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CAP. 2 :FUNCIONES REALESLas funciones reales de variables reales pueden ser: Funciones de una variable. Funciones de dos variables. FUNCIONES DE UNA VARIABLE.- Una variable “ y” es función de otra variable “ x” , si existe una relación entre ambas x ε y, de forma tal que a cada valor de x, le corres...

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CALCULO

CAP. 2:

FUNCI FUNCIONES ONES R REALES EALES Las funciones reales de variables reales pueden ser: -

Funciones de una variable.

-

Funciones de dos variables.

1. F FUNCIONE UNCIONE UNCIONES SD DE E UNA VARI VARIABLE ABLE ABLE..Una variable “ y” es función de otra variable “ x” , si existe una relación entre ambas x ϵ y, de forma tal que a cada valor de x, le corresponde uno o más valores de y. Para representar a las funciones de una variable independiente se tiene la siguiente notación: y = f(x) Entre algunos ejemplos de funciones de una variable independiente se tiene: 1) y = 3x + 2

;

2) y = x2 - 5x + 2

Luego estableciendo una relación entre las variables se determina algunos pares ordenados. x -2 -1 0 1 2

y

x

-4 -1 2 5 8

-2 -1 0 1 2

y 16 8 2 -2 -4

El ejemplo a continuación nos muestra que la población “ y” una nación es función del año “ x” .

Grover Villarroel Soliz

de

1

CALCULO

Año Población “x” “y” 2011 2012 2013 2014 2015 2016

6000 6900 7500 8100 9000 9300

2. FUNCI FUNCIONES ONES D DE E DOS VAR VARIABL IABL IABLES. ES. ES.Se dice que una variable “ z” es función de las variables “ x,y” , si existe una relación tal que a cada par de valores x,y le corresponde uno o más valores de z. En este caso x,y son las variables independientes. Para representar a las funciones de dos variables independientes se tiene la siguiente notación: z = f(x,y) Como ejemplo de una función de dos variables independientes se tiene: z = x2 – 2xy + 3y A este nivel las funciones de una variable independiente son objeto de estudio en todos los capítulos, mientras que las funciones de dos variables independientes se estudiara en el capítulo correspondiente a las derivadas parciales y sus aplicaciones. 3. GRAFICA D E FUNCIONE FUNCIONES. S. S.Una gráfica en el sistema coordenado (rectangular), es el conjunto de pares ordenados (puntos) que satisfacen una función o relación. La representación gráfica entre dos variables se lo realiza utilizando el sistema de coordenadas rectangulares (cartesiano). Donde el sistema de ejes coordenados consta de un eje vertical y un eje horizontal que se cortan y forman 900 en su intersección.

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2

CALCULO

Eje de ordenadas

Y (+) Ordenada

y

P(x,y) Par ordenado

(-)

(+) x

X

Eje de abcisas

Abcisa

(-)

Ejemp Ejemp empll o 2.1 2.1..

Graficar la siguiente función de una variable. y = 3x + 2 Sol Soluc uc ución: ión: Luego para graficar esa relación funcional se determina algunos pares ordenados que se representan como puntos en el sistema de ejes coordenados, a los cuales se une a través de una línea. Es decir, partimos de: y

y = 3x + 2 x -2 -1 0 1 2

y = 3x + 2

4

y

3 2

-4 -1 2 5 8

1 -3

-2

-1

0 -1

1

x 2

3

-2 -3 -4

Ej Ejemp emp empllo 2.2 2.2..

Graficar la siguiente función de una variable. y = x2 - 5x + 2

Grover Villarroel Soliz

3

CALCULO

Sol Soluc uc ución: ión: Luego algunos pares ordenados a partir de los cuales se grafica serán: y 8

2

y = x - 5x + 2

7

x -2 -1 0 1 2 3 4 5

y

6 5

16 8 2 -2 -4 -4 -2 2

4 3

y = x2 - 5x + 2

2 1 -4

-3

-2

-1

0 -1

1

2

3

4

x

-2 -3 -4

4. CLASES DE FUNCI FUNCIONES. ONES. ONES.Las funciones se clasifican en: 1. Funciones polinómicas (constante, lineal, cuadrática, grado mayor). 2. Funciones exponenciales 3. Funciones logarítmicas 4. Funciones algebraicas 5. Funciones trigonométricas 6. Funciones trigonométricas inversas 7. Funciones hiperbólicas 8. Funciones hiperbólicas inversas 9. Funciones especiales (Función valor absoluto “ ABS” , Función parte entero “ INT” . Los casos más estudiados son las cuatro primeras clases de funciones. 4. 4.1 1 Func Funcio io iones nes pol polii nomi nomicas. cas. cas.Las funciones polinómicas tienen la forma: f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + …… + a1 x1 + a0 Grover Villarroel Soliz

4

CALCULO

Algunos casos particulares de las funciones polinómicas son la función constante, funciones lineales, funciones cuadráticas, funciones cubicas y/o funciones de grado mayor. 4. 4.2 2 Func Función ión const onstant ant ante. e. e.La función constante es una función polinomial de grado cero. Las funciones constantes tienen la siguiente regla de correspondencia: y = c

;

donde c es una constante.

