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Problemas de cristalografía

PROBLEMA 1

El Wolframio cristaliza en el sistema cúbico centrado con un parámetro de red a=316,48 pm y densidad teórica DT=19300 Kg/m3. Calcular: a) Masa atómica. b) Volumen atómico. c) Radio atómico. d) Densidad atómica lineal en las direcciones , y . e) Densidad atómica superficial en los planos (1 1 1), (1 1 0) y (1 0 0). f) Número de átomos en 1 m3.

a) Masa atómica La densidad teórica de un cristal es:

DT =

n⋅ Ma N A ⋅ Vc

Donde n es el número de átomos de W por celdilla (C.C):

n = 1+ 8⋅

1 = 2 at / celd 8

Ma es la masa atómica del W, Na el número de Avogadro y Vc el volumen de la celdilla ( a3). Despejando Ma: −12 3 23 DT N AV c = DT N A a3 19300 Kg / m ⋅ 6.023 ⋅10 at / mol ⋅ (316.48 ⋅10 m) / celd = Ma = n n 2 at / celd 3

M a = 0.18424 Kg / mol = 184.24 gr / mol b) Volumen atómico La densidad teórica puede ser también expresada como la relación entre masa atómica y volumen atómico, de donde: Va =

−3 M a 184.24 ⋅ 10 Kg / mol = = 9.546 ⋅ 10 −6 m 3 / mol 3 19300 / Kg m DT

1

Problemas de cristalografía

c) Radio atómico En el sistema C.C. el radio atómico es 1/4 de la diagonal del cubo, por tanto:

ra =

a ⋅ 3 316.48 pm ⋅ 3 = 137.04 pm = 4 4

d) Densidad atómica lineal

D< x y z> =

N º atomos L

Dirección 1 2 átomos 2 = = 3.6486 ⋅ 10 9 at / m = − 12 316.48 ⋅ 10 m ⋅ 3 a⋅ 3 1+ 2⋅

D < 111 >

Dirección

1 1 átomos = 3.1598 ⋅ 10 9 at / m = 2 = 316.48 ⋅ 10 −12 m a 2⋅

D Dirección

1 1 átomos 2 = = 2.2343 ⋅ 10 9 at / m D < 110 > = − 12 a ⋅ 2 316.48 ⋅ 10 m ⋅ 2 2⋅

e) Densidad atómica superficial

D(x y z) =

2

N º atomos S

Problemas de cristalografía

Plano (1 1 1)

S=

a 2h 2

Donde h es la altura del triángulo de este plano que queda dentro de la celdilla.

h = a 2 sen 60 = a 2 ⋅

3 2

La densidad superficial será:

3⋅ D( 111 ) =

1 6

1 3 ⋅ a 2⋅ a 2⋅ 2 2

=

1 átomos 2 1 2 ⋅ 3 ⋅ (316.48 ⋅ 10 −12 m ) 2

= 5.7643 ⋅ 10 18 at / m 2

Plano (1 0 0)

1 4 = 2

4⋅ D( 100 ) =

a

1 átomo

(316.48 ⋅ 10

− 12

m)

2

= 9.9841 ⋅10 18 at / m 2

Plano (1 1 0)

1 2 átomos 4 = D(110 ) = =1.412 ⋅10 19 at / m 2 2 12 − a ⋅a 2 2 ⋅ (316.48 ⋅ 10 m) 1+ 4⋅

f)

Número de átomos por m3

N º atomos/ m3 =

3 23 DT N a 19300Kg / m ⋅ 6.023⋅ 10 at / mol = 6.3094 ⋅ 10 28 at / m 3 = 0.18424Kg / mol Ma

3

Problemas de cristalografía

PROBLEMA 2

La celdilla elemental del Aluminio es cúbica centrada en las caras. Su masa atómica es 26.97 gr/mol y su densidad 2699 Kg/m3. Calcular: a) Masa de un átomo. b) Número de átomos en 1 mg c) Número de átomos y moles por m3. d) Masa de una celdilla unidad. e) Número de celdillas en 1 gr de metal. f) Volumen y arista de la celdilla unidad. g) Radio atómico. h) Factor de empaquetamiento. i) Densidad atómica lineal en las direcciones y . j) Densidad atómica superficial en los planos (1 1 0) y (1 1 1).

a)

Masa de un átomo

Dividiendo la masa atómica por el número de Avogadro:

M 1a =

b)

26.97 gr / mol = 4.478 ⋅10 −23 gr / at 6.023 ⋅ 10 23 at / mol

Número de átomos en un mg.

