Clase 30 Funciones cóncavas y convexas El Hessiano para funciones de n variables Condiciones útiles de concavidad y convexidad PDF

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February03,2021

Funcionescóncavasyconvexas:

Funcióncóncava: Lafunciónf(x,y)es cóncavasisudominioes convexoyelsegmento queunedospuntos cualquieradelagráficano estánuncaporencimade lagráfica.

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Funciónconvexa: Lafunciónf(x,y)es convexasisudominioes convexoyelsegmento queunedospuntos cualquieradelagráficano estánuncapordebajode lagráfica.

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Funciónestrictamentecóncava: Lagráficadef,estarásiempreporencimadel segmentoqueunedospuntoscualquieradela gráfica.

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Funcióncóncavaperonoestrictamente cóncava:

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Funciónestrictamenteconvexa Unafunciónfesestrictamenteconvexasifes estrictamentecóncava.

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Definicióndefuncióncóncavaennvariables

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Condicionesútilesdeconcavidadyconvexidad. Lossiguientesresultadossepuedenusaravecesparacomprobarsiunafuncióndada escóncavaoconvexa:

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Ejemplos:

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Teorema: Sisetrazaelplanotangenteen cualquierpuntodelagráfica, todoelplanoestáporencimade lagráfica.

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Pruebasdelasegundaderivadapara concavidadyconvexidadparafuncionesde dosvariables:

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Unavariantedelteoremaanteriordacondicionessuficientesde concavidadoconvaxidadestricta:

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Pruebadelasegundaderivadapara concavidadyconvexidadparafuncionesde nvariables:

ConstruímoslamatrizHessiana:

Los"menoresdominantes"delamatrizH(x)son losndeterminantesdadospor:

Quenossirveparageneralizaraunnúmeron devariableslosteoremasdeconcavidad:

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Definicióndemenorprincipaldominante (tambienllamadomenoresprincipaleslíderes):

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Losmenoresdominantesdelamatriz Hessianasecalculancomosigue:

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Losmenoresdominantesson:

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AmpliaciónconelcálculodeTODOSlos menoresprincipales(nosololosdominantes) Loanteriorverificabasololoscasos "estrictamente"cóncavosoconvexos. Podemosgeneralizarparaverificarelcasode cóncavosyconvexos,siconsideramoslos signosdeTODOSlosmenoresprincipalesde H(x)ynosolodelosdominantes.

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Menorprincipal: Unmenorprincipalarbitrariodeordenrde H(x)seobtienesuprimiendonrfilasylasnr columnasconlosmismosíndicesyse designapor:

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Enestadefiniciónalordenlodesignaconk enlugarder.

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Paraelcasodedosvariables,elHessiano estádadopor:

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Comparaciónconloestudiadoparaelcasode dosvariables:

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Pruebadelasegundaderivadaparafuncionesdedosvariables:

Paraidentificarsiunpuntocríticoesunmáximolocal,un mínimolocalounpuntosilla,usaremoslapruebadela segundaderivada.

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Testdelasegundaderivadaparafuncionesde dosvariables:

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Enelcasogeneraldeunafunciónden variablesparaqueunafunciónseacóncavao convexa,sedebecumplir:

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Condicionesdesegundoordenpara óptimoslocales: Paraelcasogeneraldenvariables,las condicionesnecesariasysuficientespara puntosóptimoslocales:

(losmenoresdominantes)

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Pruebadelpuntosilla: teoremaanterior,

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Clasificaciónentérminosdeeigenvalores Comosevióeneldesarrolloestudiado,los principalesresultados,losenunciadosestán entérminosdedeterminantes.Estoscriterios sonlosqueseusanconmasfrecuenciaen Economía. SInembargo,sepuedenexpresarestos resultadosentérminosdelacondiciónde definidapositivaonegativadelaforma cuadráticacuyamatrizeslahessiana. Paraestohacefaltaelcálculodelos eigenvalores(tambiénllamadosvalores propiosoautovalores)

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Clasificaciónentérminosdeeigenvalores

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Clasificación:

a)Clasificaciónusandoloseigenvalores (valorespropios) SeaAunamatriz simétrica : a)Aesdefinidapositiva↔todoslosvalores propiosdeAsonpositivos. b)Aessemidefinidapositiva↔todoslos valorespropiosdeAson>0 c)Aesdefinidanegativa↔todoslosvalores propiosdeAsonnegativos. d)Aessemidefinidanegativa↔todoslos valorespropiosdeAson...