Las funciones constantes quedan graficadas de la siguiente manera: y c

y=c

x

Ej Ejemp emp empllo 2.3 2.3..

Graficar la siguiente función constante. y=3 Sol Soluc uc ución: ión: Luego representamos la gráfica haciendo pasar la línea en y = 3 paralela al eje x, ya que para cualquier valor de “ x” , “ y” seguirá siendo igual a 3 por ser constante. y y=3

4

x

y

0 2

3 3

3 2 1 -3

-2

-1 0 -1

x 1

2

3

-2 -3 -4

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CALCULO

4. 4.3 3 Func Funcio io iones nes lilineal neal neales. es. es.Las funciones lineales graficadas en una línea recta, quedan representadas por la siguiente regla de correspondencia: y = ax + b

… Ec. pendiente – ordenada al origen.

y m b

x

dónde: a = m = pendiente.

Así mismo, a las funciones lineales se representa por lo menos por las siguientes ecuaciones: y m

Ax + By + C = 0

… Ecuación general. α x

y x + a

y b

=1

… Ecuación simétrica.

b a

x y

y - y1 = m ( x – x1 )

… Ecuación punto – pendiente.

m P(x1,y1)

x

En todos los casos la pendiente de la recta y su ángulo de inclinación se podrá encontrar a partir de las siguientes relaciones: A

m=- B

m = tag α

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CALCULO

Ej Ejemp emp empllo 2.4 2.4..

A partir de la siguiente función lineal hallar: a) la gráfica, b) su pendiente, c) su ángulo de inclinación. y = 2x + 4 Sol Soluc uc ución: ión: a) Para encontrar la gráfica partimos de la ecuación dada y determinamos los siguientes puntos (pares ordenados). Luego: y

y = 2x + 4

4

x 0 -2

y

3 2

4 0

1 -3

-2

-1

0 -1

x 1

2

3

-2 -3 -4

b) En este caso la pendiente lo encontramos directamente en la ecuación original, ya que dicha ecuación está en su forma explícita. Luego: m=2

®

c) Para el ángulo de inclinación partimos de: tag α = m tag α = 2 α = 63o

®

Ej Ejemp emp empllo 2.5 2.5..

A partir de la siguiente función lineal hallar: a) la gráfica, b) su pendiente, c) su ángulo de inclinación. 3x - 2y – 6 = 0 Grover Villarroel Soliz

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CALCULO

Sol Soluc uc ución: ión: a) Para encontrar la gráfica partimos de la ecuación dada y determinamos los siguientes puntos (pares ordenados). Luego: 3x - 2y – 6 = 0 x

y

0 2

-3 0

y 4 3 2 1 -3

-2

-1

0 -1

1

x 2

3

-2 -3 -4

b) Ahora para hallar la pendiente, se conoce que:

m=-

A B

m=-

3 -2

m=

3 2

®

c) Por su parte, el ángulo de inclinación lo encontramos a partir de: m = tag α tag α = 3/2 α = Arctag (3/2) α = 56o

®

Ej Ejemp emp empllo 2.6 2.6..

A partir de la siguiente función lineal hallar: a) la gráfica, b) su pendiente, c) su ángulo de inclinación. x 2

+

y =1 3 Grover Villarroel Soliz

8

CALCULO

Sol Soluc uc ución: ión: a) La gráfica lo determinamos directamente a partir de la ecuación o también encontrando los siguientes puntos. x 2

y 3

+

= 1 y

x

y

0 2

3 0

4 3 2 1 -3

-2

-1

0 -1

1

2

x 3

-2 -3 -4

b) Ahora para hallar la pendiente, se conoce que:

m=-

A B

m=-

1/2 1/3

m=-

3 2

®

c) Por su parte, el ángulo de inclinación lo encontramos a partir de: tag α = m tag α = - 3/2 α

*

= - 56o

Ya que se tiene un ángulo negativo, la respuesta final se obtiene según: α = 180o - α

*

α = 180o - 56o α = 124o

® Grover Villarroel Soliz

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CALCULO

Ej Ejemp emp empllo 2.7 2.7..