N º atomos/mg =

4

− 10 3 gr / mg 19 = 2.233 ⋅ 10 at / mg − 23 ⋅ 4.478 10 gr / at

Problemas de cristalografía

c)

Número de átomos y moles en un m3 N º atomos/ m3 =

moles/ m3 =

d)

2.699 106 gr / m 3 DT = 6.027 1028 at / m 3 = -23 . 8 / 4 47 gr at M 1a 10

3 atomos/ m3 6.027 10 28 at / m = = 105 moles 6.023 10 23 at / mol NA

Masa de una celdilla unidad

El número de átomos por celdilla es: n = 4. Masa de la celdilla = n·M1a = 4 x 4,478·10-23 gr=1,791·10-22 gr e)

Número de celdillas por gr.

celdillas / gr = f)

1 − 22

1.791⋅ 10

gr / celd

= 5.583⋅ 1021 celd / gr

Volumen y arista de la celdilla

Vc =

4 at / celd ⋅ 26.97 gr / mol n ⋅ Ma = 6.636 ⋅ 10 29 m 3 = a 3 = 23 6 3 6 . 023 10 / 2 . 699 10 / N a ⋅ DT at mol ⋅ gr m ⋅ ⋅

a = 3 6.636 ⋅ 1029 m3 = 4.049 ⋅ 10− 10 m = 404.9 pm g)

Radio atómico

El radio atómico será 1/4 de la diagonal de la cara.

h)

2a = 143.2 pm 4

Factor de empaquetamiento

F= i)

Ra =

Densidad

atómica

4 ⋅ 4 3 π Ra3 4 ⋅ 4 3 π Ra3 = = 0.74 3 a3 4Ra / 2

(

)

lineal

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Problemas de cristalografía

Dirección 1 2 átomos 2 = = = 3.494 ⋅10 9 at / m − 12 a⋅ 2 404.9 ⋅ 10 m ⋅ 2 1+ 2 ⋅

D < 110 >

Dirección 1 1 átomos 2 = = = 1.426 ⋅10 9 at / m −12 a ⋅ 3 404.9 ⋅ 10 m ⋅ 3 2⋅

D < 111 >

j)

Densidad atómica superficial

D(x y z) =

N º atomos S

Plano (1 1 0)

1 1 + 4⋅ 2 4 = a ⋅a 2

2⋅ D( 110 ) =

2 átomos

2 ⋅ (404 .9 ⋅ 10

−12

m)

2

= 8.626 ⋅10 18 at / m 2

Plano (1 1 1)

3⋅ D( 111 ) =

6

1 1 + 3⋅ 6 2

1 3 ⋅a 2 ⋅a 2 ⋅ 2 2

=

2 átomos 1 12 ⋅ 3 ⋅ (404 .9 ⋅ 10 − m ) 2

2

= 1.409 ⋅ 10 19 at / m 2

Problemas de cristalografía

PROBLEMA 3 Calcúlense los átomos que existen en 1 mg y en 1 m3 de los siguientes metales:

Nota: La estructura H.C. del Cobalto c = 1,118 x 10-9 m.

a) Plomo

Número de átomos en un mg: N º atomos/mg =

10 −3 gr / mg ⋅ 6.023 10 23 at / mol = 2.907 ⋅ 1018 at / mg 207.19 gr / mol

Número de átomos en un m3 N º atomos/ m3 = b) Hierro

4 at n = = 3 3 a ⎛ 4 ⋅ Ra ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

4 at −10

⎛ 4 ⋅1.75 10 m ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ 2 ⎝ ⎠

3

= 3.298 ⋅ 10 28 at / m 3

Número de átomos en un mg. N º atomos/mg =

10− 3 gr / mg ⋅ 6.023 1023 at / mol = 1.078 ⋅ 1019 at / mg 55.847 gr / mol

Número de átomos en un m3 N º atomos/ m3 =

2 at 2 at n = 8.117 ⋅ 10 28 at / m 3 = = 3 3 3 −10 a ⎛ 4 ⋅ Ra ⎞ ⎛ 4 ⋅ 1.26 10 m ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ 3 ⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠

