 𝑦′= 𝑐𝑜𝑠2𝑥

𝑦 = 𝑡𝑔 𝑥 ⟹

𝑦′

=

1

𝑐𝑜𝑠 2 𝑥

= 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥

1 2 = = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥

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MATEMÁTICA II 2018

ROHDE - 2018

DERIVADAS SUCESIVAS Por lo general la derivada f’(x) de un función f(x) es también derivable. Si la operación de hallar la derivada de f’(x) es posible, se obtiene otra función que recibe el nombre de derivada segunda o derivada de segundo orden de f(x) y se representa simbólicamente: 2𝑓 𝑑 𝑓 ′′ 𝑥 = 𝑑𝑥 2 Y así sucesivamente: 𝑓 ′ 𝑥 = ′′

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𝑑3𝑓 𝑑𝑥 3

…

DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN Existen muchas situaciones, dentro y fuera de las matemáticas, en que necesitamos estimar una diferencia, como por ejemplo en las aproximaciones de valores de funciones, en el cálculo de errores al efectuar mediciones (Valor real menos valor aproximado) o simplemente al calcular variaciones de la variable dependiente cuando la variable independiente varía "un poco", etc.

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Utilizando a la recta tangente como la mejor aproximación lineal a la función en las cercanías del punto de tangencia, aproximaremos esta DIFERENCIA con la diferencia sobre la recta tangente, a la que llamaremos DIFERENCIAL de la función en el punto. Si f(x) es una función derivable en un intervalo (a,b) siendo “x” y “ 𝑥 + ∆𝑥" dos puntos pertenecientes a ese intervalo. 𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥)  lim ∆𝑥 ∆𝑥→0

∆𝑦 ∆𝑥→0 ∆𝑥

= lim

definición de derivada.

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= 𝑦′

...