Hallar: a) la ecuación de la recta que pasa por punto de coordenadas (2,1) y tiene una pendiente de -3, b) graficar, c) hallar su ángulo de inclinación. Sol Soluc uc ución: ión: a) ecuación = ? m=-3 P1(2,1)

a) Luego partimos de la ecuación punto pendiente: y - y1 = m ( x - x1 )

b) grafica = ?

y - 1 = - 3 ( x - 2)

c) α = ?

y - 1 = - 3x + 6 3x + y - 7 = 0

b) Para hallar la gráfica partimos de determinamos los siguientes puntos:

la

®

ecuación

encontrada

y

3x + y - 7 = 0 x

y

y

4

1 7/3

4 0

3 2 1 -3

-2

-1

0 -1

1

2

3

x

-2 -3 -4

c) Por su parte, el ángulo de inclinación lo encontramos a partir de: tag α = m tag α = - 3 α

*

= - 71o

Ya que se tiene un ángulo negativo, la respuesta final se obtiene según: α = 180o - α

*

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CALCULO

α = 180o - 71o α = 109o

®

4. 4.4 4 Func Funcio io iones nes cua cuadr dr drat at atica ica icas. s. s.Las funciones cuadráticas tienen la siguiente regla de correspondencia: y = ax2 + bx + c Dentro de las funciones cuadráticas estudiaremos a la parábola, así como la circunferencia, la elipse y la hipérbola. Aunque corresponde aclarar que estas últimas se constituyen en funciones raíz cuadrada y que además no cumplen con la condición de unicidad de funciones, luego no se consideran propiamente una función, sino una relación. Sin embargo también se los estudia para diferenciar.

a) La para arabo bo bola la la..La parábola en su forma ordinaria y en su forma general, cuyo eje coincide con el eje “ y” , queda representada por las siguientes ecuaciones: x2 = 4py

… Ec. ordinaria de la parábola con vértice V(0,0).

(x - h)2 = 4p(y - k)

… Ec. ordinaria de la parábola con vértice V(h,k).

x2 + Dx + Ey + F = 0

… Ecuación general de la parábola.

y

y k

p>0 V(0,0)

x

V(h,k)

p0

3 2

O también se grafica a partir de: x

1

y -4

0 ±2 ±2,8

0 2 4

-3

-2

-1

V(0,0) 0

-1

1

x 2

3

4

-2 -3 -4

Ej Ejemp emp empllo 2.9 2.9..

Graficar la siguiente función de parábola. x2 - 3x + 3y + 2 = 0

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CALCULO

Sol Soluc uc ución: ión: En este caso ya que la ecuación de la parábola está en su forma general, llevaremos a su forma ordinaria completando cuadrados y factorizando, para así poder hallar los valores de h,k además del signo de p, y luego graficar: Luego partimos de: x2 - 3x + 3y + 2 = 0 x2 - 3x

= - 3y - 2

x2 - 3x + 9/4 = - 3y - 2 + 9/4 (x – 3/2)2 = - 3y +

1 4

y

3 3

3 2

(x – 3/2)2 = - 3(y - 1/12) Luego para la gráfica se concluye que: V(3/2,1/12)

1 -3

-2

-1

V(3/2,1/12 0

-1

1

2

x 3

-2

p1

Decreciente a 0

∧

a ≠ 1)

ay = x.

La expresión anterior es equivalente a:

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial. La grafica de la función logarítmica para el caso a > 1, tiene las siguientes características: y

1 a

x

Algunas propiedades de la función logaritmo son: loga a = 1 loga 1 = 0 loga (x.w) = loga x + loga w loga (x/w) = loga x - loga w loga xw = w.loga x

Ejemp Ejemp empll o 2.2 2.24. 4.

Graficar la siguiente función logarítmica. y = lnx Sol Soluc uc ución: ión: En este caso para graficar identificamos diferentes puntos (pares ordenados) a partir de:

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CALCULO

y = lnx x 0,25 0,5 1 2 e 5 10

y

y -1,39 -0,69 0 0,69 1 1,61 2,31

3 2 1 -3

-2

-1 0 -1

1

2

e

3

4

5

6

7

8

9

10

x

-2 -3

Ej Ejemp emp empllo 2.2 2.25. 5.