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Problemas de cristalografía

c) Cobalto

Número de átomos en un mgr. N º atomos/mg =

10−3 gr / mg ⋅ 6.023 1023 at / mol = 1.022 ⋅1019 at / mg 58.933gr / mol

Vc = c ⋅ 6 ⋅

El nº átomos por celdilla es 6. y el volumen de la celdilla será:

a⋅ h 2

Donde c es la altura del prisma, a el lado del hexágono a = 2Ra y h la apotema:

h = a ⋅ sen60 = a

3 2

El número de átomos en un m3 será: 6 at c ⋅6⋅

a ⋅ 3 4 2

=

4 at c ⋅ (2 Ra

)

2

⋅ 3

6 at

= 1.118 10

−9

m ⋅ (2 ⋅1.25 10

− 10

m) ⋅ 3 2

= 4.957 ⋅10 28 at / m 3

PROBLEMA 4 La densidad del Hierro a temperatura ambiente es de 7,87 gr/cm3. Calcular: a) ¿Cuántos átomos hay por cm3? b) ¿Cuál es el tanto por ciento de espacio ocupado? c) ¿Qué red cristalográfica presenta? ¿Por qué? DATOS: Peso atómico del Fe = 55.85 gr/mol; Radio atómico del Fe a 20 ºC = 0,1241 nm.

a) Atomos por cm3 N º atomos/c m3 =

7.87 gr / cm3 ⋅ 6.023 10 23 at / mol = 8.487 ⋅ 10 22 at / cm 3 gr mol 55.85 /

b) Porcentaje de espacio ocupado 3 4 8.487 1022 at ⋅ π ⋅ (0.1241 10− 7 cm) volumen ocupado por esferas 3 = = 0.6789 volumen total 1cm3

El porcentaje de volumen ocupado es el 67,9 %

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Problemas de cristalografía

c) Sistema cristalográfico

Calculemos la densidad teórica del Fe con estructura C.C. y C.C.C. y comparemos con el valor real, dato del problema. Sistema C.C.

DT =

Sistema C.C.C.

n ⋅ Ma = Na ⋅ Vc

DT =

2 at / celd ⋅ 55.85 gr / mol ⎛ 4 ⋅ 0.1241 10 cm ⎞ ⎟⎟ 6.023 10 23 at / mol ⋅ ⎜⎜ 3 ⎠ ⎝ −7

n ⋅ Ma = N a ⋅V c

3

= 7.878gr / cm 3

4 at / celd ⋅55.85 gr / mol −7

⎛ 4 ⋅ 0. 1241 10 cm ⎞ ⎟⎟ 6.023 10 23at / mol ⋅ ⎜⎜ 2 ⎠ ⎝

3

= 8.577gr / cm 3

El sistema es C.C. cuya densidad teórica coincide con la real.

PROBLEMA 5 El Cadmio cristaliza en el sistema hexagonal compacto con a = 297,8 pm. y c = 561,7 pm, la masa atómica del Cd es 112,4 gr/mol. Calcular: a) Indice de coordinación. b) Factor de empaquetamiento. c) Densidad teórica. d) Densidad atómica superficial en los planos (1 0 -1 0) y (1 1 -2 0) e) Densidad atómica lineal en la dirección .

a) Indice de coordinación

c 561.7 pm = = 1.886 > 1.633 a 297.8 pm Indice de coordinación = 6

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Problemas de cristalografía

b) Factor de empaquetamiento 3

4 ⎛ 297.8 pm ⎞ 4 6⋅ π ⋅ ⎜ ⎟ 6 ⋅ π ⋅ R3 3 ⎝ 2 ⎠ 3 F= = 0.641 = 1 3 1 3 2 (297.8 pm ) c ⋅ 6 ⋅a ⋅ ⋅ a 561.7 pm ⋅ 6 ⋅ ⋅ 2 2 2 2 c) Densidad teórica DT =

n ⋅ Ma Na ⋅ Vc

6 at/ celd⋅112.4 gr/ mol

=

⎛ 2⎞ 1 3 6.0231023 at/ mol ⋅ ⎜⎜561.7 10−10 cm ⋅ 6 ⋅ ⋅ 297.8 10−10 cm) ⎟⎟ ( 2 2 ⎠ ⎝

= 8.651gr / cm

d) Densidad superficial

Plano (1 0 -1 0 ) Los puntos de corte con los ejes son (1,∞,-1,∞)

1 at 1at 4 = = 5 . 978 10 18 at / m 2 − 12 − 12 a ⋅c m ⋅ 561 . 7 10 m 297 . 8 10

4⋅ D (10 −10 ) =

Plano (1 1 -2 0) Los puntos de corte con los ejes son: (1,1, -1/2,∞)

1 + 1at 2at 18 2 4 = = = 6 . 903 10 at / m 12 − −12 297 .8 10 m ⋅ 3 ⋅ 561 . 7 10 m a 3⋅c 4⋅

D(10 −10 )

e) Densidad lineal en la dirección

2⋅ D < 2 −1 −10 > =

10

1 at 1at 2 = = 3 . 358 10 9 at / m − 12 a m 297 . 8 10

3

Problemas de cristalografía

PROBLEMA 6

Durante el calentamiento, el hierro puro cambia su estructura cristalina de C.C. a C.C.C. a 912 ºC. Calcular: a) ¿Sufrirá el hierro una expansión o una contracción en este cambio? b) Calcular la relación de densidades entre ambas estructuras. DATOS: A 912 ºC el radio atómico es de 1,258 Å.(C.C.) y de 1,292 Å.(C.C.C.).

a) Efecto del aumento de temperatura.

Al pasar la temperatura por 912 ºC el hierro sufrirá una contracción por ser la estructura C.C.C. la de máxima compacidad, aunque esta contracción se verá compensada en parte por el aumento del radio atómico. Esta contracción implica un aumento de la densidad como calcularemos ahora. Calcularemos la variación relativa de volumen que sufrirán N átomos al cambiar de estructura. 3

ΔV VCC − VCCC = V V CC

⎛ 4 ⋅ RCCC ⎞ N 3 N 3 ⎜ ⎟ ⋅ aCC − ⋅ aCCC 1⎝ 2 ⎠ 1 2 4 1 = = − =1− 3 N 3 2 ⎛ 4 ⋅ RCC ⎞ 2 a ⎟ ⎜ 2 CC ⎝ 3 ⎠

3

⎛ 0.1292nm ⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ 3 ⎛ 0.1258nm ⎞ ⎟ ⎜ 3 ⎠ ⎝

ΔV = 4.93 E − 3 V El hierro se contrae un 0.493 %. b) Relación de densidades

DT =

n⋅ M a = Na ⋅ a 3 3

DCCC D CC

3

4⋅ Ma ⎛ 0.1258nm ⎞ ⎛ 4 ⋅ R CC ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ 3 3 N a ⋅ a CCC 4 ⋅ a CC 3 ⎠ 3 ⎝ ⎝ ⎠ = = =2 ⋅ =2 ⋅ = 1.005 3 3 3 2⋅ Ma 2 ⋅ a CCC ⎛ 0 − 1292nm ⎞ ⎛ 4 ⋅ R CCC ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ N a ⋅ a 3CC 2 ⎠ 2 ⎝ ⎝ ⎠

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Problemas de cristalografía

PROBLEMA 7

Se sabe que cierto metal A ocupa las posiciones principales del sistema cúbico centrado en las caras cuando se forma cierto compuesto. Otro metal B se sitúa en los centros de las aristas y en el centro del cristal. Se pide: a) Calcular la fórmula estequiométrica del compuesto. b) Radio atómico del metal A. c) Radio máximo admisible del metal B. d) Compacidad del cristal. e) Densidad del compuesto. DATOS: Constante reticular a = 4,26 Å ; PA = 65 gr/mol ; PB = 32 gr/mol.

a) Fórmula estequiométrica

Por cristalizar el metal A en el sistema C.C.C. el número de átomos de A por celdilla será 4. El metal B ocupa los huecos octaédricos del cristal que son: uno en el centro y uno en cada arista compartido por 4 celdillas que son otros 3, en total 4 huecos por celdilla. La fórmula sería:A4B4 B

Simplificando quedaría:

AB

b) Radio atómico del metal A

Por ser el sistema C.C.C. el radio atómico será 1/4 de la diagonal de la cara. Por tanto, sabiendo que la diagonal de la cara es a 2 , nos quedará:

Ra =

a ⋅ 2 4.26Α ⋅ 2 = = 1.51Α 4 4

c) Radio máximo del metal B

La relación máxima de radios debe ser r/R = 0,41 Por lo tanto: RB = 0,41 · RA = 0,619 D

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Problemas de cristalografía

⎛4 ⎞ ⎛4 ⎞ 4 ⋅ ⎜ π ⋅ R3A ⎟ + 4 ⋅ ⎜ π ⋅ R3B ⎟ Volumen ocupado ⎝3 ⎠ ⎝3 ⎠ 0.798 Compacidad = = = 3 volumen total a Compacidad = 79.8 %

d) Compacidad del cristal

e) Densidad del compuesto DT =

n ⋅ M a 4at A / celd⋅ 65 gr / mol+ 4at B / cel⋅ 32 gr / mol = 8.33 gr/ cm3 = 3 23 −8 N a ⋅V c 6.02310 at / mol ⋅(4.26 ⋅10 cm)

PROBLEMA 8 La densidad experimental de un cristal simple de aluminio, que cristaliza en el sistema C.C.C., es 2,697 gr/cm3. La constante reticular es 4,049 Å Si la discrepancia entre el valor teórico y el experimental de la densidad es una medida de los huecos de la malla (vacantes), calcular: a) Fracción de átomos ausentes. b) Huecos por cm

3

DATOS: PAl = 27 gr/mol

a) Fracción de átomos ausentes

Comparemos el número de átomos, teóricos y reales, por unidad de volumen: nr Dr N A nt Dt N A n D = ; = ⇒ r = r V PAl V PAl nt Dt Calculamos la densidad teórica del aluminio Dt =

4 at / celd ⋅ 27gr / mol

6,023 ⋅10 at / mol (4,049 ⋅10 cm ) 23

−8

3

= 2,701 gr / cm 3

n r Dr 2,697 gr / cm 3 = = = 0,9985 nt Dt 2,701gr / cm 3 Por tanto la fracción de átomos ausentes será: 1- nr/nt=0,0015, es decir la fracción de átomos ausentes es del 0,15%.

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Problemas de cristalografía

b) Huecos por cm3

Conociendo el número de átomos teóricos por cm3, y habiendo calculado la fracción de átomos ausentes, podemos saber el número de huecos por cm3. Nº atm. teóricos por cm3: nt Dt N A 2,701gr / cm 3 ⋅ 6,023 ⋅10 23 at / mol = = = 6,025 ⋅ 1022 at teórico / cm 3 V PAl 27 gr / mol El número de huecos será:

Nº huecos nº at teóricos Nº huecos = × fracción at ausentes = 0, 0015 × 6,025 ⋅ 1022 = 0,904 ⋅ 1020 3 3 cm cm cm3

PROBLEMA 9 El silicio cristaliza en el sistema C.C.C. de tal forma que no sólo ocupa las posiciones principales de la malla sino también el 50 % de los intersticios tetraédricos. Sabiendo que el parámetro de malla es 5,43 Å y que el peso atómico del silicio es 28,06 gr/mol. Calcular: a) Densidad teórica del Si. b) Atomos de Si por m3. Para aumentar la concentración de huecos y mejorar, por tanto, sus características semiconductoras se dopa el Si con una cantidad controlada de aluminio, de forma que sustituye parcialmente al Si de sus posiciones originales. c) Calcular el nº de átomos de Al por m3 con que es preciso dopar al Si para que se produzca una disminución de la densidad del 0,5 % con respecto a la teórica del Si. DATOS: PAl = 26,97 gr/mol

a) Densidad teórica del Si

En el sistema C.C.C.: Nº at./celd. : n = 4 Nº huecos tetraédricos./celd. : h = 8 Nº total at. Si/celd.: N = n + h/2 = 8 at/celd. El volumen de la celdilla:

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Problemas de cristalografía

V = a3 =(5,43·10-8cm)3= 1,601 x 10-22 cm3 La densidad teórica será:

D=

n ⋅ PA 8 at / cel ⋅ 28,06 gr / mol = = 2,33 gr / cm 3 N A V 6,023⋅ 1023 at / mol ⋅ 1,601⋅ 10−22 cm 3

b) Atomos de Si por m3

8 at / celd n = = 5 ⋅ 1022 at / cm 3 = 5 ⋅ 1028 at / m 3 V 1,601 ⋅ 10− 22cm 3 / celd

c) Nº de átomos de Al

Al disminuir la densidad un 0,5 %, la densidad resultante será: D' = D ⋅ 0,995 = 2,3185gr / cm 3

n D' NA 2,31835 gr / cm 3 ⋅ 6,023 ⋅ 10 23at / mol = = 5 ⋅ 1022 at / cm3 = V Pr Pr donde Pr es el peso atómico medio o resultante, se obtiene: Pr = 27,927gr/cm3. Por otra parte: fSi x 28,06 + fAl x 26,97 = Pr fSi + fAl = 1 (f indica fracción de átomos) Resolviendo el sistema: fSi = 0,87798

fAl = 0,12202

3

Nº at Al/m = 5 x 1028 x fAl Nº at Al/m3 =6,101 x 1027

PROBLEMA 10

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Problemas de cristalografía

Un carburo de wolframio cristaliza en el sistema hexagonal, de forma que los átomos de wolframio se sitúan en las bases del prisma y los de carbono en la sección recta media. Determinar: a) Fórmula y densidad del carburo. b) Radios atómicos de W y C. DATOS: a = 2,84 Å ; c = 2,9 Å ; PC = 12 gr/mol ; PW = 184 gr/mol

a) Fórmula y densidad

C: 3 at./celd. W: 1/2 x 2 bases + 1/6x12 vértices = 3 at./celd. La relación en tre átomos en una celdilla es 3:3, por tanto, la fórmula será: C W Para calcular la densidad calcularemos primero el volumen de la celdilla:

V = c ⋅ 6⋅

D=

1 1 3 a 3 ⋅ a⋅ = 2,9 ⋅ 10− 8 cm ⋅ 6 ⋅ ⋅ ⋅ (2,84 ⋅ 10 − 8 cm ) 2 = 6,08 ⋅ 10 − 23 cm 3 2 2 2 2

n c Pc + n w Pw 3 at C / celd ⋅ 12gr / mol + 3 at W / celd ⋅ 184gr / mol = =16,06 gr / cm 3 6,023 ⋅ 1023 at / mol ⋅ 6,08 ⋅ 10−23 cm3 N AV

b) Radios atómicos de C y W 2 2 2 2 a = 2 rW => rW = a/2 = 1,42 Å ⇒ a + c = (2 rW + 2rC) ⇒ 16,5 = (2,84 + 2 rC)

rC = 0,613 Å

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Problemas de cristalografía

PROBLEMA 11

Un cierto metal cristaliza en un sistema hexagonal sin planos intermedios y con igual disposición atómica en las caras basales. Existen átomos en todos los vértices y en el centro de los hexágonos, así como en los centros de los 6 triángulos equiláteros en que se descomponen dichos hexágonos, siendo estos últimos tangentes a los anteriores y a su vez entre sí. Los átomos correspondientes de las dos caras basales son tangentes uno a otro. Calcular: a) Número de átomos por celdilla. b) Indice de coordinación. c) Compacidad del sistema así definido. d) Comparar la compacidad de este sistema con la del hexagonal compacto.

a) Nº de átomos por celdilla

1/6 x 12 (vértices) + l /2 x 14 (caras) = 9 at/celd

b) Indice de coordinación

Un átomo está rodeado en un mismo plano por otros 6, además se encuentra con un átomo encima y otro debajo tangentes a él. Por tanto son ocho los átomos que lo rodean y que son tangentes, el índice de coordinación es pues 8.

c) Compacidad del sistema

Volumen de la celdilla:

1 1 3 a 3 Vc = c ⋅ 6⋅ ⋅ a ⋅ = 2r⋅ 6⋅ ⋅ ⋅ ( 2 r) 2 = 12 3 ⋅ r3 2 2 2 2

4 Volumen ocupado por los átomos: Vat = 9 at / celd ⋅ π ⋅ r3 = 12 π r3 3 compacidad =

V at 12 π r 3 = = 0,577 Vc 12 3 r 3

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Problemas de cristalografía

d) Comparación

En el sistema H.C. el espacio hueco supone el 26 % lo que supone una compacidad de 0,74; esta es superior a la del sistema bajo estudio (0,577).

PROBLEMA 12 Calcular la densidad del bronce (Cu - Sn) de 3% en átomos de Sn, suponiendo que la constante de la red ...