Graficar la siguiente función logarítmica. y = logx Sol Soluc uc ución: ión: En este caso para graficar identificamos diferentes puntos (pares ordenados) a partir de. y = logx x 0,25 0,5 1 2 5 10 15

y

y -0,60 -0,30 0 0,30 0,69 1 1,18

3 2 1 -3

-2

-1 0 -1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

-2 -3

Ej Ejemp emp empllo 2.2 2.26. 6.

Graficar la siguiente función logarítmica. y = ln(x-3) Sol Soluc uc ución: ión: En este caso se sabe que:

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CALCULO

(x – 3) > 0 x>3 Luego para graficar identificamos un par de puntos a partir de. y = ln(x-3) x 3,25 3,5 4 5 5,71 6

y

y -1,39 -0,69 0 0,69 1 1,09

3 2 1 -3

-2

-1

0 -1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

-2 -3

4. 4.7 7 Fu Funci nci nciones ones al algeb geb gebra ra raicas icas icas..Las funciones algebraicas generalmente fraccionaria o llevan raíces, etc.

se

presentan

en

forma

Ej Ejemp emp empllo 2.2 2.27. 7.

Graficar la siguiente función algebraica. y=

1 x-2

Sol Soluc uc ución: ión: Partimos de la ecuación: y=

1 x-2

Analizando la ecuación podemos advertir que la función no existe para x=2, ya que el denominador no puede ser cero, luego para este valor se presenta una asíntota. Del mismo modo al tratarse de una función algebraica despejamos “ x” en términos de “ y” para su análisis, pudiendo darnos cuenta que la función no existe cuando y = 0, luego para este valor existe otra asíntota, las cuales se aprecian en la gráfica.

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CALCULO

Despejando “ x” se tiene: x=

1 + 2y y

Luego algunos puntos son: x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 ∃

y

y -0,20 -0,25 -0,33 -0,5 -1 ∃ asíntota 1 0,5 0,33 0,25 0,20 0 asíntota

3

asíntota

2 1

-4

-3

-2

-1 0 -1

x 1

2

3

4

5

6

7

8

-2 -3

asíntota

Ej Ejemp emp empllo 2.2 2.28. 8.

Graficar la siguiente función algebraica. xy = 2 Sol Soluc uc ución: ión: despejando “ y” tenemos: y =

2 x

Analizando la ecuación podemos advertir que la función no existe para x=0, ya que el denominador no puede ser cero, luego para este valor se presenta una asíntota. Del mismo modo al tratarse de una función algebraica despejamos “ x” en términos de “ y” para su análisis, pudiendo darnos cuenta que la función no existe cuando y = 0, luego para este valor existe otra asíntota, las cuales se aprecian en la gráfica.

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CALCULO

Despejando “ x” se tiene: x=

2 y y

Luego algunos puntos son: x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ∃

y

3

-0,40 -0,50 -0,67 -1 -2 ∃ asíntota 2 1 0,67 0,50 0,40 0 asíntota

asíntota

2 1

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

-1

2

3

4

5

x 6

-2 -3

asíntota

5. A APLI PLI PLICACIONE CACIONE CACIONES S DE LAS FUNCI FUNCIONES ONES A LA E ECONOMIA. CONOMIA. CONOMIA.Estudiaremos diversas aplicaciones de las funciones en la administración y la economía, tales como el estudio de las curvas de la demanda y oferta, el punto de equilibrio, entre otros aspectos. 5. 5.1 1 La dem demanda, anda, ofer ofertta y equ equilililib ib ibri ri rio o de m merc erc ercado ado ado..La dem demanda anda anda, es la acción de los que quieren adquirir un bien o servicio, se define como: “ las distintas cantidades que los consumidores están dispuestos a adquirir un producto o un bien a los distintos precios del mercado” . La función general de la curva de la demanda cuya pendiente es negativa y donde se observa una relación inversa entre precio y cantidad, la representamos como: qd = a – bxp

; donde: b = 1/m “ inverso de la pendiente”

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CALCULO

La ofer fertta, es la acción de los que quieren vender un bien o servicio, se define como: “ las distintas cantidades ofrecidas a los distintos precios del mercado” . La función de oferta es similar a la función de demanda, con la diferencia de que tiene pendiente positiva, luego existe una relación directa entre precio y cantidad, es decir: qo = a + bxp

; donde: b = 1/m “ inverso de la pendiente”

El equ equilililibr ibr ibrio io de mer mercad cad cado o , se da cuando la cantidad demandada es igual a la cantidad ofertada y para esta igualdad se da el precio de equilibrio. El precio y la cantidad a los cuales existe el equilibrio se conocen respectivamente como precio de equilibrio y cantidad de equilibrio. Para representar gráficamente la demanda y la oferta se considera al ...